Isospin

El isospín se considera una simetría de la interacción fuerte bajo la acción del grupo de Lie SU(2) , donde los dos estados son el quark up y el quark down. En mecánica cuántica , cuando un hamiltoniano posee una simetría, esta se manifiesta a través de un conjunto de estados que tienen la misma energía (los estados se describen como degenerados ). En términos sencillos, el operador de energía para la interacción fuerte da el mismo resultado cuando se intercambian un quark up y un quark down idéntico.

Al igual que en el caso del espín regular, el operador de isospín I es vectorial : tiene tres componentes I _x , I _y , I _z , que son coordenadas en el mismo espacio vectorial tridimensional donde actúa la representación 3. Nótese que este espacio vectorial no tiene nada que ver con el espacio físico, excepto por un formalismo matemático similar. El isospín se describe mediante dos números cuánticos : I – el isospín total, e I ₃ – un autovalor de la proyección I _z para la cual los estados de sabor son autoestados . En otras palabras, cada estado I ₃ especifica un estado de sabor determinado de un multiplete . La tercera coordenada ( z ), a la que se refiere el subíndice "3", se elige debido a las convenciones de notación que relacionan las bases en _{los espacios de representación} 2 y 3. Es decir, para el caso de espín 1 / 2 , las componentes de I son iguales a las matrices de Pauli divididas por 2, y por lo tanto I _z = 1 / 2 τ 3 , donde   

${\displaystyle \tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Si bien las formas de estas matrices son isomorfas a las del espín, estas matrices de Pauli solo actúan dentro del espacio de Hilbert del isospín, no del espín, y por lo tanto es común denotarlas con τ en lugar de σ para evitar confusiones.

Aunque la simetría de isospín está ligeramente rota, la simetría SU(3) está más gravemente rota, debido a la masa mucho mayor del quark extraño en comparación con los quarks arriba y abajo. El descubrimiento del encanto , el fondo y el top podría conducir a expansiones adicionales hasta la simetría de sabor SU(6) , que se cumpliría si los seis quarks fueran idénticos. Sin embargo, las masas mucho mayores de los quarks encanto, fondo y top implican que la simetría de sabor SU(6) está muy gravemente rota en la naturaleza (al menos a bajas energías), y asumir esta simetría conduce a predicciones cualitativa y cuantitativamente incorrectas. En aplicaciones modernas, como la QCD en la red , la simetría de isospín se suele tratar como exacta para los tres quarks ligeros (uds), mientras que los tres quarks pesados ​​(cbt) deben tratarse por separado.

La nomenclatura de hadrones se basa en el isospín. ^{[ 4 ]}

• Las partículas con un isospín total de 3/2 se denominan bariones delta y pueden formarse mediante la combinación de tres quarks cualesquiera arriba o abajo (pero solo quarks arriba o abajo) .
• Las partículas con isospín total 1 pueden estar formadas por dos quarks arriba, dos quarks abajo o uno de cada uno:
  • Ciertos mesones , que se diferencian además por su espín total en piones (espín total 0) y mesones rho (espín total 1).  
  • con un quark adicional de sabor superior : bariones sigma 
• Las partículas de isospín total 1/2 se pueden formar a partir de :
  • un quark arriba o abajo junto con un quark adicional de sabor superior : extraño ( kaones ), encanto ( mesón D ) o fondo ( mesón B ). 
  • un único quark arriba o abajo junto con dos quarks adicionales de sabor superior : barión Xi 
  • un quark arriba, un quark abajo y un quark arriba o abajo : nucleones . Nótese que tres quarks idénticos estarían prohibidos por el principio de exclusión de Pauli debido al requisito de una función de onda antisimétrica. 
• Las partículas de isospín total 0 se pueden fabricar a partir de:
  • un par quark-antiquark neutro:${\displaystyle \mathrm {u{\bar {u}}} }$o${\displaystyle \mathrm {d{\bar {d}}} }$^{[ nota 1 ]} –mesones eta 
  • un quark hacia arriba y un quark hacia abajo, con un quark adicional de sabor superior : bariones lambda. 
  • cualquier cosa que no involucre quarks arriba o abajo.

En 1932, Werner Heisenberg ^{[ 5 ]} introdujo un modelo para la unión del protón y el neutrón (símbolo n), recientemente descubierto en aquel entonces. Su modelo se asemejaba al modelo de enlace de la molécula de ion hidrógeno, H₂⁺ ^: _un solo electrón era compartido por dos protones. La teoría de Heisenberg tenía varios problemas, el más notable era que predecía incorrectamente la energía de enlace excepcionalmente fuerte de las partículas alfa He²⁺ ^. Sin embargo, su tratamiento igualitario del protón y el neutrón cobró importancia cuando varios estudios experimentales demostraron que estas partículas debían unirse casi por igual. ^{[ 6 ] : 39} En respuesta, Eugene Wigner utilizó el concepto de Heisenberg en su artículo de 1937, donde introdujo el término "espín isotópico" para indicar cómo el concepto es similar al espín en su comportamiento. ^{[ 7 ]}

Estas consideraciones también resultarían útiles en el análisis de las interacciones mesón -nucleón después del descubrimiento de los piones en 1947. Los tres piones ( π ⁺, π ⁰, π ⁻) podría asignarse a un triplete de isospín con I = 1 e I ₃ = +1, 0 o −1 . Al suponer que el isospín se conservaba mediante interacciones nucleares, los nuevos mesones se acomodaban más fácilmente en la teoría nuclear.

