Dominancia estocástica

La dominancia estocástica es un orden parcial entre variables aleatorias . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Es una forma de ordenamiento estocástico . El concepto se motiva en la teoría de la decisión y el análisis de decisiones de la siguiente manera. Según la teoría de la decisión estándar, un tomador de decisiones tiene una función de utilidad .${\displaystyle U(x)}$que codifica sus preferencias , y si quien toma la decisión necesita elegir entre varias apuestas, el resultado de cada apuesta es una distribución de probabilidad sobre los posibles resultados (también conocidos como perspectivas), y se puede escribir como${\displaystyle X_{0},X_{1},\dots }$. Entonces, quien toma las decisiones debe elegir racionalmente el${\displaystyle X_{i}}$que maximiza${\displaystyle \mathbb {E} [U(X_{i})]}$.

En casos más generales, sin embargo, la función de utilidad del responsable de la toma de decisiones puede no ser conocida con exactitud, por lo que el procedimiento anterior no puede llevarse a cabo. No obstante, si conocemos algunos detalles parciales sobre la función de utilidad, esto puede ser suficiente para concluir algo de la forma "cualquier función de utilidad${\displaystyle U}$que satisface la restricción dada debe satisfacer${\displaystyle \mathbb {E} [U(X_{i})]\geq \mathbb {E} [U(X_{j})]}$". En este caso, decimos que${\displaystyle X_{i}}$"domina estocásticamente"${\displaystyle X_{j}}$La aversión al riesgo es un factor únicamente en la dominancia estocástica de segundo orden. ^{[ 3 ]}

La dominancia estocástica no proporciona un orden total , sino solo un orden parcial . Para algunos pares de apuestas, ninguna domina estocásticamente a la otra, ya que los distintos miembros de la amplia clase de tomadores de decisiones discreparán sobre qué apuesta es preferible sin que, en general, se consideren igualmente atractivas.

A lo largo del artículo,${\displaystyle \rho ,\nu }$representan distribuciones de probabilidad en${\displaystyle \mathbb {R} }$, mientras${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$representan variables aleatorias particulares en${\displaystyle \mathbb {R} }$. La notación${\displaystyle X\sim \rho }$significa que${\displaystyle X}$tiene distribución${\displaystyle \rho }$.

Hay una secuencia de ordenaciones de dominancia estocástica, desde cero.${\displaystyle \succeq _{0}}$, al primero${\displaystyle \succeq _{1}}$, al segundo${\displaystyle \succeq _{2}}$, a órdenes superiores${\displaystyle \succeq _{n}}$, cada uno estrictamente más inclusivo que el anterior. Es decir, si${\displaystyle \rho \succeq _ {n}\nu}$, entonces${\displaystyle \rho \succeq _ {k}\nu}$a pesar de${\displaystyle k\geq n}$Además, existe${\displaystyle \rho ,\nu }$de tal manera que${\displaystyle \rho \succeq _ {n+1}\nu}$pero no${\displaystyle \rho \succeq _ {n}\nu}$Cada nivel de dominancia estocástica corresponde a supuestos más estrictos sobre la función de utilidad del decisor. Cuanto más estrictos sean estos supuestos, mayor será la cantidad de pares de apuestas que se pueden clasificar.

El dominio estocástico podría remontarse a (Blackwell, 1953), ^{[ 4 ]} pero no se desarrolló hasta 1969-1970. ^{[ 3 ]}

El caso más simple de dominancia estocástica es la dominancia por estados (también conocida como dominancia estado por estado ). La idea es que cualquiera que prefiera más a menos (es decir, que tenga preferencias monótonamente crecientes) siempre preferirá (débilmente) una apuesta dominante por estados. Se define como

variable aleatoria${\displaystyle A}$es dominante en términos de estado sobre variable aleatoria${\displaystyle B}$si${\displaystyle A}$da como resultado al menos igual de bueno en cada estado (en cada conjunto posible de resultados).

En símbolos,${\displaystyle P(A\geq B)=1}$Esto está escrito como${\displaystyle A\succeq _{0}B}$.

Para lograr un dominio estricto de los estados, se necesita una condición adicional:${\displaystyle A}$da un resultado estrictamente mejor en al menos un estado. En símbolos,${\displaystyle P(A\geq B)=1}$y${\displaystyle P(A>B)>0}$Esto está escrito como${\displaystyle A\succ _{0}B}$.

