Teorema de representación de Stone para álgebras booleanas

En matemáticas , el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que toda álgebra booleana es isomorfa a un cierto cuerpo de conjuntos . Este teorema es fundamental para la comprensión más profunda del álgebra booleana que surgió en la primera mitad del siglo XX. El teorema fue demostrado por primera vez por Marshall H. Stone . ^{[ 1 ]} Stone llegó a él a partir de su estudio de la teoría espectral de operadores en un espacio de Hilbert . ^{[ 2 ]}

Cada álgebra booleana B tiene un espacio topológico asociado , denotado aquí S ( B ), llamado su espacio de Stone . Los puntos en S ( B ) son los ultrafiltros en B , o equivalentemente los homomorfismos de B al álgebra booleana de dos elementos . La topología en S ( B ) está generada por una base que consta de todos los conjuntos de la forma $${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$$ donde b es un elemento de B. Estos conjuntos también son cerrados y, por lo tanto , abiertos y cerrados ( clopen ). Esta es la topología de convergencia puntual de redes de homomorfismos en el álgebra booleana de dos elementos.

Para cada álgebra booleana B , S ( B ) es un espacio de Hausdorff compacto totalmente disconexo ; estos espacios se denominan espacios de Stone (también espacios profinitos ). Recíprocamente, dado cualquier espacio de Stone X , el conjunto de subconjuntos de X que son clopen es un álgebra booleana.

Una versión simple del teorema de representación de Stone establece que toda álgebra booleana B es isomorfa al álgebra de subconjuntos clopen de su espacio de Stone S ( B ). El isomorfismo envía un elemento${\displaystyle b\in B}$al conjunto de todos los ultrafiltros que contienen b . Este es un conjunto clopen debido a la elección de la topología en S ( B ) y porque B es un álgebra booleana.

Reformulando el teorema utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , este establece que existe una dualidad entre la categoría de álgebras booleanas y la categoría de espacios de Stone. Esta dualidad implica que, además de la correspondencia entre las álgebras booleanas y sus espacios de Stone, cada homomorfismo de un álgebra booleana A a un álgebra booleana B se corresponde de forma natural con una función continua de S ( B ) a S ( A ). En otras palabras, existe un functor contravariante que establece una equivalencia entre las categorías. La acción del functor inverso sobre los morfismos genera una aplicación continua entre los espacios de Stone.${\displaystyle f:S(B_{1})\to S(B_{2})}$al morfismo de álgebras booleanas${\displaystyle B_{2}\to B_{1}}$que envía un elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle B_{2}}$, identificado como un subconjunto clopen de${\displaystyle S(B_{2})}$, a la imagen inversa${\displaystyle f^{-1}(x)}$, un subconjunto abierto de${\displaystyle S(B_{1})}$identificado a un elemento de${\displaystyle B_{1}}$Este fue un ejemplo temprano de una dualidad no trivial de categorías.

El teorema es un caso especial de la dualidad de Stone , un marco más general para las dualidades entre espacios topológicos y conjuntos parcialmente ordenados .

La demostración requiere el axioma de elección o una forma debilitada del mismo. En concreto, el teorema es equivalente al teorema del ideal primo booleano , un principio de elección debilitado que establece que toda álgebra booleana tiene un ideal primo.

Una extensión de la dualidad clásica de Stone a la categoría de espacios booleanos (es decir, espacios de Hausdorff localmente compactos de dimensión cero ) y aplicaciones continuas (respectivamente, aplicaciones perfectas) fue obtenida por GD Dimov (respectivamente, por HP Doctor). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Teorema de representación de Stone para retículos distributivos
• Teorema de representación : prueba de que toda estructura con ciertas propiedades es isomorfa a otra estructura. 
• Cuerpo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos. 
• Lista de temas de álgebra booleana
• Espacio stoneano : espacio topológico en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Grupo finito – Grupo topológico que, en cierto sentido, está formado por un sistema de grupos finitos. 
• Lema de ultrafiltro : filtro propio máximo. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 

• Halmos, Paul ; Givant, Steven (1998). La lógica como álgebra . Exposiciones matemáticas de Dolciani. Vol.  21. The Mathematical Association of America . ISBN 0-88385-327-2.
• Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981). Un curso de álgebra universal . Springer. ISBN 3-540-90578-2.