Subfunctor

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un subfunctor es un tipo especial de functor que es un análogo de un subconjunto .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría y dejar${\displaystyle F}$ser un functor contravariante de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$a la categoría de conjuntos Set . Un functor contravariante${\displaystyle G}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Establecer es un subfunctor de F si

1. Para todos los objetos c de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle G(c)\subsetequ F(c)}$, y
2. Para todas las flechas${\displaystyle f:c'\rightarrow c}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle G(f)}$es la restricción de${\displaystyle F(f)}$a${\displaystyle G(c')}$.

Esta relación se escribe a menudo como${\displaystyle G\subsetequ F}$.

Por ejemplo, sea 1 la categoría con un solo objeto y una sola flecha. Un functor F : 1 → Set asigna el objeto único de 1 a algún conjunto S y la flecha identidad única de 1 a la función identidad 1 _S en S. Un subfunctor G de F asigna el objeto único de 1 a un subconjunto T de S y asigna la flecha identidad única a la función identidad 1 _T en T. Nótese que 1 _T es la restricción de 1 _S a T. En consecuencia, los subfunctores de F corresponden a subconjuntos de S.   

En general, los subfuntores son como versiones globales de los subconjuntos. Por ejemplo, si imaginamos que los objetos de una categoría C son análogos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico , entonces un funtor contravariante de C a la categoría de conjuntos da como resultado un prehaz multivaluado en C , es decir, asocia conjuntos a los objetos de C de una manera compatible con las flechas de C. Un subfuntor asocia entonces un subconjunto a cada conjunto, también de manera compatible.

Los ejemplos más importantes de subfuntores son los subfuntores del funtor Hom . Sea c un objeto de la categoría C y consideremos el funtor Hom( − , c ) . Este funtor toma un objeto c ′ de C y devuelve todos los morfismos c ′  → c . Un subfuntor de Hom( − , c ) devuelve solo algunos de los morfismos. Dicho subfuntor se denomina criba [ ^{1 ]} y se suele utilizar al definir topologías de ^Grothendieck . 

Los subfuntores también se utilizan en la construcción de funtores representables en la categoría de espacios anillados . Sea F un funtor contravariante de la categoría de espacios anillados a la categoría de conjuntos, y sea G ⊆ F. Supongamos que este morfismo de inclusión G  → F es representable mediante inmersiones abiertas, es decir, para cualquier funtor representable Hom( − , X ) y cualquier morfismo Hom( − , X ) → F , el producto fibrado G × _F Hom( − , X ) es un funtor representable Hom( − , Y ) y el morfismo Y → X definido por el lema de Yoneda es una inmersión abierta. Entonces G se denomina subfuntor abierto de F . Si F está cubierto por subfuntores abiertos representables, entonces, bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que F es representable. Esta es una técnica útil para la construcción de espacios anillados. Fue descubierta y ampliamente explotada por Alexander Grothendieck , quien la aplicó especialmente al caso de esquemas . Para una formulación y demostración formal, véase Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2.ª ed., capítulo 0, sección 4.5.