Ley de Stokes

A la velocidad terminal (o de asentamiento) , la fuerza en exceso F _e debida a la diferencia entre el peso y la flotabilidad de la esfera (ambas causadas por la gravedad ^{[ 7 ]} ) viene dada por:

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

donde (en unidades del SI ):

• ρ _p es la densidad de masa de la esfera [kg/m ³ ]
• ρ _f es la densidad de masa del fluido [kg/m ³ ].
• g es la aceleración gravitatoria [m/ ^s² ]

Al exigir el equilibrio de fuerzas F _d = F _e y resolver para la velocidad v se obtiene la velocidad terminal v _s . Nótese que, dado que la fuerza en exceso aumenta como R ³ y la resistencia de Stokes aumenta como R , la velocidad terminal aumenta como R ² y, por lo tanto, varía mucho con el tamaño de la partícula como se muestra a continuación. Si una partícula solo experimenta su propio peso mientras cae en un fluido viscoso, entonces se alcanza una velocidad terminal cuando la suma de las fuerzas de fricción y de flotación sobre la partícula debido al fluido equilibra exactamente la fuerza gravitatoria . Esta velocidad v [m/s] viene dada por: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ verticalmente hacia abajo}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ verticalmente hacia arriba}}\end{cases}}}$$

donde (en unidades del SI):

• g es la intensidad del campo gravitatorio [m/ ^s² ]
• R es el radio de la partícula esférica [m]
• ρ _p es la densidad de masa de la partícula [kg/m ³ ].
• ρ _f es la densidad de masa del fluido [kg/m ³ ].
• μ es la viscosidad dinámica [kg/(m•s)].

En el flujo de Stokes , a números de Reynolds muy bajos , se desprecian los términos de aceleración convectiva en las ecuaciones de Navier-Stokes . Entonces, las ecuaciones de flujo se convierten, para un flujo estacionario incompresible : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

dónde:

• p es la presión del fluido (en Pa),
• u es la velocidad del flujo (en m/s), y
• ω es la vorticidad (en s ⁻¹ ), definida como ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

Mediante el uso de algunas identidades del cálculo vectorial , se puede demostrar que estas ecuaciones dan como resultado las ecuaciones de Laplace para la presión y cada una de las componentes del vector de vorticidad: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$ y ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

No se han tenido en cuenta fuerzas adicionales como la gravedad y la flotabilidad, pero se pueden añadir fácilmente ya que las ecuaciones anteriores son lineales, por lo que se puede aplicar la superposición lineal de soluciones y fuerzas asociadas.

Para el caso de una esfera en un flujo uniforme de campo lejano , es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas ( r , φ , z ) . El eje z pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección media del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicularmente al eje z . El origen se encuentra en el centro de la esfera. Dado que el flujo es axisimétrico alrededor del eje z , es independiente del acimut φ .

En este sistema de coordenadas cilíndricas, el flujo incompresible se puede describir con una función de corriente de Stokes ψ , que depende de r y z : ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

donde u _r y u _z son las componentes de la velocidad del flujo en las direcciones r y z , respectivamente. La componente de velocidad azimutal en la dirección φ es igual a cero en este caso axisimétrico. El flujo volumétrico a través de un tubo delimitado por una superficie de valor constante ψ es igual a 2 πψ y es constante. ^{[ 9 ]}

Para este caso de un flujo axisimétrico, el único componente no nulo del vector de vorticidad ω es el componente azimutal φ ω _φ ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

El operador de Laplace , aplicado a la vorticidad ω _φ , se convierte en este sistema de coordenadas cilíndricas con simetría axial: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

A partir de las dos ecuaciones anteriores, y con las condiciones de contorno apropiadas, para una velocidad de flujo uniforme de campo lejano u en la dirección z y una esfera de radio R , se encuentra que la solución es ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

La solución de la velocidad en coordenadas cilíndricas y componentes es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3Rrzu}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left(\left({\frac {R}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\right)\\[4pt]u_{z}(r,z)&=u+{\frac {3Ru}{4{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}\left({\frac {2R^{2}+3r^{2}}{3(r^{2}+z^{2})}}-\left({\frac {rR}{r^{2}+z^{2}}}\right)^{2}-2\right)\end{aligned}}}$

La solución de la vorticidad en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas esféricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

La fórmula de la presión también se denomina potencial dipolar, de forma análoga al concepto utilizado en electrostática.

Una formulación más general, con un vector de velocidad de campo lejano arbitrario.${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$, en coordenadas cartesianas${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$A continuación: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{conservative: curl=0,}}\ \nabla ^{2}\mathbf {u} =0}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),\ \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla p}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbf {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

En esta formulación, el término no conservativo representa una especie de llamada Stokeslet . La Stokeslet es la función de Green de las ecuaciones de flujo de Stokes. El término conservativo es igual al campo gradiente dipolar . La fórmula de la vorticidad es análoga a la ley de Biot-Savart en electromagnetismo .

Alternativamente, de una manera más compacta, se puede formular el campo de velocidad de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\left[\mathbf {I} +\mathrm {H} \left({\frac {R^{3}}{4}}{\frac {1}{\|\mathbf {x} \|}}\right)-\mathrm {S} \left({\frac {3R}{4}}\|\mathbf {x} \|\right)\right]\cdot \mathbf {u} _{\infty },\quad \|\mathbf {x} \|\geq R}$,

dónde${\displaystyle \mathrm {H} =\nabla \otimes \nabla }$es el operador diferencial de la matriz hessiana y${\displaystyle \mathrm {S} =\mathbf {I} \nabla ^{2}-\mathrm {H} }$es un operador diferencial compuesto como la diferencia del laplaciano y el hessiano. De esta manera queda explícitamente claro que la solución está compuesta a partir de derivadas de un potencial de Coulomb (${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$) y un potencial biarmónico (${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$). El operador diferencial${\displaystyle \mathrm {S} }$aplicado a la norma vectorial${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$genera el Stokeslet.

La siguiente fórmula describe el tensor de esfuerzos viscosos para el caso especial del flujo de Stokes. Es necesaria en el cálculo de la fuerza que actúa sobre la partícula. En coordenadas cartesianas, el gradiente vectorial${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$es idéntica a la matriz jacobiana . La matriz I representa la matriz identidad .

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

La fuerza que actúa sobre la esfera se puede calcular mediante la integral del tensor de tensiones sobre la superficie de la esfera, donde e _r representa el vector unitario radial de coordenadas esféricas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$