Construcción Strähle

La construcción de Strähle es un método geométrico para determinar las longitudes de una serie de cuerdas vibrantes con diámetros y tensiones uniformes, que producen tonos en una afinación musical temperada racional específica . Fue publicada por primera vez en las Actas de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1743 por el maestro organero sueco Daniel Stråhle ( 1700-1746). El secretario de la Academia, Jacob Faggot, adjuntó al artículo un conjunto de tonos erróneos, y estas cifras fueron reproducidas por Friedrich Wilhelm Marpurg en Versuch über die musikalische Temperatur en 1776. Varios libros de texto alemanes publicados alrededor de 1800 informaron que el error fue identificado por primera vez por Christlieb Benedikt Funk en 1779, pero la construcción en sí parece haber recibido poca atención hasta mediados del siglo XX, cuando el teórico de la afinación J. Murray Barbour la presentó como un buen método para aproximar el temperamento igual y exponenciales similares de raíces pequeñas, y generalizó sus principios matemáticos subyacentes.

Se ha dado a conocer como un dispositivo para construir instrumentos musicales con trastes gracias a artículos de los matemáticos Ian Stewart e Isaac Jacob Schoenberg , quienes lo elogian como una solución única y extraordinariamente elegante desarrollada por un artesano autodidacta.

El nombre "Strähle" utilizado en obras recientes en inglés parece deberse a un error de transcripción en el texto de Marpurg, donde el diacrítico antiguo "e" elevado fue sustituido por el anillo elevado. ^{[ 1 ]}

Daniel P. Stråhle fue constructor de órganos en el centro de Suecia durante el segundo cuarto del siglo XVIII. Había trabajado como oficial para el importante constructor de órganos de Estocolmo, Johan Niclas Cahman , y en 1741 , cuatro años después de la muerte de Cahman, a Stråhle se le concedió el privilegio de construir órganos. Según el sistema vigente en Suecia en ese momento, un privilegio, un monopolio otorgado que solo ostentaban unos pocos de los fabricantes más establecidos de cada tipo de instrumento musical, le otorgaba el derecho legal de construir y reparar órganos, así como de capacitar y examinar a los trabajadores, y también servía como garantía de la calidad del trabajo y la formación del constructor. ^{[ 2 ]} Un órgano suyo de 1743 se conserva en su estado original en la capilla del Palacio de Strömsholm ; ^{[ 3 ]} También se sabe que construyó clavicordios , y un ejemplo notable con una escala de cuerdas y una construcción inusuales, firmado por él y fechado en 1738, pertenece al Museo de Música de Estocolmo . ^{[ 4 ]} Entre sus aprendices se encontraban su sobrino Petter Stråhle y Jonas Gren, socios de los famosos constructores de órganos de Estocolmo Gren & Stråhle, ^{[ 5 ]} y según Abraham Abrahamsson Hülphers en su libro Historisk Afhandling om Musik och Instrumenter publicado en 1773, el propio Stråhle había estudiado mecánica (que se supone que incluía matemáticas ^{[ 6 ]} ) con Christopher Polhem , miembro fundador de la Academia Sueca de Ciencias . ^{[ 7 ]} Murió en 1746 en Lövstabruk, en el norte de Uppland.

Stråhle publicó su construcción como una "nueva invención para determinar el temperamento en la afinación de las notas del clavicordio e instrumentos similares" en un artículo que apareció en el cuarto volumen de las actas de la recién formada Real Academia Sueca de Ciencias, que incluía artículos de destacados académicos y miembros de la Academia como Polhem, Carl Linnaeus , Carl Fredrik Mennander , Augustin Ehrensvärd y Samuel Klingenstierna . Según la organóloga Eva Helenius, la afinación musical fue objeto de intenso debate en la Academia durante la década de 1740, ^{[ 8 ]} y aunque Stråhle no era miembro, su artículo sobre temas musicales prácticos fue el tercero publicado por la Academia; los dos primeros fueron del fabricante de instrumentos musicales aficionado, ministro y miembro de la Academia Nils Brelin ^{[ 9 ]} , que trataban sobre invenciones aplicables a clavecines y clavicordios. ^{[ 10 ]}

