Tensor de estructura

Para una función${\displaystyle I}$de dos variables p = ( x , y ) , el tensor de estructura es la matriz 2×2

$${\displaystyle S_{w}(p)={\begin{bmatrix}\int w(r)(I_{x}(pr))^{2}\,dr&\int w(r)I_{x}(pr)I_{y}(pr)\,dr\\[10pt]\int w(r)I_{x}(pr)I_{y}(pr)\,dr&\int w(r)(I_{y}(pr))^{2}\,dr\end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle I_{x}}$y${\displaystyle I_{y}}$son las derivadas parciales de${\displaystyle I}$con respecto a x e y ; las integrales se extienden sobre el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$; y w es alguna " función de ventana " fija (como un desenfoque gaussiano ), una distribución en dos variables. Nótese que la matriz${\displaystyle S_{w}}$es en sí misma una función de p = ( x , y ) .

La fórmula anterior también se puede escribir como${\textstyle S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(pr)\,dr}$, dónde${\displaystyle S_{0}}$es la función con valores matriciales definida por $${\displaystyle S_{0}(p)={\begin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}\end{bmatrix}}}$$

Si el gradiente${\displaystyle \nabla I=(I_{x},I_{y})^{\text{T}}}$de${\displaystyle I}$se considera como una matriz de 2×1 (de una sola columna), donde${\displaystyle (\cdot )^{\text{T}}}$denota la operación de transposición , que convierte un vector fila en un vector columna, la matriz${\displaystyle S_{0}}$se puede escribir como el producto matricial${\displaystyle (\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}}$o tensor o producto exterior${\displaystyle \nabla I\otimes \nabla I}$. Sin embargo, tenga en cuenta que el tensor de estructura${\displaystyle S_{w}(p)}$no se puede tener en cuenta de esta manera en general, excepto si${\displaystyle w}$es una función delta de Dirac .

En el procesamiento de imágenes y otras aplicaciones similares, la función${\displaystyle I}$Generalmente se presenta como una matriz discreta de muestras.${\displaystyle I[p]}$donde p es un par de índices enteros. El tensor de estructura 2D en un píxel dado generalmente se toma como la suma discreta

$${\displaystyle S_{w}[p]={\begin{bmatrix}\sum _{r}w[r](I_{x}[pr])^{2}&\sum _{r}w[r]I_{x}[pr]I_{y}[pr]\\[10pt]\sum _{r}w[r]I_{x}[pr]I_{y}[pr]&\sum _{r}w[r](I_{y}[pr])^{2}\end{bmatrix}}}$$

Aquí, el índice de suma r abarca un conjunto finito de pares de índices (la "ventana", típicamente${\displaystyle \{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}}$para algún m ), y w [ r ] es un "peso de ventana" fijo que depende de r , de modo que la suma de todos los pesos es 1. Los valores${\displaystyle I_{x}[p],I_{y}[p]}$son las derivadas parciales muestreadas en el píxel p ; que, por ejemplo, pueden estimarse a partir de${\displaystyle I}$mediante fórmulas de diferencias finitas .

La fórmula del tensor de estructura también se puede escribir como${\textstyle S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[pr]}$, dónde${\displaystyle S_{0}}$es la matriz de valores tal que $${\displaystyle S_{0}[p]={\begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}\end{bmatrix}}}$$

La importancia del tensor de estructura 2D${\displaystyle S_{w}}$se deriva del hecho de que los valores propios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$(que se puede ordenar de manera que${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq 0}$) y los vectores propios correspondientes${\displaystyle e_{1},e_{2}}$resumir la distribución del gradiente${\displaystyle \nabla I=(I_{x},I_{y})}$de${\displaystyle I}$dentro de la ventana definida por${\displaystyle w}$centrado en${\displaystyle p}$. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Es decir, si${\displaystyle \lambda _ {1}> \ lambda _ {2}}$, entonces${\displaystyle e_{1}}$(o${\displaystyle -e_{1}}$) es la dirección que está alineada al máximo con el gradiente dentro de la ventana.

