La aproximación de Stirling

En matemáticas , la aproximación de Stirling (o fórmula de Stirling ) es una aproximación asintótica para factoriales . Es una buena aproximación, que conduce a resultados precisos incluso para valores pequeños de${\displaystyle n}$Recibe su nombre de James Stirling , aunque un resultado relacionado, pero menos preciso, fue enunciado por primera vez por Abraham de Moivre . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Una forma de expresar la aproximación implica el logaritmo del factorial: $${\displaystyle \ln n!=n\ln n-n+O(\ln n),}$$ donde la notación de la gran O significa que, para todos los valores suficientemente grandes de${\displaystyle n}$, la diferencia entre${\displaystyle \ln n!}$y${\displaystyle n\ln nn}$será como máximo proporcional al logaritmo de${\displaystyle n}$En aplicaciones de informática, como el límite inferior del peor caso para la ordenación por comparación , resulta conveniente utilizar en su lugar el logaritmo binario , que da la forma equivalente. $${\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}nn\log _{2}e+O(\log _{2}n).}$$El término de error en cualquiera de las bases se puede expresar con mayor precisión como${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})}$, correspondiente a una fórmula aproximada para el factorial mismo, $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$ Aquí está el letrero${\displaystyle \sim }$significa que las dos cantidades son asintóticas, es decir, su razón tiende a 1 cuando${\displaystyle n}$tiende al infinito.

La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre ^{[ 2 ]} en 1721 en la forma $${\displaystyle n!\sim [{\rm {constante}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}$$

De Moivre dio una expresión aproximada en números racionales para el logaritmo natural de la constante. La contribución de Stirling en 1730 consistió en demostrar que la constante es precisamente${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La versión más simple de la fórmula de Stirling es $${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\!\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$ Se puede obtener rápidamente aproximando la suma. $${\displaystyle \ln n!=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$$ con una integral : $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$$

La fórmula completa, junto con estimaciones precisas de su error, se puede derivar de la siguiente manera. En lugar de aproximar${\displaystyle n!}$, se considera su logaritmo natural , ya que se trata de una función que varía lentamente : $${\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$$

El lado derecho de esta ecuación menos $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n}$$ es la aproximación mediante la regla del trapecio de la integral $${\displaystyle \ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$$

y el error en esta aproximación viene dado por la fórmula de Euler-Maclaurin : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n&=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle B_{k}}$es un número de Bernoulli , y R _{m , n} es el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin. Tomamos límites para encontrar que $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$$

Denotemos este límite como${\displaystyle y}$. Porque el resto R _{m , n} en la fórmula de Euler-Maclaurin satisface $${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\!\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$$

donde se utiliza la notación de la gran O , la combinación de las ecuaciones anteriores produce la fórmula de aproximación en su forma logarítmica: $${\displaystyle \ln n!=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\!\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$$

Tomando la exponencial de ambos lados y eligiendo cualquier entero positivo${\displaystyle m}$Se obtiene una fórmula que involucra una cantidad desconocida.${\displaystyle e^{y}}$. Para m = 1 , la fórmula es $${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\!\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

La cantidad${\displaystyle e^{y}}$se puede encontrar tomando el límite en ambos lados como${\displaystyle n}$tiende a infinito y usando el producto de Wallis , que muestra que${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$Por lo tanto, se obtiene la fórmula de Stirling.

Una fórmula alternativa para${\displaystyle n!}$usar la función gamma es $${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$$ (como puede verse mediante la integración repetida por partes). Reescribiendo y cambiando las variables x = ny , se obtiene $${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.}$$ Aplicando el método de Laplace uno tiene $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},}$$ que recupera la fórmula de Stirling: $${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

La fórmula de Stirling es, de hecho, la primera aproximación a la siguiente serie (ahora llamada serie de Stirling ): ^{[ 7 ]}$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}-\cdots \right).}$$

G. Nemes dio una fórmula explícita para los coeficientes de esta serie. ^{[ 8 ]} Otros términos se enumeran en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros como A001163 y A001164 . El primer gráfico de esta sección muestra el error relativo vs.${\displaystyle n}$, para 1 a los 5 términos enumerados anteriormente. Los coeficientes tienen la siguiente fórmula asintótica: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle A_{2j+1}\sim {\frac {(-1)^{j}2(2j)!}{(2\pi )^{2(j+1)}}}}$$lo cual demuestra que crece de forma superexponencial y que, según la prueba de la razón, el radio de convergencia es cero.