Stråhle escribió en su artículo que había desarrollado el método con "cierta reflexión y un gran número de intentos" con el propósito de crear un calibre para las longitudes de las cuerdas en el temperamento que describió como aquel que hacía que el temperado ("sväfningar") fuera más suave para el oído, además de comprender la disposición más útil y uniforme de los tonos. Sus instrucciones producen una afinación irregular con un rango de intervalos temperados similar a afinaciones más conocidas publicadas durante el mismo período, pero no proporcionó más comentarios o descripción sobre la afinación en sí; hoy en día se considera generalmente una aproximación del temperamento igual . ^{[ 11 ]} Tampoco elaboró ​​ninguna ventaja de su construcción, que puede producir resultados precisos y repetibles sin cálculos ni mediciones con solo una regla y un compás; Describió la construcción en solo cinco pasos, y es menos iterativa que los métodos aritméticos descritos por Dom Bédos de Celles para determinar las longitudes de los tubos del órgano en afinación justa o Vincenzo Galilei para determinar las posiciones de los trastes de las cuerdas en temperamento igual aproximado, y métodos geométricos como los descritos por Gioseffo Zarlino y Marin Mersenne , todos ellos mucho más conocidos que el de Stråhle. Stråhle concluyó afirmando que había aplicado el sistema a un clavicordio, aunque la afinación, así como el método para determinar un conjunto de longitudes sonoras, pueden utilizarse para muchos otros instrumentos musicales, pero hay poca evidencia que demuestre si se puso en práctica de forma más generalizada aparte de los dos ejemplos descritos en el artículo, cuyo paradero actual se desconoce.

Stråhle indicó que primero se dibujara un segmento de línea QR de una longitud conveniente, dividido en doce partes iguales, con puntos etiquetados del I al XIII. QR se utiliza como base de un triángulo isósceles con lados OQ y OR que tienen el doble de longitud que QR , y rayos trazados desde el vértice O a través de cada uno de los puntos numerados en la base. Finalmente, se traza una línea desde el vértice R en ángulo, pasando por un punto P en el lado opuesto del triángulo, a siete unidades de Q , hasta un punto M , ubicado al doble de la distancia de P a R. La longitud de MR da la longitud del tono más bajo, y la longitud de MP la longitud más alta de las cuerdas generadas por la construcción, y las longitudes de sonido entre ellas están determinadas por las distancias desde M hasta las intersecciones de MR con las líneas OI a O XII , en los puntos etiquetados del 1 al 12.

Stråhle escribió que había llamado a la línea PR "Linea Musica", que Helenius señaló que era un término que Polhem había usado en un manuscrito anterior pero sin fecha que ahora se encuentra en la Biblioteca Estatal y Regional de Linköping y que está acompañado de notas del compositor y geómetra Harald Vallerius (1646-1716) y del antiguo empleador de Stråhle, JN Cahman. ^{[ 8 ]}

Stråhle también mostró segmentos de línea paralelos a MR que pasan por los puntos NHS , LYT y KZV para ilustrar cómo, una vez creada, la construcción podría ampliarse para adaptarse a diferentes campos de juego iniciales.

Stråhle afirmó al final del artículo que había implementado la escala de cuerdas en las tres octavas más altas de un clavicordio, aunque no está claro si esta sección habría sido encordada con alambre del mismo calibre y con igual tensión, como el monocordio al que, según escribió, se parecía y cuya construcción describió con más detalle. Sin embargo, solo describió un método indirecto para ajustar su afinación, que requería que primero estableciera tonos de referencia transfiriendo las longitudes de cuerda correspondientes a los puentes móviles de un monocordio de trece cuerdas con llaves, cuyas cuerdas al aire habían sido previamente afinadas al unísono ^.

