Subconjunto

En matemáticas, un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si todos los elementos de A también son elementos de B ; entonces B es un superconjunto de A. Es posible que A y B sean iguales; si son diferentes, entonces A es un subconjunto propio de B. La relación de que un conjunto sea un subconjunto de otro se llama inclusión (o a veces contención ). Que A sea un subconjunto de B también puede expresarse como que B incluye (o contiene) a A o que A está incluido (o contenido) en B. Un k -subconjunto es un subconjunto con k elementos.

Cuando se cuantifica,${\displaystyle A\subsetequ B}$se representa como${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$^{[ 1 ]}

Se puede demostrar la afirmación${\displaystyle A\subsetequ B}$aplicando una técnica de demostración conocida como argumento de elementos ^{[ 2 ]} :

Sean A y B conjuntos dados. Demostrar que${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. Supongamos que a es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de A.
2. Demuestra que a es un elemento de B.

La validez de esta técnica puede considerarse una consecuencia de la generalización universal : la técnica demuestra${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$para un elemento c elegido arbitrariamente . La generalización universal implica entonces${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$lo cual es equivalente a${\displaystyle A\subseteq B,}$como se indicó anteriormente.

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B , entonces:

• A es un subconjunto de B , denotado por${\displaystyle A\subsetequ B}$, o equivalentemente,
• B es un superconjunto de A , denotado por${\displaystyle B\supseteq A.}$

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

• A es un subconjunto propio (o estricto ) de B , denotado por${\displaystyle A\subsetneq B}$, o equivalentemente,
• B es un superconjunto propio (o estricto ) de A , denotado por${\displaystyle B\supsetneq A.}$

El conjunto vacío , escrito${\displaystyle \{\}}$o${\displaystyle \varnothing ,}$no tiene elementos y, por lo tanto, es trivialmente un subconjunto de cualquier conjunto X.

• Reflexividad : Dado cualquier conjunto${\displaystyle A}$,${\displaystyle A\subsetequ A}$^{[ 3 ]}
• Transitividad : Si${\displaystyle A\subsetequ B}$y${\displaystyle B\subsetequ C}$, entonces${\displaystyle A\subsetequ C}$
• Antisimetría : Si${\displaystyle A\subsetequ B}$y${\displaystyle B\subsetae}$, entonces${\displaystyle A=B}$.

Algunos autores utilizan los símbolos${\displaystyle \subset }$y${\displaystyle \supset }$para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos${\displaystyle \subseteq }$y${\displaystyle \supseteq }$. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, para estos autores, es cierto para cada conjunto A que${\displaystyle A\subset A.}$(una relación reflexiva ).

Otros autores prefieren usar los símbolos${\displaystyle \subset }$y${\displaystyle \supset }$para indicar subconjunto propio (también llamado estricto) y superconjunto propio respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos${\displaystyle \subsetneq }$y${\displaystyle \supsetneq .}$^{[ 5 ]} Este uso hace${\displaystyle \subseteq }$y${\displaystyle \subset }$análogos a los símbolos de desigualdad${\displaystyle \leq }$y${\displaystyle <.}$Por ejemplo, si${\displaystyle x\leq y,}$entonces x puede o no ser igual a y , pero si${\displaystyle x<y,}$entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y (una relación irreflexiva ). De manera similar, usando la convención de que${\displaystyle \subset }$es un subconjunto propio, si${\displaystyle A\subseteq B,}$entonces A puede o no ser igual a B , pero si${\displaystyle A\subset B,}$entonces A definitivamente no es igual a B.

• El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3}, por lo tanto ambas expresiones${\displaystyle A\subsetequ B}$y${\displaystyle A\subsetneq B}$son ciertas.
• El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de E = {1, 2, 3}, por lo tanto${\displaystyle D\subsetequ E}$es cierto y${\displaystyle D\subsetneq E}$no es cierto (falso).
• El conjunto { x : x es un número primo mayor que 10} es un subconjunto propio de { x : x es un número impar mayor que 10}.
• El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales ; asimismo, el conjunto de puntos en un segmento de recta es un subconjunto propio del conjunto de puntos en una recta . Estos son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como el conjunto completo son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, al número de elementos, de un conjunto finito) que el conjunto completo; estos casos pueden contradecir la intuición inicial.
• El conjunto de los números racionales es un subconjunto propio del conjunto de los números reales . En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el segundo tiene una cardinalidad (o potencia ) mayor que el primero.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler :

• 
  A es un subconjunto propio de B.
• 
  C es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de B.

El conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle S}$se denomina su conjunto potencia y se denota por${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$. ^{[ 6 ]}

La relación de inclusión${\displaystyle \subseteq }$es un orden parcial en el conjunto${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$definido por${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteeq B}$También podemos realizar pedidos parciales.${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$mediante inclusión de conjuntos inversos definiendo${\displaystyle A\leq B{\text{ si y solo si }}B\subseteq A.}$

Para el conjunto de potencia${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es —salvo un isomorfismo de orden— el producto cartesiano de${\displaystyle k=|S|}$(la cardinalidad de S ) copias del orden parcial en${\displaystyle \{0,1\}}$para qué${\displaystyle 0<1.}$Esto se puede ilustrar enumerando${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$y asociándose con cada subconjunto${\displaystyle T\subseteq S}$(es decir, cada elemento de${\displaystyle 2^{S}}$) la k -tupla de${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$de la cual la i -ésima coordenada es 1 si y solo si${\displaystyle s_{i}}$es miembro de T.​

El conjunto de todos${\displaystyle k}$-subconjuntos de${\displaystyle A}$se denota por${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$, de forma análoga a la notación para coeficientes binomiales , que cuentan el número de${\displaystyle k}$-subconjuntos de un${\displaystyle n}$Conjunto de -elementos. En teoría de conjuntos , la notación${\displaystyle [A]^{k}}$También es común, especialmente cuando${\displaystyle k}$es un número cardinal transfinito .

• Un conjunto A es un subconjunto de B si y solo si su intersección es igual a A. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ si y solo si }}A\cap B=A.}$

• Un conjunto A es un subconjunto de B si y solo si su unión es igual a B. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ si y solo si }}A\cup B=B.}$

• Un conjunto finito A es un subconjunto de B si y solo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A. Formalmente:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• La relación de subconjunto define un orden parcial en conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra booleana bajo la relación de subconjunto, en la que la unión y el encuentro están dados por la intersección y la unión , y la relación de subconjunto en sí es la relación de inclusión booleana .
• La inclusión es el orden parcial canónico , en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (X,\preceq )}$es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo sencillo: si cada ordinal n se identifica con el conjunto${\displaystyle [n]}$de todos los ordinales menores o iguales a n , entonces${\displaystyle a\leq b}$si y solo si${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• Subconjunto convexo : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un único segmento de línea. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Orden de inclusión : orden parcial que surge como la relación de inclusión de subconjuntos en alguna colección de objetos. 
• Mereología : estudio de las partes y los todo que forman. 
• Región : subconjunto abierto conectado de un espacio topológico. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Problema de la suma de subconjuntos : un problema de decisión en informática. 
• Contención subsuntiva : sistema de elementos que están subordinados entre sí. 
• Subespacio : conjunto matemático con alguna estructura añadida. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Subconjunto total : espacio vectorial en análisis funcional 

• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

• Contenido multimedia relacionado con subconjuntos en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Subconjunto" . MathWorld .