En particular, si${\displaystyle \lambda _ {1}>0, \lambda _ {2}=0}$entonces el gradiente siempre es un múltiplo de${\displaystyle e_{1}}$(positivo, negativo o cero); este es el caso si y solo si${\displaystyle I}$dentro de la ventana varía a lo largo de la dirección${\displaystyle e_{1}}$pero es constante a lo largo de${\displaystyle e_{2}}$. Esta condición de autovalores también se denomina condición de simetría lineal porque entonces las isocurvas de${\displaystyle I}$consisten en líneas paralelas, es decir, existe una función unidimensional${\displaystyle g}$que puede generar la función bidimensional${\displaystyle I}$como${\displaystyle I(x,y)=g(d^{\text{T}}p)}$para algún vector constante${\displaystyle d=(d_{x},d_{y})^{T}}$y las coordenadas${\displaystyle p=(x,y)^{T}}$.

Si${\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2}}$Por otro lado, el gradiente en la ventana no tiene una dirección predominante; esto ocurre, por ejemplo, cuando la imagen presenta simetría rotacional dentro de dicha ventana. Esta condición de autovalores también se denomina condición de equilibrio direccional o de cuerpo equilibrado, ya que se cumple cuando todas las direcciones del gradiente en la ventana son igualmente frecuentes o probables.

Además, la condición${\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}$sucede si y solo si la función${\displaystyle I}$es constante (${\displaystyle \nabla I=(0,0)}$) dentro${\displaystyle W}$.

En términos más generales, el valor de${\displaystyle \lambda _{k}}$, para k =1 o k =2, es el${\displaystyle w}$promedio ponderado, en la vecindad de p , del cuadrado de la derivada direccional de${\displaystyle I}$a lo largo de${\displaystyle e_{k}}$. La discrepancia relativa entre los dos autovalores de${\displaystyle S_{w}}$es un indicador del grado de anisotropía del gradiente en la ventana, es decir, cuán fuertemente sesgado está hacia una dirección particular (y su opuesta). ^{[ 4 ] [ 5 ]} Este atributo puede cuantificarse mediante la coherencia , definida como

$${\displaystyle c_{w}=\left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)^{2}}$$

si${\displaystyle \lambda _ {2}>0}$. Esta cantidad es 1 cuando el gradiente está totalmente alineado y 0 cuando no tiene una dirección preferida. La fórmula no está definida, incluso en el límite , cuando la imagen es constante en la ventana (${\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 0}$). Algunos autores lo definen como 0 en ese caso.

Nótese que el promedio del gradiente${\displaystyle \nabla I}$Dentro de la ventana no es un buen indicador de anisotropía. Los vectores de gradiente alineados pero orientados en sentido opuesto se cancelarían en este promedio, mientras que en el tensor de estructura se suman correctamente. ^{[ 6 ]} Esta es una razón por la cual${\displaystyle (\nabla I)(\nabla I)^{\text{T}}}$se utiliza en el promedio del tensor de estructura para optimizar la dirección en lugar de${\displaystyle \nabla I}$.

Al expandir el radio efectivo de la función de ventana${\displaystyle w}$(es decir, aumentando su varianza), se puede hacer que el tensor de estructura sea más robusto frente al ruido, a costa de una resolución espacial disminuida. ^{[ 5 ] [ 7 ]} La base formal de esta propiedad se describe con más detalle a continuación, donde se muestra que una formulación multiescala del tensor de estructura, denominada tensor de estructura multiescala , constituye una verdadera representación multiescala de datos direccionales bajo variaciones de la extensión espacial de la función de ventana .