El artículo que siguió al de Stråhle fue un tratamiento matemático del mismo por Jacob Faggot (1699-1777), entonces secretario de la Academia de Ciencias y futuro director de la Oficina de Topografía, quien en el mismo volumen también contribuyó con artículos sobre una medida de peso para la lejía y métodos para calcular el volumen de barriles . Faggot fue uno de los primeros miembros de la Academia y también había sido miembro de una comisión especial sobre pesos y medidas. ^{[ 12 ]} Aparentemente no era músico, aunque Helenius describió que estaba interesado en temas musicales desde una perspectiva matemática y documentó que periódicamente entraba en contacto con fabricantes de instrumentos musicales a través de la Academia. ^{[ 13 ]} Helenius también presentó una teoría de que Faggot tuvo una influencia más activa, aunque indirecta y póstuma, en la construcción de instrumentos musicales en Suecia, afirmando que pudo haber sugerido las largas cuerdas de tenor utilizadas en dos instrumentos experimentales construidos por Johan Broman en 1756 que, según ella, influyeron en el tipo de clavicordio construido en Suecia a finales del siglo XVIII y principios del XIX. ^{[ 14 ]}

En su análisis del artículo de Stråhle, Faggot describió los pasos trigonométricos que había utilizado para calcular las longitudes sonoras de las notas individuales, con el propósito de comparar la nueva afinación producida por el método de Stråhle con una afinación con terceras, cuartas y quintas puras (etiquetada como "N.º 1" en la tabla) y temperamento igual, al que llamó simplemente "un temperamento antiguo [que] se introduce en la Critica Musica del Sr. Mattheson " ("N.º 2"). Su intención era que el conjunto de cifras resultante mostrara si "la afinación de las notas, siguiendo la invención descrita anteriormente, satisface al oído con sonidos agradables y con mayor uniformidad en las notas musicales de un instrumento de teclado , y por lo tanto enseña a comprender mejor que la antigua y conocida manera de afinar, cuando el ojo puede ver lo que el oído oye" ^.

Ambos artículos fueron reproducidos en una edición alemana de las actas de la Academia publicada en 1751, ^{[ 16 ]} y una tabla de las longitudes de cuerda calculadas por Faggot fue posteriormente incluida por Marpurg en su Versuch über die musikalische Temperatur de 1776 , ^{[ 1 ]} quien escribió que aceptaba su exactitud pero que, en lugar de lograr el objetivo declarado de "Strähle", la afinación representaba un temperamento desigual "ni siquiera del tipo tolerable". ^c

Las longitudes sonoras calculadas por Faggot son sustancialmente diferentes de las que se producirían según las instrucciones de Stråhle, un hecho que parece haber sido publicado por primera vez por Christlieb Benedict Funk en Dissertatio de Sono et Tono en 1779, ^{[ 17 ]} y la afinación que creó incluye intervalos afinados fuera del rango convencionalmente utilizado en la música artística occidental. A Funk se le atribuye la observación de esta discrepancia en el Physikalisches Wörterbuch de Gehler en 1791, ^{[ 18 ]} y en el Physikalisches Wörterbuch de Fischer en 1804, ^{[ 19 ]} y el error fue señalado por Ernst Chladni en Die Akustik en 1830. ^{[ 20 ]} No parece que se hayan publicado comentarios similares en Suecia durante el mismo período.

Estos trabajos señalan que el error de Faggot se debió a que utilizó un valor de la tangente en lugar de la columna del seno de las tablas logarítmicas. El error consistió en que el ángulo de RP fue aproximadamente siete grados mayor de lo debido, lo que provocó que la longitud efectiva de QP aumentara a 8,605. Esto exageró considerablemente los errores del temperamento en comparación con las afinaciones que presentó junto a él, aunque no está claro si Faggot observó estos defectos aparentes, ya que no hizo más comentarios sobre la construcción o el temperamento de Stråhle en el artículo.

La afinación producida siguiendo las instrucciones de Stråhle es un temperamento racional con un rango de quintas de 696 a 704 cents, que es de aproximadamente un cent más bajo que una quinta mesotónica a dos cents más alto de solo 3:2; el rango de terceras mayores es de 396 a 404 cents, o diez cents más alto de solo 5/4 a tres cents más bajo de 81/64 pitagórico . Estos intervalos caen dentro de lo que se considera aceptable, pero no hay una distribución de mejores terceras a las tonalidades más usadas que caracterizan las afinaciones más populares publicadas en los siglos XVII y XVIII, que se conocen como temperamentos bien temperados . La mejor quinta es pura en la tonalidad de Fa♯ —o la altura dada por MB— que tiene una tercera de 398 cents, y la mejor tercera está en la tonalidad de Mi, que tiene una quinta de 697 cents; La mejor combinación de los dos intervalos está en la tonalidad de Fa y la peor combinación está en la tonalidad de Si♭.

