Análisis de tensión-deformación

El análisis de tensiones se centra específicamente en objetos sólidos. El estudio de las tensiones en líquidos y gases es objeto de la mecánica de fluidos .

El análisis de tensiones adopta la visión macroscópica de los materiales característica de la mecánica de medios continuos , es decir, que todas las propiedades de los materiales son homogéneas a escalas suficientemente pequeñas. Por lo tanto, incluso la partícula más pequeña considerada en el análisis de tensiones contiene una enorme cantidad de átomos, y sus propiedades son promedios de las propiedades de esos átomos.

En el análisis de tensiones, normalmente se ignoran las causas físicas de las fuerzas o la naturaleza precisa de los materiales. En cambio, se supone que las tensiones están relacionadas con la deformación del material mediante ecuaciones constitutivas conocidas .

Según las leyes del movimiento de Newton , cualquier fuerza externa que actúe sobre un sistema debe ser equilibrada por fuerzas de reacción internas, ^{[ 1 ]} o provocar la aceleración de las partículas en la parte afectada. En un objeto sólido, todas las partículas deben moverse sustancialmente al unísono para mantener la forma general del objeto. Por consiguiente, cualquier fuerza aplicada a una parte de un objeto sólido debe generar fuerzas de reacción internas que se propagan de partícula en partícula a lo largo de una parte extensa del sistema. Salvo raras excepciones (como los materiales ferromagnéticos o los cuerpos a escala planetaria), las fuerzas internas se deben a interacciones intermoleculares de muy corto alcance y, por lo tanto, se manifiestan como fuerzas de contacto superficial entre partículas adyacentes, es decir, como tensión. ^{[ 2 ]}

El problema fundamental en el análisis de tensiones consiste en determinar la distribución de tensiones internas en todo el sistema, dadas las fuerzas externas que actúan sobre él. En principio, esto significa determinar, implícita o explícitamente, el tensor de tensiones de Cauchy en cada punto. ^{[ 3 ]}

Las fuerzas externas pueden ser fuerzas de volumen (como la gravedad o la atracción magnética), que actúan en todo el volumen de un material; ^{[ 4 ]} o cargas concentradas (como la fricción entre un eje y un cojinete , o el peso de una rueda de tren sobre un riel), que se imaginan actuando sobre un área bidimensional, a lo largo de una línea o en un punto único. La misma fuerza externa neta tendrá un efecto diferente sobre la tensión local dependiendo de si está concentrada o distribuida.

En las aplicaciones de ingeniería civil, normalmente se considera que las estructuras están en equilibrio estático : es decir, que permanecen invariables con el tiempo o que cambian lo suficientemente lento como para que las tensiones viscosas sean insignificantes (cuasiestático). Sin embargo, en ingeniería mecánica y aeroespacial, a menudo es necesario realizar análisis de tensiones en piezas que están lejos del equilibrio, como placas vibrantes o ruedas y ejes que giran rápidamente. En estos casos, las ecuaciones de movimiento deben incluir términos que tengan en cuenta la aceleración de las partículas. En las aplicaciones de diseño estructural, generalmente se intenta asegurar que las tensiones estén muy por debajo del límite elástico del material. En el caso de cargas dinámicas, también debe considerarse la fatiga del material . Sin embargo, estas cuestiones quedan fuera del ámbito del análisis de tensiones propiamente dicho, ya que se tratan en la ciencia de los materiales bajo los nombres de resistencia de materiales , análisis de fatiga , corrosión bajo tensión, modelado de fluencia , entre otros.

El problema básico del análisis de tensiones se puede formular mediante las ecuaciones de movimiento de Euler para cuerpos continuos (que son consecuencia de las leyes de Newton para la conservación del momento lineal y el momento angular ) y el principio de tensión de Euler-Cauchy , junto con las ecuaciones constitutivas apropiadas.

Estas leyes dan lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo tensorial de tensiones con el campo tensorial de deformaciones como funciones desconocidas que deben determinarse. Al resolver cualquiera de ellas, se puede resolver la otra mediante otro conjunto de ecuaciones denominadas ecuaciones constitutivas. Tanto el campo tensorial de tensiones como el de deformaciones suelen ser continuos dentro de cada parte del sistema, y ​​dicha parte puede considerarse un medio continuo con ecuaciones constitutivas que varían suavemente.