Sin embargo, la representación obtenida directamente de la aproximación de Euler-Maclaurin, en la que el término de corrección es el argumento de la función exponencial, converge mucho más rápido (necesita la mitad del número de términos de corrección para la misma precisión):$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\bigg (}{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+{\frac {1}{1188n^{9}}}-\cdots {\bigg )}.}$$ El${\displaystyle k}$coeficiente th (para el recíproco del${\displaystyle \left(2k-1\right)}$el poder de${\displaystyle n}$) se calcula directamente utilizando los números de Bernoulli y${\displaystyle c_{k}={\tfrac {B_{2k}}{2k(2k-1)}}.}$

Cuando n → ∞ , el error en la serie truncada es asintóticamente igual al primer término omitido. Este es un ejemplo de una expansión asintótica . No es una serie convergente ; para cualquier valor particular de${\displaystyle n}$Solo hay un número limitado de términos de la serie que mejoran la precisión, después de lo cual la precisión empeora. Esto se muestra en el siguiente gráfico, que muestra el error relativo frente al número de términos en la serie, para un mayor número de términos. Más precisamente, sea S _t ( n ) la serie de Stirling para${\displaystyle t}$términos evaluados en ${\displaystyle n}$Los gráficos muestran $${\displaystyle \left|\ln {\frac {S_{t}(n)}{n!}}\right|,}$$ que, cuando es pequeño, es esencialmente el error relativo.

Escribir la serie de Stirling en forma $${\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,}$$ Se sabe que el error al truncar la serie siempre es de signo opuesto y, como máximo, de la misma magnitud que el primer término omitido.

Otros límites, debidos a Robbins, ^{[ 10 ]} son ​​válidos para todos los enteros positivos.${\displaystyle n}$son $${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$ Este límite superior corresponde a detener la serie anterior para${\displaystyle \ln n!}$después de la${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$término. El límite inferior es más débil que el obtenido al detener la serie después del${\displaystyle {\tfrac {1}{n^{3}}}}$término. Una versión más flexible de este límite es que$${\displaystyle {\frac {n!e^{n}}{n^{n+{\tfrac {1}{2}}}}}\in \left({\sqrt {2\pi }},e\right]\quad {\text{for all }}n\geq 1.}$$

Para todos los enteros positivos, $${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$ donde Γ denota la función gamma .

Sin embargo, la función gamma, a diferencia del factorial, está definida de forma más amplia para todos los números complejos distintos de los enteros no positivos; no obstante, la fórmula de Stirling aún puede aplicarse. Si Re( z ) > 0 , entonces $${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

La integración repetida por partes da como resultado $${\displaystyle {\begin{aligned}ln\Gamma (z)&\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}\\&=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+\dots ,\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle B_{n}}$es el n -ésimo número de Bernoulli (nótese que el límite de la suma como${\displaystyle N\to \infty }$no converge, por lo que esta fórmula es solo una expansión asintótica ). La fórmula es válida para${\displaystyle z}$suficientemente grande en valor absoluto, cuando | arg( z ) | < π − ε , donde ε es positivo, con un término de error de O ( z ^{−2 N + 1} ) . La aproximación correspondiente ahora se puede escribir: $${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

donde la expansión es idéntica a la de la serie de Stirling anterior para${\displaystyle n!}$, excepto que${\displaystyle n}$se reemplaza con z − 1 . ^{[ 11 ]}

Otra aplicación de esta expansión asintótica es para argumento complejo z con constante Re( z ) . Véase, por ejemplo, la fórmula de Stirling aplicada en Im ( z ) = t de la función theta de Riemann-Siegel en la línea recta 1/4 + it .