J. Murray Barbour volvió a poner de relieve la construcción de Stråhle junto con el tratamiento que Faggot le dio en el siglo XX. Introducida en el contexto de Marpurg, incluyó una descripción general de la misma junto con los métodos más famosos para determinar la longitud de las cuerdas en su libro de 1951, Tuning and Temperament, donde caracterizó la afinación como una "aproximación para el temperamento igual". También demostró cuán cercana era la construcción de Stråhle a la mejor aproximación que el método podía proporcionar, la cual reduce los errores máximos en terceras y quintas mayores en aproximadamente medio cent y se logra sustituyendo 7.028 por la longitud de QP .

Barbour presentó un análisis más completo de la construcción en "Una aproximación geométrica a las raíces de los números", publicado seis años después en American Mathematical Monthly . ^{[ 21 ]} Revisó el error de Faggot y sus consecuencias, y luego derivó la construcción de Stråhle algebraicamente usando triángulos semejantes . Esto toma la forma generalizada

${\displaystyle N^{m}\doteq {\frac {OA+BA+(OA-3BA)\times {m}}{OA+BA-2BA\times {m}}}}$

Utilizando los valores de las instrucciones de Stråhle, esto se convierte en:

${\displaystyle {\frac {24+10m}{24-7m}}}$

Alquiler${\displaystyle \scriptstyle OA-BA=1}$de modo que${\displaystyle \scriptstyle OA+BA={\sqrt {N}}}$conduce a una forma de la primera fórmula que es más útil para el cálculo.

${\displaystyle N^{m}\doteq {\frac {Nm+{\sqrt {N}}(1-m)}{m+{\sqrt {N}}(1-m)}}}$

El método de Barbour

Métodos de Barbour (rojo) y Schoenberg (azul)

Barbour describió entonces una construcción generalizada que utiliza la media proporcional, fácilmente obtenible , para la longitud de MB , evitando así la mayoría de los ángulos y longitudes específicos requeridos en el original. Para aplicaciones musicales, es más sencilla y sus resultados son ligeramente más uniformes que los de Stråhle, y tiene la ventaja de producir las longitudes de cuerda deseadas sin escalado adicional.

Instruyó que primero se trazara la línea MR correspondiente al mayor de los dos números, siendo MP el menor, y que se construyera su media proporcional en MB . La línea que llevará las divisiones se traza desde R en cualquier ángulo agudo a MR , y perpendicular a ella se traza una línea que pasa por B , la cual interseca la línea que se va a dividir en A , y RA se extiende hasta Q de manera que RA = AQ . Se traza una línea desde Q a través de P , que interseca la línea que pasa por BA en O , y se traza una línea desde O hasta R. La construcción se completa dividiendo QR y trazando rayos desde O a través de cada una de las divisiones.

Barbour concluyó con una discusión sobre el patrón y la magnitud de los errores producidos por la construcción generalizada cuando se utiliza para aproximar exponenciales de diferentes raíces, afirmando que su método "es simple y funciona extraordinariamente bien para números pequeños". Para raíces de 1 a 2, el error es menor que 0,13% (alrededor de 2 centavos cuando N = 2), con máximos alrededor de m = 0,21 y m = 0,79. La curva de error parece aproximadamente sinusoidal y para este rango de N se puede aproximar en aproximadamente un 99% ajustando la curva obtenida para N = 1.${\displaystyle f(m)=m(1-m)(1-2m)}$. El error aumenta rápidamente para raíces más grandes, para las cuales Barbour consideró que el método era inapropiado; la curva de error se asemeja a la forma${\displaystyle \scriptstyle f(x)=x(1-x^{2a})}$con los máximos acercándose a m = 0 y m = 1 a medida que N aumenta.

Construcción de Kützing (en negro) y parte de la construcción de Wolfenden (51,5° en rojo y 35:13 en azul).

Diagrama publicado por Broadwood & Sons, 1862.

