Axiom schema of specification

In many popular versions of axiomatic set theory, the axiom schema of specification,^[1] also known as the axiom schema of separation (Aussonderungsaxiom)^[2][3], subset axiom^[4], axiom of class construction,^[5] or axiom schema of restricted comprehension^[6] is an axiom schema. Essentially, it says that any definable subclass of a set is a set.

Some mathematicians refer to this axiom as the axiom schema of comprehension, although others reserve that term only for unrestricted comprehension; this axiom is a "restricted" version of unrestricted comprehension. Because restricting comprehension avoids Russell's paradox, several mathematicians including Zermelo, Fraenkel, and Gödel considered it the most important axiom of set theory.^[7]

One instance of the schema is included for each formula⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ in the language of set theory with free variables among ⁠${\displaystyle x,w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},A}$⁠. So the set ⁠${\displaystyle B}$⁠, whose existence is asserted by the axiom, does not occur free in ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠. In the formal language of set theory, the axiom schema is:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

or in words:

Given any setA, there is a set B (a subset of A) such that, given any set x, x is a member of Bif and only ifx is a member of Aand⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ holds for x.

Note that there is one axiom for every such predicate⁠${\displaystyle \varphi }$⁠; thus, this is an axiom schema.

To understand this axiom schema, note that the set B must be a subset of A. Thus, what the axiom schema is really saying is that, given a set A and a predicate ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, we can find a subset B of A whose members are precisely the members of A that satisfy ⁠${\displaystyle \varphi }$Por el axioma de extensionalidad, este conjunto es único. Normalmente denotamos este conjunto usando la notación de construcción de conjuntos como${\displaystyle B=\{x\in A\mid \varphi (x)\}}$Por lo tanto , la esencia del axioma es:

Cada subclase de un conjunto definida por un predicado es en sí misma un conjunto.

La forma precedente de separación fue introducida en 1930 por Thoralf Skolem como un refinamiento de una forma anterior, no de primer orden ^{[ 8 ]} de Zermelo. ^{[ 9 ]} El esquema axiomático de especificación es característico de los sistemas de teoría axiomática de conjuntos relacionados con la teoría usual de conjuntos ZFC , pero no suele aparecer en sistemas radicalmente diferentes de teoría alternativa de conjuntos . Por ejemplo, New Foundations y la teoría positiva de conjuntos utilizan diferentes restricciones del axioma de comprensión de la teoría ingenua de conjuntos . La teoría alternativa de conjuntos de Vopenka hace un punto específico al permitir subclases propias de conjuntos, llamadas semiconjuntos . Incluso en sistemas relacionados con ZFC, este esquema a veces se restringe a fórmulas con cuantificadores acotados, como en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos .

El esquema axiomático de especificación está implícito en el esquema axiomático de reemplazo junto con el axioma del conjunto vacío . ^{[ 10 ] [ a ]}

El esquema axiomático de reemplazo dice que, si una función${\displaystyle f}$es definible por una fórmula${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$, entonces para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, existe un conjunto${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$. ^{[ 10 ]}

Para derivar el esquema axiomático de especificación, sea${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ser una fórmula y${\displaystyle z}$un conjunto, y definir la función${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=x}$si${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$es cierto y${\displaystyle f(x)=u}$si${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$es falso, donde${\displaystyle u\in z}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$es cierto. Entonces el conjunto${\displaystyle y}$garantizado por el esquema axiomático de reemplazo es precisamente el conjunto${\displaystyle y}$requerido en el esquema axiomático de especificación. Si${\displaystyle u}$no existe, entonces${\displaystyle f(x)}$En el esquema axiomático de especificación se encuentra el conjunto vacío, cuya existencia (es decir, el axioma del conjunto vacío) es necesaria. ^{[ 10 ]}

Por esta razón, el esquema axiomático de especificación se omite en algunas axiomatizaciones de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ), ^{[ 11 ]} aunque algunos autores, a pesar de la redundancia, incluyen ambos. ^{[ 12 ]} En cualquier caso, el esquema axiomático de especificación es notable porque figuraba en la lista original de axiomas de Zermelo de 1908, antes de que Fraenkel inventara el axioma de reemplazo en 1922. ^{[ 11 ]} Además, si se toma la teoría de conjuntos ZFC (es decir, ZF con el axioma de elección), se eliminan el axioma de reemplazo y el axioma de colección , pero se mantiene el esquema axiomático de especificación, se obtiene el sistema de axiomas más débil llamado ZC (es decir, los axiomas de Zermelo, más el axioma de elección). ^{[ 13 ]}

