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Subaditividad

En matemáticas , la subaditividad es una propiedad de una función que establece, en términos generales, que al evaluar la función para la suma de dos elementos de su dominio , s...

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En matemáticas , la subaditividad es una propiedad de una función que establece, en términos generales, que al evaluar la función para la suma de dos elementos de su dominio , siempre se obtiene un valor menor o igual a la suma de los valores de la función en cada elemento. Existen numerosos ejemplos de funciones subaditivas en diversas áreas de las matemáticas, en particular en normas y raíces cuadradas . Las aplicaciones aditivas son casos especiales de funciones subaditivas.

Definiciones

Una función subaditiva es una funciónF:A→B{\displaystyle f\colon A\to B}, que posee un dominio A y un codominio ordenado B , ambos cerrados bajo la adición, con la siguiente propiedad: ∀incógnita,y∈A,F(incógnita+y)≤F(incógnita)+F(y).{\displaystyle \forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).}

Un ejemplo es la función raíz cuadrada , que tiene como dominio y codominio los números reales no negativos : ya que∀incógnita,y≥0{\displaystyle \forall x,y\geq 0}tenemos: incógnita+y≤incógnita+y.${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$

Una secuencia{anorte}norte≥1{\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}}Se denomina subaditivo si satisface la desigualdad.anorte+metro≤anorte+ametro{\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}} para todo m y n . Este es un caso especial de función subaditiva, si una secuencia se interpreta como una función en el conjunto de los números naturales.

Tenga en cuenta que, si bien una secuencia cóncava es subaditiva, lo contrario es falso. Por ejemplo, asigne arbitrariamentea1,a2,...{\displaystyle a_{1},a_{2},...}con valores en[0,5,1]{\displaystyle [0.5,1]}; entonces la secuencia es subaditiva pero no cóncava.

Propiedades

Secuencias

Un resultado útil relativo a secuencias subaditivas es el lema de Fekete . [ 1 ]

Lema subaditivo de Fekete : para toda secuencia subaditiva{anorte}norte=1∞{\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}, el límitelímitenorte→∞anortenorte{\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}es igual al ínfimoinfanortenorte{\displaystyle \inf {\frac {a_{n}}{n}}}. (El límite puede ser−∞{\displaystyle -\infty }.)

Prueba

Dejars∗:=infnorteanortenorte{\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}.

Por definición,límite inferiornorteanortenorte≥s∗{\displaystyle \liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}}. Por lo tanto, basta con mostrarlímite superiornorteanortenorte≤s∗{\displaystyle \limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}}.

Si no, entonces existe una subsecuencia(anortek)k{\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}y unϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}, de tal manera queanorteknortek>s∗+ϵ{\displaystyle {\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon }a pesar dek{\displaystyle k}.

Desdes∗:=infnorteanortenorte{\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}, existe unametro{\displaystyle a_{m}}de tal manera queametrometro<s∗+ϵ{\displaystyle {\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon }.

Por el principio del palomar infinito , existe una sub-subsecuencia de(anortek)k{\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}, cuyos índices pertenecen todos a la misma clase de residuo módulometro{\displaystyle m}y así avanzan por múltiplos demetro{\displaystyle m}Esta secuencia, continuada durante el tiempo suficiente, se vería obligada por la subaditividad a caer por debajo de las∗+ϵ{\displaystyle s^{*}+\epsilon }línea de pendiente, una contradicción.

En más detalle, por subaditividad, tenemos

anorte2≤anorte1+ametro(norte2−norte1)/metroanorte3≤anorte2+ametro(norte3−norte2)/metro≤anorte1+ametro(norte3−norte1)/metro⋯⋯anortek≤anorte1+ametro(nortek−norte1)/metro{\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \\a_{n_{k}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{k}-n_{1})/m\end{aligned}}}

lo cual implicalímite superiorkanortek/nortek≤ametro/metro<s∗+ϵ{\displaystyle \limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon }, una contradicción.

El análogo del lema de Fekete también es válido para secuencias superaditivas, es decir: anorte+metro≥anorte+ametro.{\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.} (El límite entonces puede ser infinito positivo: considérese la secuenciaanorte=registro⁡norte¡{\displaystyle a_{n}=\log n!}.)

