Distorsión de subgrupos

En la teoría geométrica de grupos , una disciplina de las matemáticas , la distorsión de subgrupos mide el grado en que un sobregrupo puede reducir la complejidad del problema verbal de un grupo . ^{[ 1 ]} Al igual que gran parte de la teoría geométrica de grupos, el concepto se debe a Misha Gromov , quien lo introdujo en 1993. ^{[ 2 ]}

Formalmente, sea S un grupo generador H , y sea G un sobregrupo para H generado por S ∪ T.   Entonces, cada conjunto generador define una métrica de palabra en el grupo correspondiente; la distorsión de H en G es la clase de equivalencia asintótica de la función$${\displaystyle R\mapsto {\frac {\operatorname {diam} _{H}(B_{G}(0,R)\cap H)}{\operatorname {diam} _{H}(B_{H}(0,R))}}{\text{,}}}$$donde B _X ( x , r )  es la bola de radio r alrededor del centro x en X y diam( S ) es el diámetro de S . ^{[ 2 ] : 49}

Un subgrupo con distorsión limitada se denomina no distorsionado , y es lo mismo que un subgrupo incrustado cuasi-isométricamente . ^{[ 3 ]}

Por ejemplo, consideremos el grupo cíclico infinito ℤ  =  ⟨ b ⟩ , incrustado como un subgrupo normal del grupo de Baumslag–Solitar BS(1,  2)  =  ⟨ a , b ⟩  . Con respecto a los conjuntos generadores elegidos, el elemento$${\displaystyle b^{2^{n}}=a^{n}ba^{-n}}$$está a una distancia de 2 ⁿ del origen en ℤ , pero a una distancia de 2 n  +  1 del origen en BS(1,  2) . En particular, ℤ está al menos exponencialmente distorsionado con base 2. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

Por otro lado, cualquier copia incrustada de ℤ en el grupo abeliano libre sobre dos generadores ℤ ² no está distorsionada, al igual que cualquier incrustación de ℤ en sí misma. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

En una torre de grupos K  ≤ H ≤ G    , la distorsión de K en G es al menos la distorsión de K en H.

Un subgrupo abeliano normal tiene una distorsión determinada por los autovalores de la representación del sobregrupo de conjugación ; formalmente, si g ∈ G actúa sobre V ≤ G con autovalor λ , entonces V está al menos exponencialmente distorsionado con base λ . Para muchos subgrupos no normales pero aún abelianos, la distorsión del núcleo normal proporciona una cota inferior fuerte. ^{[ 1 ]}    

Toda función computable con crecimiento exponencial como máximo puede ser una distorsión de subgrupo, ^{[ 5 ]} pero los subgrupos de Lie de un grupo de Lie nilpotente siempre tienen distorsión n  ↦ n ^r  para algún racional r . ^{[ 6 ]}

El denominador en la definición es siempre 2 R ; por esta razón, a menudo se omite. ^{[ 7 ] [ 8 ]} En ese caso, un subgrupo que no es localmente finito tiene distorsión superaditiva ; a la inversa, toda función superaditiva (salvo equivalencia asintótica) puede hallarse de esta manera. ^{[ 8 ]}

La simplificación en un problema de palabras inducida por la distorsión de subgrupos es suficiente para construir un criptosistema , algoritmos para codificar y decodificar mensajes secretos. ^{[ 4 ]} Formalmente, el mensaje de texto plano es cualquier objeto (como texto , imágenes o números ) que se puede codificar como un número n . El transmisor codifica entonces n como un elemento g  ∈ H  con longitud de palabra n . En un supergrupo público G que distorsiona H , el elemento g tiene una palabra de longitud mucho menor, que luego se transmite al receptor junto con una serie de "señuelos" de G  \ H  , para ocultar el subgrupo secreto H. El receptor entonces selecciona el elemento de H , reexpresa la palabra en términos de generadores de H y recupera n . ^{[ 4 ]}