Detener el tiempo

En teoría de la probabilidad , en particular en el estudio de procesos estocásticos , un tiempo de parada (también llamado tiempo de Markov , momento de Markov , tiempo de parada opcional o tiempo opcional ^{[ 1 ]} ) es un tipo específico de "tiempo aleatorio": una variable aleatoria cuyo valor se interpreta como el momento en que un proceso estocástico dado exhibe un comportamiento de interés. Un tiempo de parada suele definirse mediante una regla de parada , un mecanismo para decidir si continuar o detener un proceso en función de la posición actual y los eventos pasados, y que casi siempre conducirá a la decisión de detenerse en un tiempo finito.

Los tiempos de parada aparecen en la teoría de la decisión , y el teorema de parada opcional es un resultado importante en este contexto. Los tiempos de parada también se aplican con frecuencia en demostraciones matemáticas para "domar el continuo del tiempo", como lo expresó Chung en su libro (1982).

Para ilustrar algunos ejemplos de momentos aleatorios que constituyen reglas de detención y otros que no, consideremos a un jugador que juega a la ruleta con una ventaja típica de la casa, comenzando con 100 dólares y apostando 1 dólar al rojo en cada partida:

• Jugar exactamente cinco partidas corresponde al tiempo de parada τ  =  5, y es una regla de parada.
• Jugar hasta que se queden sin dinero o hayan jugado 500 partidas es una regla que pone fin a la actividad.
• Jugar hasta obtener la máxima ventaja posible no es una regla que detenga el juego ni establece un tiempo límite, ya que requiere información sobre el futuro, así como sobre el presente y el pasado.
• Jugar hasta que dupliquen su dinero o se queden sin dinero es una regla de parada, aunque potencialmente no haya límite al número de partidas que juegan, pero la probabilidad de que paren en un tiempo finito es 1.

Para ilustrar la definición más general de tiempo de parada, consideremos el movimiento browniano , que es un proceso estocástico.${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$, donde cada${\displaystyle B_{t}}$es una variable aleatoria definida en el espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$Definimos una filtración en este espacio de probabilidad mediante la siguiente fórmula:${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$sea ​​el σ -álgebra generada por todos los conjuntos de la forma${\displaystyle (B_{s})^{-1}(A)}$dónde${\displaystyle 0\leq s\leq t}$y${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$es un conjunto de Borel . Intuitivamente, un evento E está en${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$si y solo si podemos determinar si E es verdadero o falso simplemente observando el movimiento browniano desde el tiempo 0 hasta el tiempo t .

• Cada constante${\displaystyle \tau$ :=t_{0}} es (trivialmente) un tiempo de parada; corresponde a la regla de parada "detenerse en el tiempo${\displaystyle t_{0}}$".
• Dejar${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$Entonces${\displaystyle \tau$ :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}=a\}} es un tiempo de parada para el movimiento browniano, que corresponde a la regla de parada: "detenerse tan pronto como el movimiento browniano alcance el valor a ".
• Otro tiempo de parada viene dado por${\displaystyle \tau$ :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ para todo }}s\in [t-1,t]\}} . Corresponde a la regla de parada "detenerse tan pronto como el movimiento browniano haya sido positivo en un tramo contiguo de longitud 1 unidad de tiempo".
• En general, si τ ₁ y τ ₂ son tiempos de parada en${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$entonces su mínimo${\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}}$su máximo${\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}}$y su suma τ ₁  + τ ₂ también son tiempos de parada. (Esto no se aplica a las diferencias y los productos, ya que estos pueden requerir "mirar hacia el futuro" para determinar cuándo detenerse). 

Los tiempos de llegada como el segundo ejemplo anterior pueden ser ejemplos importantes de tiempos de parada. Si bien es relativamente sencillo demostrar que prácticamente todos los tiempos de parada son tiempos de llegada, ^{[ 2 ]} puede ser mucho más difícil demostrar que un cierto tiempo de llegada es un tiempo de parada. Este último tipo de resultados se conoce como el teorema de Début .

Los tiempos de parada se utilizan frecuentemente para generalizar ciertas propiedades de los procesos estocásticos a situaciones en las que la propiedad requerida se satisface solo en un sentido local. Primero, si X es un proceso y τ es un tiempo de parada, entonces X ^τ se utiliza para denotar el proceso X detenido en el tiempo τ .

