Submersion (mathematics)

In mathematics, a submersion is a differentiable map between differentiable manifolds whose differential pushforward is everywhere surjective. It is a basic concept in differential topology, dual to that of an immersion.

Let M and N be differentiable manifolds, and let ${\displaystyle f\colon M\to N}$ be a differentiable map between them. The map f is a submersion at a point${\displaystyle p\in M}$ if its differential

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

is a surjectivelinear map.^[1] In this case, p is called a regular point of the map f; otherwise, p is a critical point. A point ${\displaystyle q\in N}$ is a regular value of f if all points p in the preimage${\displaystyle f^{-1}(q)}$ are regular points. A differentiable map f that is a submersion at each point ${\displaystyle p\in M}$ is called a submersion. Equivalently, f is a submersion if its differential ${\displaystyle Df_{p}}$ has constant rank equal to the dimension of N.

Some authors use the term critical point to describe a point where the rank of the Jacobian matrix of f at p is not maximal.:^[2] Indeed, this is the more useful notion in singularity theory. If the dimension of M is greater than or equal to the dimension of N, then these two notions of critical point coincide. However, if the dimension of M is less than the dimension of N, all points are critical according to the definition above (the differential cannot be surjective), but the rank of the Jacobian may still be maximal (if it is equal to dim M). The definition given above is the more commonly used one, e.g., in the formulation of Sard's theorem.

Given a submersion ${\displaystyle f\colon M\to N}$ between smooth manifolds of dimensions ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$, for each ${\displaystyle x\in M}$ there exist surjectivecharts${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ of ${\displaystyle M}$ around ${\displaystyle x}$, and ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$ of ${\displaystyle N}$ around ${\displaystyle f(x)}$, such that ${\displaystyle f}$ restricts to a submersion ${\displaystyle f\colon U\to V}$ which, when expressed in coordinates as ${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$, becomes an ordinary orthogonal projection. As an application, for each ${\displaystyle p\in N}$ the corresponding fiber of ${\displaystyle f}$, denoted ${\displaystyle M_{p}=f^{-1}({p})}$puede estar equipado con la estructura de un subcolector liso de${\displaystyle M}$cuya dimensión es igual a la diferencia de las dimensiones de${\displaystyle N}$y${\displaystyle M}$.

Este teorema es una consecuencia del teorema de la función inversa (véase Teorema de la función inversa#Dar una estructura de variedad ).

Por ejemplo, considere${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$dado por${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$La matriz jacobiana es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Esto tiene el rango máximo en todos los puntos excepto en${\displaystyle (0,0,0)}$. Además, las fibras

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

están vacíos para${\displaystyle t<0}$y es igual a un punto cuando${\displaystyle t=0}$Por lo tanto, solo tenemos una inmersión suave.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus {(0,0,0)}\to \mathbb {R} _{>0},}$y los subconjuntos${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$son variedades suaves bidimensionales para${\displaystyle t>0}$.

• Cualquier proyección${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• difeomorfismos locales
• sumersiones riemannianas
• La proyección en un fibrado vectorial suave o una fibración suave más general . La sobreyectividad del diferencial es una condición necesaria para la existencia de una trivialización local .

Si f : M → N es una inmersión en p y f ( p ) = q ∈ N , entonces existe un entorno abierto U de p en M , un entorno abierto V de q en N , y coordenadas locales ( x ₁ , …, x _m ) en p y ( x ₁ , …, x _n ) en q tales que f ( U ) = V , y la aplicación f en estas coordenadas locales es la proyección estándar

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

De ello se deduce que la preimagen completa f ⁻¹ ( q ) en M de un valor regular q en N bajo una aplicación diferenciable f : M → N es vacía o una variedad diferenciable de dimensión dim M − dim N , posiblemente disconexa . Este es el contenido del teorema del valor regular (también conocido como teorema de la submersión ). En particular, la conclusión se cumple para todo q en N si la aplicación f es una submersión.

Las submersiones también están bien definidas para variedades topológicas generales . ^{[ 3 ]} Una submersión de variedad topológica es una sobreyección continua f  : M → N tal que para todo p en M , para algunas cartas continuas ψ en p y φ en f(p) , la aplicación ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ es igual a la aplicación de proyección de R ^m a R ⁿ , donde m = dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

• Teorema de fibración de Ehresmann

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• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1