La interpretación e implementación del tensor de estructura 2D se vuelve particularmente accesible utilizando números complejos . ^{[ 2 ]} El tensor de estructura consta de 3 números reales.

$${\displaystyle S_{w}(p)={\begin{bmatrix}\mu _{20}&\mu _{11}\\[10pt]\mu _{11}&\mu _{02}\end{bmatrix}}}$$

dónde${\textstyle \mu _{20}=\int (w(r)(I_{x}(pr))^{2}\,dr}$,${\textstyle \mu _{02}=\int (w(r)(I_{y}(p-r))^{2}\,dr}$y${\textstyle \mu _{11}=\int w(r)I_{x}(p-r)I_{y}(p-r)\,dr}$en la que las integrales pueden ser reemplazadas por sumas para la representación discreta. Usando la identidad de Parseval, es claro que los tres números reales son los momentos de segundo orden del espectro de potencia de${\displaystyle I}$. El siguiente momento complejo de segundo orden del espectro de potencia de${\displaystyle I}$entonces se puede escribir como

$${\displaystyle \kappa _{20}=\mu _{20}-\mu _{02}+i2\mu _{11}=\int w(r)(I_{x}(p-r)+iI_{y}(p-r))^{2}\,dr=(\lambda _{1}-\lambda _{2})\exp(i2\phi )}$$

dónde${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$y${\displaystyle \phi }$es el ángulo de dirección del vector propio más significativo del tensor de estructura${\displaystyle \phi =\angle {e_{1}}}$mientras${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$son los autovalores más y menos significativos. De esto se deduce que${\displaystyle \kappa _{20}}$contiene tanto una certeza como${\displaystyle |\kappa _{20}|=\lambda _{1}-\lambda _{2}}$y la dirección óptima en la representación de ángulo doble, ya que es un número complejo compuesto por dos números reales. De ello se deduce también que si el gradiente se representa como un número complejo y se remapea elevándolo al cuadrado (es decir, los ángulos del argumento del gradiente complejo se duplican), entonces el promedio actúa como un optimizador en el dominio mapeado, ya que proporciona directamente tanto la dirección óptima (en la representación de ángulo doble) como la certeza asociada. El número complejo representa, por lo tanto, cuánta estructura lineal (simetría lineal) hay en la imagen.${\displaystyle I}$y el número complejo se obtiene directamente promediando el gradiente en su representación de ángulo doble (complejo) sin calcular explícitamente los valores propios y los vectores propios.

Asimismo, el siguiente momento complejo de segundo orden del espectro de potencia de${\displaystyle I}$, que resulta ser siempre real porque${\displaystyle I}$es real,

$${\displaystyle \kappa _{11}=\mu _{20}+\mu _{02}=\int w(r)|I_{x}(p-r)+iI_{y}(p-r)|^{2}\,dr=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$$

se puede obtener, con${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$siendo los autovalores como antes. Nótese que esta vez la magnitud del gradiente complejo está al cuadrado (que siempre es real).

Sin embargo, al descomponer el tensor de estructura en sus autovectores se obtienen sus componentes tensoriales como

$${\displaystyle S_{w}(p)=\lambda _{1}e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}e_{2}e_{2}^{\text{T}}=(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}(e_{1}e_{1}^{\text{T}}+e_{2}e_{2}^{\text{T}})=(\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}+\lambda _{2}E}$$

dónde${\displaystyle E}$es la matriz identidad en 2D porque los dos vectores propios son siempre ortogonales (y suman la unidad). El primer término en la última expresión de la descomposición,${\displaystyle (\lambda _{1}-\lambda _{2})e_{1}e_{1}^{\text{T}}}$, representa el componente de simetría lineal del tensor de estructura que contiene toda la información direccional (como una matriz de rango 1), mientras que el segundo término representa el componente de cuerpo equilibrado del tensor, que carece de información direccional (que contiene una matriz identidad).${\displaystyle E}$). Para saber cuánta información direccional hay en${\displaystyle I}$es entonces lo mismo que comprobar qué tan grande${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}}$se compara con${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Evidentemente,${\displaystyle \kappa _{20}}$es el equivalente complejo del primer término en la descomposición tensorial, mientras que$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(|\kappa _{20}|-\kappa _{11})=\lambda _{2}}$$es el equivalente del segundo término. Por lo tanto, los dos escalares, que comprenden tres números reales,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{20}&=&(\lambda _{1}-\lambda _{2})\exp(i2\phi )&=w*(h*I)^{2}\\\kappa _{11}&=&\lambda _{1}+\lambda _{2}&=w*|h*I|^{2}\\\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle h(x,y)=(x+iy)\exp(-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2}))}$es el filtro de gradiente (complejo), y${\displaystyle *}$La convolución constituye una representación compleja del tensor de estructura 2D. Como se discute aquí y en otros lugares.${\displaystyle w}$define la imagen local, que suele ser una gaussiana (con una cierta varianza que define la escala exterior), y${\displaystyle \sigma }$es el parámetro (de escala interna) que determina el rango de frecuencia efectivo en el que la orientación${\displaystyle 2\phi }$está por estimarse.

