Tensor de energía-tensión

La mayor parte de este artículo trabaja con la forma contravariante, T ^μν del tensor energía-impulso. Sin embargo, a menudo es conveniente trabajar con la forma covariante, $${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$$ o la forma mixta, $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }.}$$

Este artículo utiliza la convención de signos espacial (− + + +) para la signatura métrica.

El tensor de energía-impulso es la corriente de Noether conservada asociada con las traslaciones espaciotemporales .

La divergencia de la energía-impulso no gravitacional es cero. En otras palabras, la energía y el momento no gravitacionales se conservan, $${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }\ \equiv \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }.}$$

La forma integral de la formulación no covariante es $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$$ donde N es cualquier región compacta de cuatro dimensiones del espacio-tiempo;${\textstyle \partial N}$es su límite, una hipersuperficie tridimensional; y${\textstyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$es un elemento del límite considerado como la normal que apunta hacia afuera.

En un espaciotiempo plano y utilizando coordenadas lineales, si se combina esto con la simetría del tensor de energía-impulso, se puede demostrar que el momento angular también se conserva: $${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }\,.}$$

Cuando la gravedad no es despreciable o cuando se utilizan sistemas de coordenadas arbitrarios, la divergencia de la energía-impulso sigue siendo nula. Pero en este caso, se utiliza una definición de la divergencia independiente de las coordenadas que incorpora la derivada covariante.$${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$$ dónde${\textstyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$es el símbolo de Christoffel , que es el campo de fuerza gravitacional .

En consecuencia, si${\textstyle \xi ^{\mu }}$Si es cualquier campo vectorial de Killing , entonces la ley de conservación asociada con la simetría generada por el campo vectorial de Killing puede expresarse como $${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T^{\nu }{}_{\mu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$$

La forma integral de esto es $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }T^{\nu }{}_{\mu }{\sqrt {-g}}\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\,.}$$

La traza del tensor energía-impulso se define como ⁠${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }}$⁠ , así que $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$$

Desde​${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$⁠ , $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$$

En la relatividad general, el tensor energía-impulso se estudia en el contexto de las ecuaciones de campo de Einstein, que a menudo se escriben como $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$ dónde${\textstyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }}$es el tensor de Einstein ,${\textstyle R_{\mu \nu }}$es el tensor de Ricci ,${\textstyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }}$es la curvatura escalar ,${\textstyle g_{\mu \nu }\,}$es el tensor métrico , Λ es la constante cosmológica (despreciable a la escala de una galaxia o menor), y${\textstyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$es la constante gravitacional de Einstein .

En la relatividad especial, la energía-impulso de una partícula no interactuante con masa en reposo m y trayectoria${\textstyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$es: $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)&={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)}\\[1ex]&={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)}\end{aligned}}}$$ dónde${\textstyle v^{\alpha }}$es el vector de velocidad (que no debe confundirse con la cuadrivelocidad , ya que le falta un${\textstyle \gamma }$) $${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$$${\textstyle \delta }$es la función delta de Dirac y${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$es la energía de la partícula.

Escrito en el lenguaje de la física clásica, el tensor de energía-impulso sería (masa relativista, momento, el producto diádico del momento y la velocidad) $${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)\,.}$$

Para un fluido perfecto , el tensor de energía-impulso toma la forma ^{[ 5 ].}$${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$$ dónde${\textstyle \rho }$es la densidad de masa y${\textstyle p}$es la presión isotrópica en el sistema de referencia en reposo ,${\textstyle u^{\alpha }}$es la cuadrivelocidad del fluido y${\textstyle g^{\alpha \beta }}$es la matriz inversa del tensor métrico . Por lo tanto, la traza viene dada por $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\,\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$$

La cuadrivelocidad satisface $${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$$

En el marco de referencia adecuado del fluido , la cuadrivelocidad es $${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$$

La matriz inversa del tensor métrico es simplemente $${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$$ y el tensor de energía-tensión es una matriz diagonal $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$$

El tensor de energía-impulso de Hilbert de un campo electromagnético sin fuente es $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$$ dónde${\textstyle F_{\mu \nu }}$es el tensor del campo electromagnético .

El tensor de energía-impulso para un campo escalar complejo${\textstyle \phi }$que satisface la ecuación de Klein-Gordon es $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$$ y cuando la métrica es plana (Minkowski en coordenadas cartesianas), sus componentes resultan ser: $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$$

El tensor de energía-impulso de Hilbert se define como la derivada funcional.$${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$$ dónde${\textstyle S_{\mathrm {matter} }}$es la parte no gravitacional de la acción ,${\textstyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$es la parte no gravitacional de la densidad lagrangiana , y se ha utilizado la ecuación de Euler-Lagrange . Esta es simétrica e invariante de gauge. Véase la acción de Einstein-Hilbert para más información.

El teorema de Noether implica que existe una corriente conservada asociada a las traslaciones a través del espacio y el tiempo; para más detalles, véase la sección anterior sobre el tensor de energía-impulso en la relatividad especial. Este se denomina tensor de energía-impulso canónico. Generalmente, este tensor no es simétrico y, si disponemos de alguna teoría de gauge, puede que no sea invariante de gauge, ya que las transformaciones de gauge dependientes del espacio no conmutan con las traslaciones espaciales.

En la relatividad general , las traslaciones se realizan con respecto al sistema de coordenadas y, por lo tanto, no se transforman de forma covariante. Véase la sección siguiente sobre el pseudotensor de energía-impulso gravitacional.

En presencia de espín u otro momento angular intrínseco, el tensor de energía-impulso canónico de Noether no es simétrico. El tensor de energía-impulso de Belinfante-Rosenfeld se construye a partir del tensor canónico y la corriente de espín de forma que sea simétrico y se conserve. En la relatividad general, este tensor modificado coincide con el tensor de energía-impulso de Hilbert.