Teorema de enderezamiento para campos vectoriales

En cálculo diferencial , el teorema de enderezamiento de dominio establece que, dado un campo vectorial${\displaystyle X}$En una variedad , existen coordenadas locales.${\ Displaystyle y_ {1}, \ puntos, y_ {n}}$de tal manera que${\displaystyle X=\partial /\partial y_{1}}$en un vecindario de un punto donde${\displaystyle X}$es distinto de cero. El teorema también se conoce como enderezamiento de un campo vectorial .

El teorema de Frobenius en geometría diferencial puede considerarse una generalización de este teorema a dimensiones superiores.

Está claro que solo tenemos que encontrar dichas coordenadas en 0 en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Primero escribimos.${\displaystyle X=\sum _{j}f_{j}(x){\partial \over \partial x_{j}}}$dónde${\displaystyle x}$es algún sistema de coordenadas en${\displaystyle 0,}$y${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$son la función componente de${\displaystyle X}$relativo a${\displaystyle x.}$Dejar${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})}$Mediante un cambio lineal de coordenadas, podemos suponer${\displaystyle f(0)=(1,0,\dots ,0).}$Dejar${\displaystyle \Phi (t,p)}$ser la solución del problema de valor inicial${\displaystyle {\dot {x}}=f(x),x(0)=p}$y dejar

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\Phi (x_{1},(0,x_{2},\dots ,x_{n})).}$

${\displaystyle \Phi }$(y por lo tanto${\displaystyle \psi }$) es suave debido a la dependencia suave de las condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias . De ello se deduce que

${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}}\psi (x)=f(\psi (x))}$,

y, dado que${\displaystyle \psi (0,x_{2},\dots ,x_{n})=\Phi (0,(0,x_{2},\dots ,x_{n}))=(0,x_{2},\dots ,x_{n})}$, el diferencial${\displaystyle d\psi }$es la identidad en${\displaystyle 0}$. De este modo,${\displaystyle y=\psi ^{-1}(x)}$es un sistema de coordenadas en${\displaystyle 0}$. Finalmente, dado que${\displaystyle x=\psi (y)}$, tenemos:${\displaystyle {\partial x_{j} \over \partial y_{1}}=f_{j}(\psi (y))=f_{j}(x)}$y entonces${\displaystyle {\partial \over \partial y_{1}}=X}$ según sea necesario.