Problema de Stokes

Fuentes: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La condición inicial no es necesaria debido a la periodicidad. Dado que tanto la ecuación como las condiciones de contorno son lineales, la velocidad puede escribirse como la parte real de alguna función compleja.

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

porque${\displaystyle \cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]}$.

Sustituyendo esto en la ecuación diferencial parcial, se reduce a una ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

con condiciones de contorno

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

La solución al problema anterior es

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

La perturbación creada por la placa oscilante se propaga como una onda transversal a través del fluido, pero se ve altamente amortiguada por el factor exponencial. La profundidad de penetración${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$La amplitud de esta onda disminuye con la frecuencia de la oscilación, pero aumenta con la viscosidad cinemática del fluido.

La fuerza por unidad de área ejercida sobre la placa por el fluido es

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Existe un desfase entre la oscilación de la placa y la fuerza generada.

Una observación importante de la solución de Stokes para el flujo por encima de la pared oscilante es que dos capas de fluido a una distancia${\displaystyle 2\pi {\sqrt {2\nu /\omega }}}$oscilan en fase. Esta longitud define una especie de longitud de onda del movimiento del fluido normal a la placa. Dado que las oscilaciones de velocidad decaen exponencialmente a medida que nos alejamos de la pared, la viscosidad domina la inercia del fluido en las capas de fluido adyacentes a la pared. La escala de longitud de esta capa límite viene dada por${\displaystyle \delta _{St}\approx {\sqrt {\nu /\omega }}}$y denominada capa límite de Stokes . ^{[ 7 ]}

Así, las oscilaciones de vorticidad se limitan a una capa límite delgada y se amortiguan exponencialmente al alejarse de la pared. ^{[ 8 ]} Esta observación también es válida para el caso de una capa límite turbulenta. Fuera de la capa límite de Stokes, que suele ser la mayor parte del volumen del fluido, las oscilaciones de vorticidad pueden despreciarse. Con buena aproximación, las oscilaciones de la velocidad del flujo son irrotacionales fuera de la capa límite, y la teoría del flujo potencial puede aplicarse a la parte oscilatoria del movimiento. Esto simplifica significativamente la solución de estos problemas de flujo y se aplica con frecuencia en las regiones de flujo irrotacional de las ondas sonoras y las ondas de agua .

Si el dominio del fluido está delimitado por una pared superior estacionaria, situada a una altura${\displaystyle y=h}$, la velocidad del flujo viene dada por

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

dónde${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\omega /(2\nu )}}}$.

Supongamos que la extensión del dominio del fluido es${\displaystyle 0<y<h}$con${\displaystyle y=h}$representando una superficie libre. Entonces, la solución como la mostró Chia-Shun Yih en 1968 ^{[ 9 ]} viene dada por

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(WW^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(hy)/\delta ]e^{i\omega t}}$

dónde${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$y${\displaystyle W^{*}}$es el conjugado complejo de${\displaystyle W.}$

El caso de un flujo oscilante de campo lejano , con la placa en reposo, se puede construir fácilmente a partir de la solución anterior para una placa oscilante mediante la superposición lineal de soluciones. Consideremos una oscilación de velocidad uniforme.${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$lejos de la placa y una velocidad que se desvanece en la placa${\displaystyle u(0,t)=0}$A diferencia del fluido estacionario del problema original, el gradiente de presión aquí en el infinito debe ser una función armónica del tiempo. La solución viene dada por

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

que es cero en la pared y  =  0 , lo que corresponde a la condición de no deslizamiento para una pared en reposo. Esta situación se encuentra frecuentemente en ondas sonoras cerca de una pared sólida, o en el movimiento de fluidos cerca del lecho marino en olas de agua . La vorticidad, para el flujo oscilante cerca de una pared en reposo, es igual a la vorticidad en el caso de una placa oscilante, pero de signo opuesto.

Consideremos un cilindro infinitamente largo de radio${\displaystyle a}$exhibiendo oscilación torsional con velocidad angular${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia. Luego la velocidad se aproxima después de la fase transitoria inicial a ^{[ 10 ].}

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

dónde${\displaystyle K_{1}}$es la función de Bessel modificada de segundo tipo. Esta solución se puede expresar con argumento real ^{[ 11 ]} como:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$y${\displaystyle \mathrm {ker} }$son funciones Kelvin y${\displaystyle R_{\omega }}$es al número de Reynolds oscilatorio adimensional definido como${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$, ser${\displaystyle \nu }$la viscosidad cinemática.

Si el cilindro oscila en la dirección axial con velocidad${\displaystyle U\cos \omega t}$, entonces el campo de velocidad es

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

dónde${\displaystyle K_{0}}$es la función de Bessel modificada de segundo tipo.