La elegancia de la representación compleja proviene de que los dos componentes del tensor de estructura se pueden obtener como promedios y de forma independiente. A su vez, esto significa que${\displaystyle \kappa _{20}}$y${\displaystyle \kappa _{11}}$Puede utilizarse en una representación de espacio de escala para describir la evidencia de la presencia de una orientación única y la evidencia de la hipótesis alternativa, la presencia de múltiples orientaciones equilibradas, sin calcular los autovectores y autovalores. Hasta la fecha, no se ha demostrado la existencia de un funcional, como elevar al cuadrado los números complejos, para tensores de estructura con dimensiones superiores a dos. En Bigun 91, se ha planteado con argumentos suficientes que esto se debe a que los números complejos son álgebras conmutativas, mientras que los cuaterniones, el posible candidato para construir dicho funcional, constituyen un álgebra no conmutativa. ^{[ 8 ]}

La representación compleja del tensor de estructura se utiliza con frecuencia en el análisis de huellas dactilares para obtener mapas de dirección que contienen certezas, las cuales, a su vez, se utilizan para mejorarlas, para encontrar las ubicaciones de las singularidades globales (núcleos y deltas) y locales (minucias), así como para evaluar automáticamente la calidad de las huellas dactilares.

El tensor de estructura también puede definirse para una función.${\displaystyle I}$de tres variables p = ( x , y , z ) de una manera completamente análoga. Es decir, en la versión continua tenemos${\textstyle S_{w}(p)=\int w(r)S_{0}(p-r)\,dr}$, dónde $${\displaystyle S_{0}(p)={\begin{bmatrix}(I_{x}(p))^{2}&I_{x}(p)I_{y}(p)&I_{x}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{y}(p)&(I_{y}(p))^{2}&I_{y}(p)I_{z}(p)\\[10pt]I_{x}(p)I_{z}(p)&I_{y}(p)I_{z}(p)&(I_{z}(p))^{2}\end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle I_{x},I_{y},I_{z}}$son las tres derivadas parciales de${\displaystyle I}$y los rangos integrales sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

En la versión discreta,${\textstyle S_{w}[p]=\sum _{r}w[r]S_{0}[p-r]}$, dónde $${\displaystyle S_{0}[p]={\begin{bmatrix}(I_{x}[p])^{2}&I_{x}[p]I_{y}[p]&I_{x}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{y}[p]&(I_{y}[p])^{2}&I_{y}[p]I_{z}[p]\\[10pt]I_{x}[p]I_{z}[p]&I_{y}[p]I_{z}[p]&(I_{z}[p])^{2}\end{bmatrix}}}$$ y la suma abarca un conjunto finito de índices 3D, generalmente${\displaystyle \{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}\times \{-m\ldots +m\}}$para algunos m .

Al igual que en el caso bidimensional, los valores propios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$de${\displaystyle S_{w}[p]}$y los vectores propios correspondientes${\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}}$, resumir la distribución de las direcciones del gradiente dentro del vecindario de p definido por la ventana${\displaystyle w}$Esta información puede visualizarse como un elipsoide cuyos semiejes son iguales a los autovalores y están dirigidos a lo largo de sus autovectores correspondientes. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

En particular, si el elipsoide se estira a lo largo de un solo eje, como un cigarro (es decir, si${\displaystyle \lambda _{1}}$es mucho más grande que ambos${\displaystyle \lambda _{2}}$y${\displaystyle \lambda _{3}}$), significa que el gradiente en la ventana está predominantemente alineado con la dirección${\displaystyle e_{1}}$, de modo que las isosuperficies de${\displaystyle I}$Suelen ser planos y perpendiculares a ese vector. Esta situación se da, por ejemplo, cuando p se encuentra sobre una característica delgada en forma de placa, o sobre el límite suave entre dos regiones con valores contrastantes.