Las fuerzas externas del cuerpo aparecerán como el término independiente ("lado derecho") en las ecuaciones diferenciales, mientras que las fuerzas concentradas aparecerán como condiciones de contorno. Una fuerza superficial externa (aplicada), como la presión ambiental o la fricción, puede incorporarse como un valor impuesto del tensor de tensiones a través de esa superficie. Las fuerzas externas que se especifican como cargas lineales (como la tracción) o cargas puntuales (como el peso de una persona de pie sobre un tejado) introducen singularidades en el campo de tensiones y pueden introducirse asumiendo que se distribuyen sobre un pequeño volumen o área superficial. Por lo tanto, el problema básico del análisis de tensiones es un problema de valores en la frontera .

Se dice que un sistema es elástico si cualquier deformación causada por fuerzas aplicadas desaparece espontánea y completamente una vez que se retiran dichas fuerzas. El cálculo de las tensiones (análisis de tensiones) que se desarrollan en estos sistemas se basa en la teoría de la elasticidad y la teoría de la deformación infinitesimal . Cuando las cargas aplicadas provocan deformación permanente, se deben utilizar ecuaciones constitutivas más complejas que puedan tener en cuenta los procesos físicos involucrados ( flujo plástico , fractura , cambio de fase , etc.).

Las estructuras de ingeniería suelen diseñarse de forma que las tensiones máximas esperadas se encuentren dentro del rango del comportamiento elástico lineal (la generalización de la ley de Hooke para medios continuos) del material con el que se construirá la estructura. Es decir, las deformaciones causadas por las tensiones internas están linealmente relacionadas con las cargas aplicadas. En este caso, las ecuaciones diferenciales que definen el tensor de tensiones también son lineales. Las ecuaciones lineales se comprenden mucho mejor que las no lineales; entre otras cosas, su solución (el cálculo de la tensión en cualquier punto deseado dentro de la estructura) también será una función lineal de las fuerzas aplicadas. Para cargas aplicadas suficientemente pequeñas, incluso los sistemas no lineales suelen considerarse lineales.

Una estructura precargada es aquella que presenta fuerzas, tensiones y deformaciones internas impuestas por diversos medios antes de la aplicación de fuerzas externas. Por ejemplo, una estructura puede tener cables tensados, lo que genera fuerzas internas antes de la aplicación de cualquier otra carga. El vidrio templado es un ejemplo común de estructura precargada, donde las fuerzas y tensiones de tracción actúan sobre el plano del vidrio y, en su plano central, provocan fuerzas de compresión sobre las superficies externas del mismo.

El problema matemático representado suele estar mal planteado debido a la infinidad de soluciones. De hecho, en cualquier cuerpo sólido tridimensional puede haber infinitos campos tensoriales de tensión distintos de cero (e infinitamente complejos) que se encuentran en equilibrio estable incluso en ausencia de fuerzas externas. Estos campos de tensión se denominan a menudo campos de tensión hiperestáticos ^{[ 5 ]} y coexisten con los campos de tensión que equilibran las fuerzas externas. En elasticidad lineal, su presencia es necesaria para satisfacer los requisitos de compatibilidad deformación/desplazamiento, y en análisis límite, su presencia es necesaria para maximizar la capacidad de carga de la estructura o componente.

Dicha tensión interna puede deberse a diversas causas físicas, ya sea durante la fabricación (en procesos como la extrusión , la fundición o el trabajo en frío ) o posteriormente (por ejemplo, debido a un calentamiento desigual o a cambios en el contenido de humedad o la composición química). Sin embargo, si se asume que el sistema se comporta de forma lineal con respecto a la carga y la respuesta, el efecto de la precarga puede tenerse en cuenta sumando los resultados de una estructura precargada y la misma estructura sin precarga.

Sin embargo, si no se puede asumir la linealidad, cualquier tensión interna puede afectar la distribución de las fuerzas internas inducidas por las cargas aplicadas (por ejemplo, al modificar la rigidez efectiva del material) o incluso provocar una falla inesperada del material. Por estas razones, se han desarrollado diversas técnicas para evitar o reducir la tensión interna, como el recocido de piezas de vidrio y metal trabajadas en frío, las juntas de dilatación en edificios y las juntas de rodillos en puentes.

El análisis de esfuerzos se simplifica cuando las dimensiones físicas y la distribución de cargas permiten tratar la estructura como unidimensional o bidimensional. En el análisis de un puente, su estructura tridimensional puede idealizarse como una única estructura plana, si todas las fuerzas actúan en el plano de las cerchas del puente. Además, cada elemento de la cercha puede tratarse como un elemento unidimensional, con las fuerzas actuando a lo largo de su eje. En tal caso, las ecuaciones diferenciales se reducen a un conjunto finito de ecuaciones con un número finito de incógnitas.

