Distribución subexponencial (cola ligera)

En teoría de la probabilidad , en el contexto de las distribuciones de cola ligera, una definición de una distribución subexponencial es como una distribución de probabilidad cuyas colas decaen a una tasa exponencial, o más rápido: una distribución de valor real.${\displaystyle {\cal {D}}}$Se denomina subexponencial si, para una variable aleatoria${\displaystyle X\sim {\cal {D}}}$,

${\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)=O(e^{-Kx})}$, para grandes${\displaystyle x}$y alguna constante${\displaystyle K>0}$.

Tenga en cuenta que esto es casi lo opuesto al significado más establecido de subexponencial en el contexto de las distribuciones de cola pesada , donde "sub" significa que la tasa de decaimiento es más lenta que la exponencial, en lugar de que la cola sea más ligera que la exponencial.

La norma subexponencial ,${\displaystyle \|\cdot \|_{\psi _ {1}}}$, de una variable aleatoria se define por

${\displaystyle \|X\|_{\psi _{1}}:=\inf \ \{K>0\mid {\mathbb {E}}(e^{|X|/K})\leq 2\},}$donde se considera que el ínfimo es${\displaystyle +\infty }$si no existe tal cosa${\displaystyle K}$existe.

Este es un ejemplo de una norma de Orlicz . Una condición equivalente para una distribución${\displaystyle {\cal {D}}}$ser subexponencial es entonces que${\displaystyle \|X\|_{\psi _ {1}}<\infty.}$^{[ 1 ] : §2.7}

La subexponencialidad también puede expresarse de las siguientes maneras equivalentes: ^{[ 1 ] : §2.7}

1. ${\displaystyle {\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq 2e^{-Kx},}$a pesar de${\displaystyle x\geq 0}$y alguna constante${\displaystyle K>0}$.
2. ${\displaystyle {\mathbb {E}}(|X|^{p})^{1/p}\leq Kp,}$a pesar de${\displaystyle p\geq 1}$y alguna constante${\displaystyle K>0}$.
3. Por alguna constante${\displaystyle K>0}$,${\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda |X|})\leq e^{K\lambda }}$a pesar de${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1/K}$.
4. ${\displaystyle {\mathbb {E}}(X)}$existe y por alguna razón constante${\displaystyle K>0}$,${\displaystyle {\mathbb {E}}(e^{\lambda (X-{\mathbb {E}}(X))})\leq e^{K^{2}\lambda ^{2}}}$a pesar de${\displaystyle -1/K\leq \lambda \leq 1/K}$.
5. ${\displaystyle {\sqrt {|X|}}}$es subgaussiana .

• Estadística de alta dimensión: una perspectiva no asintótica , Martin J. Wainwright, Cambridge University Press, 2019, ISBN 9781108498029.