Si el elipsoide se aplana en una sola dirección, como un panqueque (es decir, si${\displaystyle \lambda _{3}}$es mucho más pequeño que ambos${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$), significa que las direcciones del gradiente están esparcidas pero son perpendiculares a${\displaystyle e_{3}}$De modo que las isosuperficies tienden a ser como tubos paralelos a ese vector. Esta situación se da, por ejemplo, cuando p se encuentra sobre una línea delgada o sobre una esquina pronunciada del límite entre dos regiones con valores contrastantes.

Finalmente, si el elipsoide es aproximadamente esférico (es decir, si${\displaystyle \lambda _{1}\approx \lambda _{2}\approx \lambda _{3}}$), significa que las direcciones del gradiente en la ventana están distribuidas de manera más o menos uniforme, sin una marcada preferencia; de modo que la función${\displaystyle I}$es mayormente isotrópico en ese entorno. Esto sucede, por ejemplo, cuando la función tiene simetría esférica en el entorno de p . En particular, si el elipsoide degenera en un punto (es decir, si los tres autovalores son cero), significa que${\displaystyle I}$es constante (tiene gradiente cero) dentro de la ventana.

El tensor de estructura tridimensional se ha utilizado para analizar datos de vídeo tridimensionales (vistos como una función de x , y y tiempo t ). ^{[ 4 ]} Si en este contexto se buscan descriptores de imagen que sean invariantes bajo transformaciones galileanas , para que sea posible comparar mediciones de imagen que se han obtenido bajo variaciones de velocidades de imagen a priori desconocidas${\displaystyle v=(v_{x},v_{y})^{\text{T}}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\t'\end{bmatrix}}=G{\begin{bmatrix}x\\y\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x-v_{x}\,t\\y-v_{y}\,t\\t\end{bmatrix}},}$$ Sin embargo, desde un punto de vista computacional, es preferible parametrizar los componentes en la matriz tensorial/de segundo momento de estructura.${\displaystyle S}$utilizando la noción de diagonalización galileana ^{[ 25 ]}$${\displaystyle S'=R_{\text{space}}^{-{\text{T}}}\,G^{-{\text{T}}}\,S\,G^{-1}\,R_{\text{space}}^{-1}={\begin{bmatrix}\nu _{1}&\,&\,\\\,&\nu _{2}&\,\\\,&\,&\nu _{3}\end{bmatrix}}}$$ dónde${\displaystyle G}$denota una transformación galileana del espacio-tiempo y${\displaystyle R_{\text{space}}}$una rotación bidimensional sobre el dominio espacial, en comparación con el uso mencionado anteriormente de los valores propios de un tensor de estructura 3D, que corresponde a una descomposición en valores propios y una rotación tridimensional (no física) del espaciotiempo. $${\displaystyle S''=R_{\text{spacetime}}^{-{\text{T}}}\,S\,R_{\text{spacetime}}^{-1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&\\&\lambda _{2}&\\&&\lambda _{3}\end{bmatrix}}.}$$ Para obtener una verdadera invariancia galileana, sin embargo, también es necesario adaptar la forma de la función de ventana espacio-temporal, ^{[ 25 ] [ 26 ]} correspondiente a la transferencia de la adaptación de forma afín ^{[ 11 ]} de datos de imagen espaciales a espacio-temporales. En combinación con descriptores de histograma espacio-temporales locales, ^{[ 27 ]} estos conceptos permiten el reconocimiento invariante galileano de eventos espacio-temporales. ^{[ 28 ]}