De manera similar, si${\displaystyle P(A=B)=1}$, entonces ambos${\displaystyle A\succeq _{0}B}$y${\displaystyle B\succeq _{0}A}$, entonces${\displaystyle A\sim _{0}B}$y son equivalentes en el sentido de dominio estatal.

Por ejemplo, si se añade un dólar a uno o más premios de una lotería, la nueva lotería supera a la anterior a nivel estatal porque ofrece un premio mayor independientemente de los números ganadores. De manera similar, si una póliza de seguro contra riesgos tiene una prima menor y una mejor cobertura que otra, entonces, con o sin daños, el resultado es mejor.

La dominancia por estados implica dominancia estocástica de primer orden (FSD) , ^{[ 5 ]} que se define como:

La variable aleatoria A tiene dominancia estocástica de primer orden sobre la variable aleatoria B si para cualquier resultado x , A da al menos una probabilidad tan alta de recibir al menos x como B, y para algún x , A da una probabilidad mayor de recibir al menos x . En notación,${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$para todo x.

Esto está escrito como${\displaystyle A\succeq _{1}B}$. De manera similar al caso de orden cero,${\displaystyle A\succ _{1}B}$requiere la condición adicional: para algún x ,${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$.

En términos de las funciones de distribución acumulativa ,${\displaystyle A\succeq _{1}B}$significa que${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$para todo x .${\displaystyle A\succ _{1}B}$requiere la condición adicional:${\displaystyle F_{A}(x)<F_{B}(x)}$para algunos${\displaystyle x}$.

Si${\displaystyle A,B}$son comparables según el dominio de primer orden, entonces${\displaystyle \forall x,F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$o${\displaystyle \forall x,F_{A}(x)\geq F_{B}(x)}$En ambos casos, decimos que "las distribuciones de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$no se cruzan".

Cuando${\displaystyle A,B}$son comparables según${\displaystyle \succeq _{1}}$, La prueba de suma de rangos de Wilcoxon evalúa la dominancia estocástica de primer orden. ^{[ 6 ]}

El otro tipo de dominancia estocástica comúnmente utilizado es la dominancia estocástica de segundo orden . ^{[ 1 ] [ 8 ] [ 9 ]} En términos generales, para dos apuestas${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \nu }$, apuesta${\displaystyle \rho }$tiene dominancia estocástica de segundo orden sobre la apuesta${\displaystyle \nu }$Si la primera es más predecible (es decir, implica menos riesgo) y tiene al menos una media igual de alta. Todos los maximizadores de utilidad esperada aversos al riesgo (es decir, aquellos con funciones de utilidad crecientes y cóncavas) prefieren una apuesta estocásticamente dominante de segundo orden a una dominada. La dominancia de segundo orden describe las preferencias compartidas de una clase más pequeña de tomadores de decisiones (aquellos para quienes más es mejor y que son aversos al riesgo, en lugar de todos aquellos para quienes más es mejor) que la dominancia de primer orden.

En términos de funciones de distribución acumulativa${\displaystyle F_{\rho }}$y${\displaystyle F_{\nu }}$,${\displaystyle \rho }$es estocásticamente dominante de segundo orden sobre${\displaystyle \nu }$si y solo si${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$, con una desigualdad estricta en algunos${\displaystyle x}$. De forma equivalente,${\displaystyle \rho }$domina${\displaystyle \nu }$en segundo orden si y solo si${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$para todas las funciones de utilidad no decrecientes y cóncavas${\displaystyle u(x)}$.

La dominancia estocástica de segundo orden también se puede expresar de la siguiente manera: Apuesta${\displaystyle \rho }$El segundo orden domina estocásticamente${\displaystyle \nu }$si y solo si existen algunas apuestas${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$de tal manera que ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$, con${\displaystyle y}$siempre menor o igual que cero, y con${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$para todos los valores de${\displaystyle x_{\rho }+y}$Aquí se introduce la variable aleatoria.${\displaystyle y}$marcas${\displaystyle \nu }$de primer orden estocásticamente dominado por${\displaystyle \rho }$(haciendo${\displaystyle \nu }$(desagradable para aquellos con una función de utilidad creciente), y la introducción de variables aleatorias${\displaystyle z}$introduce una dispersión que preserva la media en${\displaystyle \nu }$lo cual disgusta a quienes tienen una utilidad cóncava. Tenga en cuenta que si${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \nu }$tienen la misma media (de modo que la variable aleatoria${\displaystyle y}$degenera al número fijo 0), entonces${\displaystyle \nu }$es una propagación que conserva la media de${\displaystyle \rho }$.