Thomas Bayes demostró, en una carta a John Canton publicada por la Royal Society en 1763, que la fórmula de Stirling no proporcionaba una serie convergente . ^{[ 12 ]} Obtener una versión convergente de la fórmula de Stirling implica evaluar la fórmula de Binet : $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}.}$$

Una forma de hacerlo es mediante una serie convergente de factoriales ascendentes invertidos . Si $${\displaystyle z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),}$$ entonces $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}},}$$ dónde $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},}$$ donde s ( n , k )  denota los números de Stirling de primera especie . A partir de esto se obtiene una versión de la serie de Stirling. $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{\frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}\\&\quad +{\frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\cdots ,\end{aligned}}}$$ que converge cuando Re( x ) > 0 . La fórmula de Stirling también puede darse en forma convergente como ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x+\mu (x)}}$$ dónde $${\displaystyle \mu \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(x+n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)-1\right).}$$

La aproximación $${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}$$ y su forma equivalente $${\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)}$$ Se puede obtener reordenando la fórmula extendida de Stirling y observando una coincidencia entre la serie de potencias resultante y el desarrollo en serie de Taylor de la función seno hiperbólico . Esta aproximación es buena con más de 8 dígitos decimales para z con una parte real mayor que 8. Robert H. Windschitl la sugirió en 2002 para calcular la función gamma con una precisión aceptable en calculadoras con memoria de programa o de registro limitada. ^{[ 14 ]}

Gergő Nemes propuso en 2007 una aproximación que da el mismo número de dígitos exactos que la aproximación de Windschitl pero es mucho más simple: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z},}$$ o equivalentemente, $${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right).}$$

Una aproximación alternativa para la función gamma enunciada por Srinivasa Ramanujan en el cuaderno perdido de Ramanujan ^{[ 16 ]} es $${\displaystyle \Gamma (1+x)\approx {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\tfrac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}}$$ para x ≥ 0 . La aproximación equivalente para ln n ! tiene un error asintótico de 1 / 1400 n ³ ⁠ y viene dada por $${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln \left(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .}$$

La aproximación puede hacerse precisa dando cotas superiores e inferiores emparejadas; una de esas desigualdades es ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ].}$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\tfrac {1}{100}}\right)^{\frac {1}{6}}<\Gamma (1+x)<{\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\tfrac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}.}$$

Para casos discretos, en lugar de la fórmula asintótica descrita anteriormente, TS Nanjundiah derivó una ecuación más precisa y un resultado mucho más fácil de demostrar: ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {\theta _{n}}{12n}},\theta _{n}\in [0,1]}$$

o, además, podemos deducir que:

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot \exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {\theta _{n}'}{360n^{3}}}}\right)\quad (\theta _{n}'\in (0,1))}$$

Para demostrar esto, primero suponemos que:

$${\displaystyle a_{n}=n!\cdot n^{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}\cdot e^{n}\qquad l_{n}=\ln a_{n}}$$

Es fácil calcular que:

$${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {n!\cdot n^{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}\cdot e^{n}}{(n+1)!\cdot (n+1)^{-\left(n+{\frac {3}{2}}\right)}\cdot e^{n+1}}}={\frac {1}{e}}\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}$$

$${\displaystyle \implies l_{n}-l_{n+1}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-1}$$

y, combinando la serie de logaritmos de Taylor :

$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots \qquad \ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {x^{5}}{5}}-\dots }$$

restándolos,

$${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\dots \right)}$$

Supongamos que las dos variables son iguales,

$${\displaystyle {\frac {1+x}{1-x}}={\frac {n+1}{n}}\implies x={\frac {1}{2n+1}}}$$

Sustituyendo x por n , obtenemos:

$${\displaystyle \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)=2\cdot {\frac {1}{2n+1}}\left[1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}+\dots \right]}$$

así, para${\displaystyle l_{n}}$tenemos eso:

$${\displaystyle l_{n}-l_{n+1}={\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{4}}}+\dots }$$