Existen extensiones del lema de Fekete que no requieren la desigualdad.anorte+metro≤anorte+ametro{\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}que se cumple para todo m y n , pero solo para m y n tales que12≤metronorte≤2.{\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}

Prueba

Continúa la demostración como antes, hasta que hayamos utilizado únicamente el principio del palomar infinito.

Consideremos la secuenciaametro,a2metro,a3metro,...{\displaystyle a_{m},a_{2m},a_{3m},...}. Desde2metro/metro=2{\displaystyle 2m/m=2}, tenemosa2metro≤2ametro{\displaystyle a_{2m}\leq 2a_{m}}. De manera similar, tenemosa3metro≤a2metro+ametro≤3ametro{\displaystyle a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}}, etc.

Por suposición, para cualquiers,t∈norte{\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }, podemos usar la subaditividad en ellos si

ln⁡(s+t)∈[ln⁡(1.5s),ln⁡(3s)]=ln⁡s+[ln⁡1.5,ln⁡3]{\displaystyle \ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]}

Si estuviéramos tratando con variables continuas, entonces podemos usar la subaditividad para ir desdeanortek{\displaystyle a_{n_{k}}}aanortek+[ln⁡1.5,ln⁡3]{\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]}, luego aanortek+ln⁡1.5+[ln⁡1.5,ln⁡3]{\displaystyle a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]}y así sucesivamente, lo que cubre todo el intervaloanortek+[ln⁡1.5,+∞){\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )}.

Aunque no tenemos variables continuas, aún podemos cubrir suficientes enteros para completar la demostración. Seanortek{\displaystyle n_{k}}ser lo suficientemente grande, de tal manera que

ln⁡(2)>ln⁡(1.5)+ln⁡(1.5nortek+metro1.5nortek){\displaystyle \ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)} entonces dejanorte′{\displaystyle n'}ser el número más pequeño en la intersección(nortek+metroZ)∩(ln⁡nortek+[ln⁡(1.5),ln⁡(3)]){\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])}. Por la suposición denortek{\displaystyle n_{k}}, es fácil ver (dibujar una imagen) que los intervalosln⁡nortek+[ln⁡(1.5),ln⁡(3)]{\displaystyle \ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]}yln⁡norte′+[ln⁡(1.5),ln⁡(3)]{\displaystyle \ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]}tocar en el medio. Así, al repetir este proceso, cubrimos la totalidad de(nortek+metroZ)∩(ln⁡nortek+[ln⁡(1.5),∞]){\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])}.

Con eso, todoanortek,anortek+1,...{\displaystyle a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...}se ven obligados a bajar como en la prueba anterior.

Además, la condiciónanorte+metro≤anorte+ametro{\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}puede debilitarse de la siguiente manera:anorte+metro≤anorte+ametro+ϕ(norte+metro){\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)}siempre queϕ{\displaystyle \phi }es una función creciente tal que la integral∫ϕ(t)t−2dt{\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}converge (cerca del infinito). [ 2 ]

También existen resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se enuncia en el lema de Fekete si se presenta algún tipo de superaditividad y subaditividad. [ 3 ] [ 4 ]

Además, se han demostrado análogos del lema de Fekete para aplicaciones reales subaditivas (con supuestos adicionales) de subconjuntos finitos de un grupo amenable , [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] y, además, de un semigrupo cancelativo izquierda-amenable . [ 8 ]

Funciones

Teorema: [ 9 ] — Para todafunción subaditiva medibleF:(0,∞)→R,{\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,}el límitelímitet→∞F(t)t{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}}existe y es igual ainft>0F(t)t.{\displaystyle \inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.}(El límite puede ser−∞.{\displaystyle -\infty .})

Si f es una función subaditiva y si 0 está en su dominio, entonces f (0) ≥ 0. Para ver esto, observe la desigualdad que aparece arriba.F(incógnita)≥F(incógnita+y)−F(y){\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)}. Por esoF(0)≥F(0+y)−F(y)=0{\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}

Una función cóncavaF:[0,∞)→R{\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }conF(0)≥0{\displaystyle f(0)\geq 0}también es subaditivo. Para ver esto, primero se observa queF(incógnita)≥yincógnita+yF(0)+incógnitaincógnita+yF(incógnita+y){\displaystyle f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)}. Luego, observando la suma de este límite paraF(incógnita){\displaystyle f(x)}yF(y){\displaystyle f(y)}, finalmente verificará que f es subaditivo. [ 10 ]

El negativo de una función subaditiva es superaditiva .