Los métodos geométricos y aritméticos para dividir monocordios y diapasones de instrumentos musicales recopilados por Barbour tenían como objetivo explícito ilustrar las diferentes afinaciones que cada uno representa o implica, y las obras de Schoenberg y Stewart mantuvieron un enfoque y referencias similares. Tres libros de texto sobre construcción de pianos que no se incluyen en ellos muestran construcciones similares a las de Stråhle para el diseño de nuevos instrumentos, pero tratan la afinación de sus tonos de forma independiente; ambas construcciones emplean una forma no perpendicular, como sugiere la observación de Schoenberg en "Una aproximación geométrica a las raíces de los números" de Barbour, y una logra resultados óptimos, mientras que la otra demuestra una aplicación con una raíz distinta de 2.

• ^a Stråhle (1743) págs. 285-286:

"Enligit esto påfund, har jag bygt et Monochordium , i så måtto, at det fullan havefver 13 strängar, ock Skulle dy snarare theta Tredekachordium , men som alla strängarna, äro af en nummer , längd ock thon; så behåller jag det gamla nombre.

"Til dessa tretton strängar, är lämpadt et vanligit Manual , af en Octave ; men under hvar sträng, sedan de noga äro stämde i unison , sätter jag löfa stallar, å de puncter , ock Until de längder fra crepinerne , som min nu beskrefne Linea Musica det äfkar  : derefter hvar sträng undfår sin behöriga thon.

"Det Claver , som jag här til förfärdigat är jämnväl i de tre högre Octaverne , noga rättadt efter min Linea Musica , til strängarnes längd ock skilnad  : ock på det stämningen, må utan besvär, kunna ske; så är mit Monochordium så giordt, at det kan ställas ofvan på Claveret , då en Octav på Claveret stämmes, thon för thon, mot sinatilhöriga thoner på Monochordium , después alla de andra thonerne, å Claveret , stämmas Octavs -vis; den stamningen, är ock för örat lättast at värkställa, emedan den bör vara fri för svängningar."

• ^b Faggot (1743) pág. 286:

  "Huruvida thonernes stämning, efter förut beskrefne Påfund, förnöger hörsten, med behageligare ljud, ock med bättre likstämmighet, i de Musikaliska thonerne å et Claver , än de gamla ock ock härtils bekanta stämnings sätt, derom lärer förståndet bättre kunna döma, när ögat får se det örat hörer."

• ^c Marpurg (1776) págs. 167-168:

  "Ich muss gestehen, dass sich dieser Aufsatz mit Vergnügen lesen lässet, und dass ich von der Richtigkeit der vom Hrn. Jacob Faggot, durch eine sehr mühsame trigonometrische Berechnung der Strählischen Linien, gefunden Zahlen voellig überzeuget bin. Nur muss ich hinzufügen, dass die gefunden Zahlen nicht geben, was sie geben sollen, und was Strähle suchte, nemlich eine Temperatur, welche das Schweben am gelindesten für das Gehör macht, und alle Töne in gehörige Gleichstimmigkeit setzet. nichts anders als eine ungleichschwebende Temperatur, und nicht einmal von der erträglichsten Art."

• Daniel P. Stråhle "Nytt Påfund, at finna Temperaturen i stämningen, för thonerne å Claveret ock dylika Instrumenter" Kongliga Swenska Wetenskaps Academiens Handlingar för Månaderne Octubre, noviembre, ock diciembre, vol. IV, Lorentz Ludewig Grefing, Estocolmo 1743 p.  281-285
• Jacob Fagot "Trigonometrisk uträkning på en ny Temperatur , för thonernes stämning å Claveret" Kongliga Swenska Wetenskaps Academiens Handlingar för Månaderne Octubre, noviembre, ock diciembre vol. IV, Lorentz Ludewig Grefing, Estocolmo 1743 p.  286-291
• Ian Stewart, "El fiasco inquieto de Faggot", en John Fauvel, Raymond Flood y Robin Wilson (eds.), Music and Mathematics, Oxford University Press, 2006, págs.  68-75.
• J. Murray Barbour, Afinación y temperamento: Un estudio histórico, Michigan State College, College Press, East Lansing, 1951, págs.  65-68.