Si se puede suponer que la distribución de tensiones es uniforme (o predecible, o irrelevante) en una dirección, entonces se puede utilizar la suposición de comportamiento de tensión plana y deformación plana , y las ecuaciones que describen el campo de tensiones serán entonces función de solo dos coordenadas, en lugar de tres.

Incluso bajo la suposición de un comportamiento elástico lineal del material, la relación entre los tensores de tensión y deformación se expresa generalmente mediante un tensor de rigidez de cuarto orden con 21 coeficientes independientes (una matriz de rigidez simétrica de 6 × 6). Esta complejidad puede ser necesaria para materiales anisotrópicos en general, pero para muchos materiales comunes se puede simplificar. Para materiales ortotrópicos como la madera, cuya rigidez es simétrica con respecto a cada uno de los tres planos ortogonales, nueve coeficientes son suficientes para expresar la relación tensión-deformación. Para materiales isotrópicos, estos coeficientes se reducen a solo dos.

Es posible determinar a priori que, en algunas partes del sistema, la tensión será de un tipo determinado, como tracción o compresión uniaxial, cizallamiento simple , compresión o tracción isotrópica, torsión , flexión , etc. En esas partes, el campo de tensiones puede representarse con menos de seis números, e incluso con uno solo.

En cualquier caso, para dominios bidimensionales o tridimensionales, es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de contorno específicas. Se pueden obtener soluciones analíticas (en forma cerrada) de las ecuaciones diferenciales cuando la geometría, las relaciones constitutivas y las condiciones de contorno son suficientemente sencillas. Para problemas más complejos, generalmente se recurre a aproximaciones numéricas como el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas y el método de elementos de contorno .

El círculo de Mohr , llamado así en honor a Christian Otto Mohr , es el lugar geométrico de los puntos que representan el estado de tensión en planos individuales en todas sus orientaciones. La abscisa ,${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$y ordenada ,${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$, de cada punto en el círculo son las componentes de tensión normal y tensión cortante, respectivamente, que actúan sobre un plano de corte particular con un vector unitario${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$con componentes${\displaystyle \left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\,\!}$.

La superficie del elipsoide representa el lugar geométrico de los extremos de todos los vectores de tensión que actúan sobre todos los planos que pasan por un punto dado del cuerpo continuo. En otras palabras, los extremos de todos los vectores de tensión en un punto dado del cuerpo continuo se encuentran sobre la superficie del elipsoide de tensión; es decir, el vector de posición desde el centro del elipsoide, ubicado en el punto material considerado, hasta un punto de la superficie del elipsoide es igual al vector de tensión en algún plano que pasa por dicho punto. En dos dimensiones, la superficie se representa mediante una elipse (véase la figura a continuación).

La cuádrica de tensiones de Cauchy, también llamada superficie de tensiones , es una superficie de segundo orden que traza la variación del vector de tensión normal.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$a medida que cambia la orientación de los planos que pasan por un punto dado.

El estado completo de tensión en un cuerpo en una configuración deformada particular, es decir, en un momento particular durante el movimiento del cuerpo, implica conocer los seis componentes independientes del tensor de tensión.${\displaystyle (\sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},\sigma _{12},\sigma _{23},\sigma _{13})\,\!}$o los tres acentos principales${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})\,\!}$, en cada punto material del cuerpo en ese momento. Sin embargo, el análisis numérico y los métodos analíticos solo permiten el cálculo del tensor de tensiones en un cierto número de puntos materiales discretos. Para representar gráficamente en dos dimensiones esta imagen parcial del campo de tensiones se pueden utilizar diferentes conjuntos de líneas de contorno : ^{[ 6 ]}

• Las isobaras son curvas a lo largo de las cuales la tensión principal, por ejemplo,${\displaystyle \sigma _{1}}$es constante.
• Las isocromáticas son curvas a lo largo de las cuales la tensión cortante máxima es constante. Estas curvas se determinan directamente mediante métodos de fotoelasticidad.
• Las isopacas son curvas a lo largo de las cuales la tensión normal media es constante.
• Las isostáticas o trayectorias de tensión ^{[ 7 ]} son ​​un sistema de curvas que en cada punto material son tangentes a los ejes principales de tensión - ver figura ^{[ 8 ]}
• Las isoclínicas son curvas cuyos ejes principales forman un ángulo constante con una dirección de referencia fija. Estas curvas también pueden obtenerse directamente mediante métodos de fotoelasticidad.
• Las líneas de deslizamiento son curvas en las que el esfuerzo cortante es máximo.