Ejemplos en diversos ámbitos

Entropía

La entropía desempeña un papel fundamental en la teoría de la información y la física estadística , así como en la mecánica cuántica en una formulación generalizada debida a von Neumann . La entropía siempre aparece como una magnitud subaditiva en todas sus formulaciones, lo que significa que la entropía de un supersistema o una unión de conjuntos de variables aleatorias es siempre menor o igual que la suma de las entropías de sus componentes individuales. Además, la entropía en física satisface varias desigualdades más estrictas, como la subaditividad fuerte de la entropía en la mecánica estadística clásica y su análogo cuántico .

Ciencias económicas

La subaditividad es una propiedad esencial de ciertas funciones de costos . Generalmente, es una condición necesaria y suficiente para la verificación de un monopolio natural . Implica que la producción de una sola empresa es socialmente menos costosa (en términos de costos promedio) que la producción de una fracción de la cantidad original por un número igual de empresas.

Las economías de escala se representan mediante funciones de coste medio subaditivas .

Salvo en el caso de bienes complementarios, el precio de los bienes (en función de la cantidad) debe ser subaditivo. De lo contrario, si la suma del costo de dos artículos es menor que el costo del paquete de ambos, nadie compraría dicho paquete, lo que provocaría que su precio se convirtiera en la suma de los precios de los dos artículos por separado. Esto demuestra que no es una condición suficiente para un monopolio natural, ya que la unidad de intercambio puede no ser el costo real de un artículo. Esta situación es familiar para todos en el ámbito político, donde una minoría afirma que la pérdida de cierta libertad en un nivel de gobierno determinado implica que muchos gobiernos son mejores, mientras que la mayoría sostiene que existe otra unidad de costo correcta.

Finanzas

La subaditividad es una de las propiedades deseables de las medidas de riesgo coherentes en la gestión de riesgos . [ 11 ] La intuición económica detrás de la subaditividad de las medidas de riesgo es que la exposición al riesgo de una cartera debería, en el peor de los casos, ser simplemente igual a la suma de las exposiciones al riesgo de las posiciones individuales que la componen. La falta de subaditividad es una de las principales críticas a los modelos VaR que no se basan en el supuesto de normalidad de los factores de riesgo. El VaR gaussiano garantiza la subaditividad: por ejemplo, el VaR gaussiano de una cartera de dos posiciones largas unitarias.V{\displaystyle V}al nivel de confianza1−pag{\displaystyle 1-p}es, suponiendo que la variación del valor medio de la cartera es cero y que el VaR se define como una pérdida negativa, VaRpag≡zpagσΔV=zpagσincógnita2+σy2+2ρincógnitayσincógnitaσy{\displaystyle {\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}} dóndezpag{\displaystyle z_{p}}es la inversa de la función de distribución acumulativa normal en el nivel de probabilidadpag{\displaystyle p},σincógnita2,σy2{\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}son las variaciones de rendimiento de las posiciones individuales yρincógnitay{\displaystyle \rho _{xy}}es la medida de correlación lineal entre los rendimientos de las dos posiciones individuales. Dado que la varianza siempre es positiva, σincógnita2+σy2+2ρincógnitayσincógnitaσy≤σincógnita+σy{\displaystyle {\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}} Por lo tanto, el VaR gaussiano es subaditivo para cualquier valor deρincógnitay∈[−1,1]{\displaystyle \rho _{xy}\in [-1,1]}y, en particular, es igual a la suma de las exposiciones al riesgo individuales cuandoρincógnitay=1{\displaystyle \rho _{xy}=1}Este es el caso en el que no hay efectos de diversificación sobre el riesgo de la cartera.

Termodinámica

La subaditividad se produce en las propiedades termodinámicas de soluciones y mezclas no ideales , como el volumen molar en exceso y el calor de mezcla o la entalpía en exceso .

