flujo de Stokes

Las ecuaciones de Stokes representan una simplificación considerable de las ecuaciones completas de Navier-Stokes , especialmente en el caso newtoniano incompresible. ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ]} Son la simplificación de orden principal de las ecuaciones completas de Navier-Stokes, válidas en el límite distinguido${\displaystyle \mathrm {Re} \a 0.}$

Instantaneidad

Un flujo de Stokes no depende del tiempo, salvo por las condiciones de contorno que sí dependen del tiempo . Esto significa que, dadas las condiciones de contorno de un flujo de Stokes, se puede determinar dicho flujo sin necesidad de conocer su comportamiento en ningún otro instante.

Reversibilidad temporal

La reversibilidad temporal, consecuencia inmediata de la instantaneidad, implica que un flujo de Stokes invertido en el tiempo resuelve las mismas ecuaciones que el flujo de Stokes original. Esta propiedad puede utilizarse en ocasiones (junto con la linealidad y la simetría en las condiciones de contorno) para obtener resultados sobre un flujo sin resolverlo completamente. La reversibilidad temporal dificulta la mezcla de dos fluidos mediante flujo lento.

Si bien estas propiedades son válidas para los flujos de Stokes newtonianos incompresibles, la naturaleza no lineal y, en ocasiones, dependiente del tiempo de los fluidos no newtonianos implica que no se cumplen en el caso más general.

Un sistema Taylor-Couette puede crear flujos laminares en los que cilindros concéntricos de fluido se mueven uno junto al otro en una espiral aparente. ^{[ 14 ]} Un fluido como el jarabe de maíz de alta viscosidad llena el espacio entre dos cilindros, con regiones coloreadas del fluido visibles a través del cilindro exterior transparente. Los cilindros giran uno respecto al otro a baja velocidad, lo que, junto con la alta viscosidad del fluido y la delgadez del espacio, da como resultado un número de Reynolds bajo , de modo que la aparente mezcla de colores es en realidad laminar y luego puede revertirse a un estado aproximadamente inicial. Esto crea una demostración dramática de la aparente mezcla de un fluido y su posterior separación al invertir la dirección del mezclador. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

Con el vector de velocidad expandido como${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$y de forma similar el vector de fuerza del cuerpo${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$, podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Llegamos a estas ecuaciones haciendo las suposiciones de que${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$y la densidad${\displaystyle \rho }$es una constante. ^{[ 9 ]}

El flujo de Hele-Shaw es un ejemplo de geometría en la que las fuerzas de inercia son despreciables. Se define por dos placas paralelas dispuestas muy cerca una de la otra, con el espacio entre ellas ocupado en parte por fluido y en parte por obstáculos en forma de cilindros con generadores perpendiculares a las placas. ^{[ 9 ]}

La teoría de cuerpos esbeltos en el flujo de Stokes es un método aproximado sencillo para determinar el campo de flujo irrotacional alrededor de cuerpos cuya longitud es grande en comparación con su anchura. La base del método consiste en elegir una distribución de singularidades de flujo a lo largo de una línea (dado que el cuerpo es esbelto) de modo que su flujo irrotacional, en combinación con una corriente uniforme, satisfaga aproximadamente la condición de velocidad normal cero. ^{[ 9 ]}

La solución general de Horace Lamb surge del hecho de que la presión${\displaystyle p}$satisface la ecuación de Laplace y puede expandirse en una serie de armónicos esféricos sólidos en coordenadas esféricas. Como resultado, la solución a las ecuaciones de Stokes puede escribirse como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$y${\displaystyle \chi _{n}}$son armónicos esféricos sólidos de orden${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

y el${\displaystyle P_{n}^{m}}$son los polinomios de Legendre asociados . La solución de Lamb se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido dentro o fuera de una esfera. Por ejemplo, se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido alrededor de una partícula esférica con flujo superficial prescrito, un llamado squirmer , o para describir el flujo dentro de una gota esférica de fluido. Para flujos interiores, los términos con${\displaystyle n<0}$se descartan, mientras que para flujos externos los términos con${\displaystyle n>0}$se abandonan (a menudo la convención)${\displaystyle n\to -n-1}$se asume para flujos externos para evitar la indexación por números negativos). ^{[ 1 ]}

Aquí se resume la resistencia de arrastre a una esfera en movimiento, también conocida como solución de Stokes. Dada una esfera de radio${\displaystyle a}$, viajando a velocidad${\displaystyle U}$, en un fluido de Stokes con viscosidad dinámica${\displaystyle \mu }$la fuerza de arrastre${\displaystyle F_{D}}$está dado por: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

La solución de Stokes disipa menos energía que cualquier otro campo vectorial solenoidal con las mismas velocidades de contorno: esto se conoce como el teorema de mínima disipación de Helmholtz . ^{[ 1 ]}

El teorema de reciprocidad de Lorentz establece una relación entre dos flujos de Stokes en la misma región. Consideremos una región llena de fluido.${\displaystyle V}$delimitado por superficie${\displaystyle S}$. Sean los campos de velocidad${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {u} '}$resolver las ecuaciones de Stokes en el dominio${\displaystyle V}$, cada uno con sus correspondientes campos de tensión${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$y${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$Entonces se cumple la siguiente igualdad:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

Dónde${\displaystyle \mathbf {n} }$es la unidad normal en la superficie${\displaystyle S}$El teorema de reciprocidad de Lorentz se puede utilizar para demostrar que el flujo de Stokes "transmite" sin cambios la fuerza y ​​el par totales desde una superficie cerrada interna a una superficie exterior envolvente. ^{[ 1 ]} El teorema de reciprocidad de Lorentz también se puede utilizar para relacionar la velocidad de natación de un microorganismo, como una cianobacteria , con la velocidad superficial que está determinada por las deformaciones de la forma del cuerpo a través de cilios o flagelos . ^{[ 19 ]} El teorema de reciprocidad de Lorentz también se ha utilizado en el contexto de la teoría elastohidrodinámica para derivar la fuerza de sustentación ejercida sobre un objeto sólido que se mueve tangente a la superficie de una interfaz elástica a bajos números de Reynolds . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Las leyes de Faxén son relaciones directas que expresan los momentos multipolares en términos del flujo ambiental y sus derivadas. Desarrolladas por primera vez por Hilding Faxén para calcular la fuerza,${\displaystyle \mathbf {F} }$y par motor,${\displaystyle \mathbf {T} }$En una esfera, adoptan la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica,${\displaystyle a}$es el radio de la partícula,${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$es el flujo ambiental,${\displaystyle \mathbf {U} }$es la velocidad de la partícula,${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$es la velocidad angular del flujo de fondo, y${\displaystyle \mathbf {\omega } }$es la velocidad angular de la partícula.

Las leyes de Faxén pueden generalizarse para describir los momentos de otras formas, como elipsoides, esferoides y gotas esféricas. ^{[ 1 ]}