Dejar${\displaystyle F_{\rho }}$y${\displaystyle F_{\nu }}$sean las funciones de distribución acumulativa de dos inversiones distintas.${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle \nu }$.${\displaystyle \rho }$domina${\displaystyle \nu }$en tercer orden si y solo si ambos

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

De forma equivalente,${\displaystyle \rho }$domina${\displaystyle \nu }$en tercer orden si y solo si${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$a pesar de${\displaystyle U\in D_{3}}$.

El conjunto${\displaystyle D_{3}}$tiene dos definiciones equivalentes:

• el conjunto de funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes que presentan asimetría positiva (es decir, tienen una tercera derivada no negativa en todo momento). ^{[ 10 ]}
• el conjunto de funciones de utilidad cóncavas y no decrecientes, tales que para cualquier variable aleatoria${\displaystyle Z}$, la función de prima de riesgo${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$es una función monótonamente no creciente de${\displaystyle x}$. ^{[ 11 ]}

Aquí,${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$se define como la solución al problema$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$Consulte más detalles en la página de prima de riesgo .

También se han analizado órdenes superiores de dominancia estocástica, así como generalizaciones de la relación dual entre los ordenamientos de dominancia estocástica y las clases de funciones de preferencia. ^{[ 12 ]} Posiblemente el criterio de dominancia más poderoso se basa en el supuesto económico aceptado de aversión absoluta al riesgo decreciente . ^{[ 13 ] [ 14 ]} Esto implica varios desafíos analíticos y se está llevando a cabo un esfuerzo de investigación para abordarlos. ^{[ 15 ]}

Formalmente, la dominancia estocástica de orden n se define como ^{[ 16 ].}

• Para cualquier distribución de probabilidad${\displaystyle \rho }$en${\displaystyle [0,\infty )}$, definimos las funciones inductivamente:

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• Para cualesquiera dos distribuciones de probabilidad${\displaystyle \rho ,\nu }$en${\displaystyle [0,\infty )}$La dominancia estocástica de orden n, no estricta y estricta, se define como$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$$${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

Estas relaciones son transitivas y cada vez más inclusivas. Es decir, si${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$, entonces${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$a pesar de${\displaystyle k\geq n}$Además, existe${\displaystyle \rho ,\nu }$de tal manera que${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$pero no${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$.

Definimos el n-ésimo momento mediante${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$, entonces

Las relaciones de dominancia estocástica pueden usarse como restricciones en problemas de optimización matemática , en particular en programación estocástica . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} En un problema de maximizar una función real${\displaystyle f(X)}$sobre variables aleatorias${\displaystyle X}$en un conjunto${\displaystyle X_{0}}$Además, podemos requerir que${\displaystyle X}$domina estocásticamente un punto de referencia aleatorio fijo${\displaystyle B}$En estos problemas, las funciones de utilidad desempeñan el papel de multiplicadores de Lagrange asociados a restricciones de dominancia estocástica. Bajo condiciones apropiadas, la solución del problema es también una solución (posiblemente local) del problema para maximizar ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$encima${\displaystyle X}$en${\displaystyle X_{0}}$, dónde${\displaystyle u(x)}$es una determinada función de utilidad. Si se emplea la restricción de dominancia estocástica de primer orden, la función de utilidad${\displaystyle u(x)}$es no decreciente ; si se utiliza la restricción de dominancia estocástica de segundo orden,${\displaystyle u(x)}$es no decreciente y cóncava . Un sistema de ecuaciones lineales puede probar si una solución dada es eficiente para cualquier función de utilidad de este tipo. ^{[ 20 ]} Las restricciones de dominancia estocástica de tercer orden se pueden tratar utilizando programación con restricciones cuadráticas convexas (QCP). ^{[ 21 ]}

• Teoría moderna de carteras
• Dominancia estocástica condicional marginal
• Extensión de conjunto responsiva : equivalente a la dominancia estocástica en el contexto de las relaciones de preferencia.
• Catalizador cuántico
• eficiencia de Pareto ordinal
• Dominio lexicográfico