Combinatoria de palabras

Un lenguaje factorialL{\displaystyle L}es uno donde si una palabra está enL{\displaystyle L}, entonces todos los factores de esa palabra también están enL{\displaystyle L}En combinatoria de palabras , un problema común es determinar el númeroA(norte){\displaystyle A(n)}de longitud-norte{\displaystyle n}palabras en un lenguaje factorial. ClaramenteA(metro+norte)≤A(metro)A(norte){\displaystyle A(m+n)\leq A(m)A(n)}, entoncesregistro⁡A(norte){\displaystyle \log A(n)}es subaditivo y, por lo tanto, el lema de Fekete se puede utilizar para estimar el crecimiento deA(norte){\displaystyle A(n)}. [ 12 ]

Por cadak≥1{\displaystyle k\geq 1}, muestre dos cadenas de longitudnorte{\displaystyle n}uniformemente al azar en el alfabeto1,2,...,k{\displaystyle 1,2,...,k}. La longitud esperada de la subsecuencia común más larga es una función superaditiva denorte{\displaystyle n}y por lo tanto existe un númeroγk≥0{\displaystyle \gamma _{k}\geq 0}, de modo que la longitud esperada crece como∼γknorte{\displaystyle \sim \gamma _{k}n}. Al comprobar el caso connorte=1{\displaystyle n=1}, tenemos1k<γk≤1{\displaystyle {\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1}. El valor exacto de inclusoγ2{\displaystyle \gamma _{2}}Sin embargo, solo se sabe que está entre 0,788 y 0,827. [ 13 ]

Véase también

Notas

  1. ^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228– 249. doi : 10.1007/BF01504345 . S2CID 186223729 . 
  2. ↑ de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Algunas fórmulas de recursividad lineal y otras cuadráticas. II". Nederl. Akád. Wetensch. Proc. Ser. A . 55 : 152– 163. doi : 10.1016/S1385-7258(52)50021-0 .(Lo mismo que Indagationes Math. 14 .) Véase también Steele 1997, Teorema 1.9.2.
  3. ↑ Michael J. Steele. «Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria». SIAM, Filadelfia (1997). ISBN 0-89871-380-3.
  4. ↑ Michael J. Steele (2011). CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization . University of Cambridge.
  5. ↑ Lindenstrauss, Elon ; Weiss, Benjamin (2000). "Dimensión topológica media" . Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 1– 24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 .  Teorema 6.1
  6. ↑ Ornstein, Donald S. ; Weiss, Benjamin (1987). "Teoremas de entropía e isomorfismo para acciones de grupos amenables" . Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1– 141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 . 
  7. ↑ Gromov, Misha (1999). "Invariantes topológicos de sistemas dinámicos y espacios de aplicaciones holomorfas: I". Física matemática, análisis y geometría . 2 (4): 323– 415. Bibcode : 1999MPAG....2..323G . doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 . S2CID 117100302 .  
  8. ↑ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). "Un análogo del lema de Fekete para funciones subaditivas en semigrupos cancelables susceptibles" . Revista de Análisis Matemático . 124 : 59–81 . arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 .Teorema 1.1
  9. ↑ Hille 1948, Teorema 6.6.1. (La mensurabilidad se estipula en la Sección 6.2 "Preliminares").
  10. ↑ Schechter, Eric (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.pág. 314, 12.25
  11. ↑ Rau-Bredow, H. (2019). "Más grande no siempre es más seguro: un análisis crítico del supuesto de subaditividad para medidas de riesgo coherentes" . Risks . 7 (3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
  12. ↑ Shur, Arseny (2012). "Propiedades de crecimiento de lenguajes libres de potencia". Computer Science Review . 6 ( 5– 6): 187– 208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .
  13. ↑ Lueker, George S. (mayo de 2009). "Límites mejorados para la longitud promedio de las subsecuencias comunes más largas" . Journal of the ACM . 56 (3): 1– 38. doi : 10.1145/1516512.1516519 . ISSN 0004-5411 . S2CID 7232681 .  

Referencias

  • György Pólya y Gábor Szegő . Problemas y teoremas de análisis , vol. 1. Springer-Verlag, Nueva York (1976). ISBN 0-387-05672-6.
  • Einar Hille . " Análisis funcional y semigrupos ". Sociedad Matemática Americana, Nueva York (1948).
  • NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Funciones subaditivas genéricas". Actas de la Sociedad Matemática Americana, vol. 136, n.º 12 (2008), págs.  4257–4266.

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