Teorema de Strassmann

En matemáticas , el teorema de Strassmann es un resultado de la teoría de cuerpos . Afirma que, para cuerpos adecuados, las series de potencias formales adecuadas con coeficientes en el anillo de valuación del cuerpo tienen solo un número finito de ceros.

Fue introducido por Reinhold Strassman . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo con un valor absoluto no arquimediano${\displaystyle |\cdot |}$y dejar${\displaystyle R}$ser el anillo de valoración de${\displaystyle K}$. Dejar${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots }$sea ​​una serie de potencias formal que no sea idénticamente cero, con coeficientes${\displaystyle a_{n}\in R}$convergiendo a cero con respecto a${\displaystyle |\cdot |}$. Entonces${\displaystyle f(x)}$tiene solo una cantidad finita de ceros en${\displaystyle R}$. Más precisamente, el número de ceros es como máximo${\displaystyle N}$, dónde${\displaystyle N}$es el índice más grande con${\displaystyle |a_{N}|=\max _{n\geq 0}|a_{n}|}$.

Un corolario del teorema es que no existe un análogo de la identidad de Euler ,${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$en${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, el campo de los números complejos p-ádicos .

El teorema de Strassman también puede utilizarse para demostrar el teorema de Skolem-Mahler-Lech , que establece que el conjunto de índices en los que una secuencia de recurrencia lineal es igual a cero está compuesto por la unión de un número finito de progresiones aritméticas y un conjunto finito.

El teorema de preparación de Weierstrass sobre anillos locales completos generaliza el teorema de Strassman. Mientras que el teorema de Strassman afirma que${\displaystyle f(x)}$tiene como máximo${\displaystyle N}$ceros en${\displaystyle R}$, un corolario del teorema de preparación de Weierstrass es que${\displaystyle f(x)}$tiene exactamente${\displaystyle N}$ceros en el anillo de valuación de la clausura algebraica de${\displaystyle K}$.

• función exponencial p -ádica

• Murty, M. Ram (2002). Introducción a la teoría analítica de números p-ádica . American Mathematical Society. pág.  35. ISBN 978-0-8218-3262-2.
• Straßmann, Reinhold (1928), "Über den Wertevorrat von Potenzreihen im Gebiet der p-adischen Zahlen". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1928 (159): 13– 28, doi : 10.1515/crll.1928.159.13 , ISSN 0075-4102 , JFM 54.0162.06 , S2CID 117410014   

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Strassman" . MathWorld .