A medida que se descubrían más partículas, se asignaban a multipletes de isospín según el número de estados de carga diferentes observados: 2 dobletes I = 1 / 2 de mesones K ( K ⁻, K ⁰), ( K ⁺, K ⁰), un triplete I = 1 de bariones Sigma ( Σ ⁺, Σ ⁰, Σ ⁻), un barión Lambda singlete I = 0 ( Λ ⁰), un cuarteto I = ⁠ 3 / 2 ⁠ bariones delta ( Δ ⁺⁺, Δ ⁺, Δ ⁰, Δ ⁻), etcétera.

El poder de la simetría de isospín y los métodos relacionados proviene de la observación de que las familias de partículas con masas similares tienden a corresponder a los subespacios invariantes asociados con las representaciones irreducibles del álgebra de Lie SU(2). En este contexto, un subespacio invariante está generado por vectores base que corresponden a partículas de una familia. Bajo la acción del álgebra de Lie SU(2), que genera rotaciones en el espacio de isospín, los elementos correspondientes a estados de partículas definidos o superposiciones de estados pueden rotarse entre sí, pero nunca pueden abandonar el espacio (ya que el subespacio es, de hecho, invariante). Esto refleja la simetría presente. El hecho de que las matrices unitarias conmuten con el hamiltoniano significa que las cantidades físicas calculadas no cambian incluso bajo una transformación unitaria. En el caso del isospín, este mecanismo se utiliza para reflejar que las matemáticas de la fuerza fuerte se comportan igual si se intercambian un protón y un neutrón (en la formulación moderna, el quark arriba y el quark abajo).

Se han realizado intentos para promover el isospín desde una simetría global a una local. En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills sugirieron que la noción de protones y neutrones, que giran continuamente entre sí por efecto del isospín, debería poder variar de un punto a otro. Para describir esto, la dirección del protón y del neutrón en el espacio del isospín debe definirse en cada punto, proporcionando así una base local para el isospín. Una conexión de gauge describiría entonces cómo transformar el isospín a lo largo de una trayectoria entre dos puntos.

Esta teoría de Yang-Mills describe bosones vectoriales interactuantes, como el fotón del electromagnetismo. A diferencia del fotón, la teoría de gauge SU(2) contendría bosones de gauge autointeractuantes. La condición de invariancia de gauge sugiere que tienen masa cero, al igual que en el electromagnetismo.

Ignorando el problema de la ausencia de masa, como hicieron Yang y Mills, la teoría predice con firmeza que la partícula vectorial debería acoplarse universalmente a todas las partículas de un isospín dado . El acoplamiento al nucleón sería el mismo que el acoplamiento a los kaones . El acoplamiento a los piones sería el mismo que el autoacoplamiento de los bosones vectoriales consigo mismos.

Cuando Yang y Mills propusieron la teoría, no existía ningún candidato a bosón vectorial. En 1960, J.J. Sakurai predijo la existencia de un bosón vectorial masivo acoplado al isospín, y que este presentaría acoplamientos universales. Poco después se descubrieron los mesones rho , que fueron rápidamente identificados como los bosones vectoriales de Sakurai. Se verificó que los acoplamientos de los mesones rho con los nucleones y entre sí eran universales, según las mediciones experimentales. El hecho de que la corriente de isospín diagonal contenga parte de la corriente electromagnética condujo a la predicción de la mezcla de fotones rho y al concepto de dominancia de los mesones vectoriales , ideas que dieron lugar a modelos teóricos exitosos de la dispersión fotón-núcleo a escala de GeV.

El descubrimiento y posterior análisis de partículas adicionales, tanto mesones como bariones , dejó claro que el concepto de simetría de isospín podía ampliarse a un grupo de simetría aún mayor, ahora llamado simetría de sabor . Una vez que se comprendieron mejor los kaones y su propiedad de extrañeza , comenzó a ser evidente que estos también parecían formar parte de una simetría ampliada que contenía el isospín como subgrupo. Murray Gell-Mann denominó a esta simetría mayor Vía Óctuple , y rápidamente se reconoció que correspondía a la representación adjunta de SU(3) . Para comprender mejor el origen de esta simetría, Gell-Mann propuso la existencia de quarks arriba, abajo y extraños que pertenecerían a la representación fundamental de la simetría de sabor SU(3).

En el modelo de quarks, la proyección de isospín ( I3 ) se deriva del contenido de quarks up y down de _las partículas; uud para el protón y udd para el neutrón. Técnicamente, los estados doblete del nucleón se consideran combinaciones lineales de productos de estados doblete de isospín de 3 partículas y estados doblete de espín. Es decir, la función de onda del protón (espín arriba) , en términos de autoestados de sabor de quarks, se describe mediante ^{[ 2 ].}

$${\displaystyle \vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)}$$

y el neutrón (con espín hacia arriba) por

$${\displaystyle \vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).}$$

Aquí,${\displaystyle \mathrm {\vert u\rangle } }$es el autoestado de sabor del quark up , y${\displaystyle \mathrm {\vert d\rangle } }$es el autoestado de sabor del quark down , mientras que${\displaystyle \left\vert \uparrow \right\rangle }$y${\displaystyle \left\vert \downarrow \right\rangle }$son los autoestados de${\displaystyle S_{z}}$Aunque estas superposiciones constituyen la forma técnicamente correcta de denotar un protón y un neutrón en términos de autoestados de sabor y espín de quarks, por brevedad, a menudo se las denomina simplemente "uud" y "udd". La derivación anterior presupone una simetría de isospín exacta y se modifica mediante términos que rompen la simetría SU(2).

De manera similar, la simetría de isospín de los piones viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}}$$

Aunque el descubrimiento de los quarks llevó a reinterpretar los mesones como un estado ligado vectorial de un quark y un antiquark, a veces sigue siendo útil pensar en ellos como los bosones de gauge de una simetría local oculta. ^{[ 8 ]}