dinámica estokesiana

La dinámica de Stokes ^{[ 1 ]} es una técnica de solución para la ecuación de Langevin , que es la forma relevante de la segunda ley de Newton para una partícula browniana . El método trata las partículas suspendidas de forma discreta, mientras que la aproximación continua sigue siendo válida para el fluido circundante; es decir, se supone que las partículas suspendidas son significativamente más grandes que las moléculas del disolvente. Las partículas interactúan entonces mediante fuerzas hidrodinámicas transmitidas a través del fluido continuo, y cuando el número de Reynolds de la partícula es pequeño, estas fuerzas se determinan mediante las ecuaciones lineales de Stokes (de ahí el nombre del método). Además, el método también puede resolver fuerzas no hidrodinámicas, como las fuerzas brownianas, que surgen del movimiento fluctuante del fluido, y fuerzas interparticulares o externas. La dinámica de Stokes se puede aplicar a una variedad de problemas, incluyendo sedimentación, difusión y reología, y tiene como objetivo proporcionar el mismo nivel de comprensión para sistemas particulados multifásicos que la dinámica molecular para las propiedades estadísticas de la materia.${\displaystyle N}$partículas rígidas de radio${\displaystyle a}$suspendido en un fluido newtoniano incompresible de viscosidad${\displaystyle \eta }$y densidad${\displaystyle \rho }$El movimiento del fluido se rige por las ecuaciones de Navier-Stokes, mientras que el movimiento de las partículas se describe mediante la ecuación de movimiento acoplada:

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

En la ecuación anterior${\displaystyle \mathbf {U} }$es el vector de velocidad de traslación/rotación de la partícula de dimensión 6 N .${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$es la fuerza hidrodinámica, es decir, la fuerza ejercida por el fluido sobre la partícula debido al movimiento relativo entre ellas.${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$es la fuerza browniana estocástica debida al movimiento térmico de las partículas del fluido.${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$es la fuerza no hidrodinámica determinista, que puede ser casi cualquier forma de fuerza interparticular o externa, por ejemplo, la repulsión electrostática entre partículas con carga similar. La dinámica browniana es una de las técnicas más populares para resolver la ecuación de Langevin , pero la interacción hidrodinámica en la dinámica browniana está muy simplificada y normalmente solo incluye la resistencia del cuerpo aislado. Por otro lado, la dinámica de Stokes incluye las interacciones hidrodinámicas de muchos cuerpos. La interacción hidrodinámica es muy importante para suspensiones fuera del equilibrio, como una suspensión sometida a cizallamiento , donde desempeña un papel vital en su microestructura y, por lo tanto, en sus propiedades. La dinámica de Stokes se utiliza principalmente para suspensiones fuera del equilibrio, donde se ha demostrado que proporciona resultados que concuerdan con los experimentos. ^{[ 2 ]}

Cuando el movimiento a escala de partícula es tal que el número de Reynolds de la partícula es pequeño, la fuerza hidrodinámica ejercida sobre las partículas en una suspensión que experimenta un flujo de cizallamiento lineal global es:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

Aquí,${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$es la velocidad del flujo de cizallamiento global evaluada en el centro de la partícula,${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$es la parte simétrica del tensor gradiente de velocidad; ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$y${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$son las matrices de resistencia dependientes de la configuración que dan la fuerza/torque hidrodinámico sobre las partículas debido a su movimiento relativo al fluido (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$) y debido al flujo de corte impuesto (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$). Nótese que los subíndices en las matrices indican el acoplamiento entre cinemático (${\displaystyle \mathbf {U} }$) y dinámico (${\displaystyle \mathbf {F} }$) cantidades.

Una de las características clave de la dinámica de Stokes es su manejo de las interacciones hidrodinámicas, que es bastante preciso sin ser computacionalmente prohibitivo (como los métodos de integral de contorno ) para un gran número de partículas. La dinámica clásica de Stokes requiere${\displaystyle O(N^{3})}$operaciones donde N es el número de partículas en el sistema (generalmente una caja periódica). Los avances recientes han reducido el costo computacional a aproximadamente${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$^{[ 3 ] [ 4 ]}

La fuerza estocástica o browniana${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$surge de las fluctuaciones térmicas en el fluido y se caracteriza por:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)}$

Los corchetes angulares denotan un promedio de conjunto,${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann,${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta y${\displaystyle \delta (t)}$es la función delta. La amplitud de la correlación entre las fuerzas brownianas en el tiempo${\displaystyle 0}$y en ese momento${\displaystyle t}$resultados derivados del teorema de fluctuación-disipación para el sistema de N cuerpos.

• Métodos de contorno inmerso
• Métodos lagrangianos eulerianos estocásticos