Para calcular la suma, las obligamos a ser una serie geométrica:

$${\displaystyle l_{n}-l_{n+1}<{\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}\right]^{k}={\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}}}={\frac {1}{12n(n+1)}}}$$

y también es evidente que${\textstyle l_{n}-l_{n+1}>0}$,

$${\displaystyle \implies l_{n}-{\frac {1}{12n}}<l_{n+1}-{\frac {1}{12(n+1)}}}$$

podemos dejar${\textstyle x_{n}=l_{n}-{\frac {1}{12n}}}$, por lo tanto tenemos que

$${\displaystyle x_{n}<x_{n+1},l_{n}<l_{n+1},\quad \forall n,x_{n}<l_{n},}$$

Según el teorema de convergencia monótona , sabemos que${\displaystyle l_{n}}$es convergente, asumimos que $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }l_{n}=\lambda }$$

entonces $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=e^{\lambda }=\alpha ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}^{2}}{a_{2n}}}\\&=\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n!)^{2}\cdot n^{-2n-1}\cdot e^{2n}}{(2n)!\cdot (2n)^{-2n-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{2n}}}\\&=\lim _{n\to +\infty }{\frac {(n!)^{2}\cdot 2^{2n+{\frac {1}{2}}}\cdot n^{2n+{\frac {1}{2}}}}{(2n)!\cdot n^{2n+1}}}\\&=\lim _{n\to +\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n)!}}{\sqrt {\frac {2}{n}}}\\&=\lim _{n\to +\infty }{\sqrt {\frac {2}{n}}}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\end{aligned}}}$$

Combinado con la fórmula de Wallis , finalmente podemos derivar que el límite es${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$, lo que finaliza nuestra demostración del caso asintótico. ^{[ 21 ]}

Y observe que para cada n , tenemos que${\textstyle l_{n}-{\frac {1}{12n}}<\lambda <l_{n}}$, reescribe la fórmula sustituyendo λ por${\textstyle l_{n}\implies l_{n}=\lambda +{\frac {\theta _{n}}{12n}}}$, obtenemos:

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {\theta _{n}}{12n}}}$$

y, si profundizamos en la desigualdad que utilizamos, manteniendo el primer término como original y utilizando otra serie geométrica con razón${\textstyle {\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}}$, tenemos: ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}l_{n}-l_{n+1}&>{\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}\left(1-{\frac {1}{3(2n+1)^{2}}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{3^{2}}}\right){\frac {1}{(2n+1)^{4}}}\\&={\frac {1}{12n(n+1)}}\left(1+{\frac {1}{6n(n+1)}}\right)^{-1}+{\frac {1}{180n^{2}(n+1)^{2}}}\left(1+{\frac {1}{4n(n+1)}}\right)^{-2}\\&>{\frac {1}{12n(n+1)}}\left(1-{\frac {1}{6n(n+1)}}\right)+{\frac {1}{180n^{2}(n+1)^{2}}}\left(1-{\frac {1}{2n(n+1)}}\right)={\frac {1}{12n(n+1)}}-{\frac {3n(n+1)+1}{360n^{3}(n+1)^{3}}}\end{aligned}}}$$ Aquí podemos deducir que:

$${\displaystyle l_{n}-{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{360n^{3}}}>l_{n+1}-{\frac {1}{12(n+1)}}+{\frac {1}{360(n+1)^{3}}}}$$

puesto que es trivial que $${\displaystyle l_{n}-{\frac {1}{12n}}<l_{n}-{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{360n^{3}}}<l_{n},}$$ y $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{12n}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{360n^{3}}}=0}$$

Sabemos que: $${\displaystyle l_{n}-{\frac {1}{12n}}<\lambda <l_{n}-{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{360n^{3}}},}$$ y reescribe la ecuación anterior usando${\textstyle l_{n}=\lambda +{\frac {1}{12n}}-{\frac {\theta _{n}}{360n^{3}}}}$, finalmente demostramos que:

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}-{\frac {\theta _{n}}{360n^{3}}}\right)}$$

• aproximación de Lanczos
• La aproximación de Spouge

• Abramowitz, M. y Stegun, I. (2002), Manual de funciones matemáticas
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