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

Entonces, se dice que X satisface localmente alguna propiedad P si existe una secuencia de tiempos de parada τ _n , que tiende a infinito y para la cual los procesos

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

Satisfacer la propiedad P. Ejemplos comunes, con el conjunto de índices de tiempo I = [0, ∞), son los siguientes:

Proceso de martingala local . Un proceso X es una martingala local si es càdlàg y existe una secuencia de tiempos de parada τ _n creciente hasta el infinito, tal que

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

es una martingala para cada n .

Proceso localmente integrable . Un proceso X no negativo y creciente es localmente integrable si existe una secuencia de tiempos de parada τ _n creciente hasta el infinito, tal que

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}\right]<\infty }$

para cada n .

Los tiempos de parada, con índice de tiempo establecido I = [0,∞), a menudo se dividen en uno de varios tipos dependiendo de si es posible predecir cuándo están a punto de ocurrir.

Un tiempo de parada τ es predecible si es igual al límite de una secuencia creciente de tiempos de parada τ _n que satisface τ _n < τ siempre que τ > 0. Se dice que la secuencia τ _n anuncia τ , y los tiempos de parada predecibles a veces se conocen como anunciables . Ejemplos de tiempos de parada predecibles son los tiempos de llegada de procesos continuos y adaptados . Si τ es el primer tiempo en el que un proceso continuo y de valor real X es igual a algún valor a , entonces es anunciado por la secuencia τ _n , donde τ _n es el primer tiempo en el que X está dentro de una distancia de 1/ n de a .

_{Los tiempos de} parada accesibles son aquellos que pueden cubrirse mediante una secuencia de tiempos predecibles. Es decir, el tiempo de parada τ es accesible si P( τ = τn para algún n ₎ = 1, donde τn son tiempos predecibles.

Un tiempo de parada τ es totalmente inaccesible si nunca puede ser anunciado por una secuencia creciente de tiempos de parada. De forma equivalente, P( τ = σ < ∞) = 0 para todo tiempo predecible σ . Ejemplos de tiempos de parada totalmente inaccesibles incluyen los tiempos de salto de los procesos de Poisson .

Todo tiempo de parada τ puede descomponerse de forma única en un tiempo accesible y un tiempo totalmente inaccesible. Es decir, existe un único tiempo de parada accesible σ y un tiempo totalmente inaccesible υ tales que τ = σ siempre que σ < ∞, τ = υ siempre que υ < ∞, y τ = ∞ siempre que σ = υ = ∞. Cabe destacar que, en el enunciado de este resultado de descomposición, los tiempos de parada no tienen por qué ser casi seguramente finitos, y pueden ser iguales  a ∞.

En los ensayos clínicos en medicina, a menudo se realizan análisis intermedios para determinar si el ensayo ha alcanzado sus objetivos. Sin embargo, estos análisis conllevan el riesgo de obtener resultados falsos positivos, por lo que se utilizan límites de detención para determinar la cantidad y el momento de los análisis intermedios (también conocidos como gasto alfa, que denotan la tasa de falsos positivos). En cada una de las R pruebas intermedias, el ensayo se detiene si la probabilidad es inferior a un umbral p, que depende del método utilizado. Véase Análisis secuencial .

• Parada óptima
• La ecuación de Wald
• Algoritmo de probabilidades
• Problema de secretaria
• Llegar a tiempo
• Proceso detenido
• Problema de trastorno
• Teorema inicial
• Análisis secuencial

• Thomas S. Ferguson , "¿Quién resolvió el problema de la secretaria?", Stat. Sci. vol. 4, 282 – 296, (1989).
• Introducción a la detención de tiempos.
• F. Thomas Bruss , "Suma las probabilidades hasta uno y detente", Anales de Probabilidad, Vol. 4, 1384 – 1391, (2000)
• Chung, Kai Lai (1982). Conferencias desde los procesos de Markov hasta el movimiento browniano . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90618-8.
• H. Vincent Poor y Olympia Hadjiliadis (2008). Detección más rápida (Primera  ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62104-5.
• Protter, Philip E. (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales . En Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 (2.ª edición (versión 2.1, 3.ª reimpresión corregida)  ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7.
• Shiryaev, Albert N. (2007). Reglas de parada óptimas . Springer. ISBN 978-3-540-74010-0.