El esquema axiomático de la comprensión irrestricta dice lo siguiente:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

eso es:

Este conjunto B es nuevamente único y generalmente se denota como { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

A nivel informal, este esquema axiomático puede describirse diciendo que para cualquier propiedad o condición φ (el predicado del conjunto ), existe un conjunto${\displaystyle \{x|\varphi (x)\}}$compuesto por todos y solo los objetos que satisfacen φ . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Por ejemplo, cuando φ es una tautología , el conjunto resultante B es el conjunto universal .

Este esquema axiomático se utilizó tácitamente en los inicios de la teoría de conjuntos ingenua , antes de que se adoptara una axiomatización estricta. Sin embargo, posteriormente se descubrió que conducía directamente a la paradoja de Russell , al considerar φ ( x ) como ¬( x  ∈ x )  (es decir, la propiedad de que el conjunto x no es miembro de sí mismo). Por lo tanto, ninguna axiomatización útil de la teoría de conjuntos puede utilizar la comprensión sin restricciones. Pasar de la lógica clásica a la lógica intuicionista no ayuda, ya que la demostración de la paradoja de Russell es válida desde una perspectiva intuicionista.

El esquema axiomático de especificación puede considerarse una versión "restringida" de este esquema axiomático, donde φ solo puede ser verdadero para elementos de otro conjunto A , lo que prohíbe la construcción de conjuntos "demasiado grandes", como el conjunto universal. Aceptar únicamente el esquema axiomático de especificación fue el comienzo de la teoría axiomática de conjuntos. La mayoría de los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel (pero no el axioma de extensionalidad , el axioma de regularidad ni el axioma de elección ) se volvieron necesarios para compensar parte de lo que se perdió al cambiar el esquema axiomático de comprensión al esquema axiomático de especificación; cada uno de estos axiomas afirma que existe un conjunto determinado y lo define mediante un predicado que deben satisfacer sus miembros, es decir, es un caso especial del esquema axiomático de comprensión.

También es posible evitar la inconsistencia del esquema restringiendo las fórmulas a las que se puede aplicar, como por ejemplo, solo fórmulas estratificadas en New Foundations (véase más abajo) o solo fórmulas positivas (fórmulas con solo conjunción, disyunción, cuantificación y fórmulas atómicas) en la teoría de conjuntos positiva . Sin embargo, las fórmulas positivas generalmente no pueden expresar ciertas cosas que la mayoría de las teorías sí pueden; por ejemplo, no existe el complemento ni el complemento relativo en la teoría de conjuntos positiva.

En la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , se hace una distinción entre conjuntos y clases . Una clase C es un conjunto si y solo si pertenece a alguna clase E. En esta teoría, existe un esquema de teorema que dice: $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

eso es,

siempre que los cuantificadores en el predicado P estén restringidos a conjuntos.

Este esquema de teorema es en sí mismo una forma restringida de comprensión, que evita la paradoja de Russell debido al requisito de que C sea un conjunto. Entonces, la especificación para los conjuntos mismos se puede escribir como un solo axioma. $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

eso es,

o incluso más sencillo

En este axioma, el predicado P se reemplaza por la clase D , sobre la cual se puede cuantificar. Otro axioma más simple que logra el mismo efecto es $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

eso es,

En un lenguaje tipado donde podemos cuantificar sobre predicados, el esquema axiomático de especificación se convierte en un axioma simple. Este es un truco muy similar al utilizado en los axiomas NBG de la sección anterior, donde el predicado se reemplazó por una clase sobre la cual se realizó la cuantificación.

En la lógica de segundo orden y en la lógica de orden superior con semántica de orden superior, el axioma de especificación es una validez lógica y no necesita incluirse explícitamente en una teoría.

En el enfoque de Nuevas Fundaciones de la teoría de conjuntos, iniciado por WVO Quine , el axioma de comprensión para un predicado dado adopta la forma no restringida, pero los predicados que pueden usarse en el esquema están restringidos. El predicado ( C no está en C ) está prohibido, porque el mismo símbolo C aparece a ambos lados del símbolo de pertenencia (y, por lo tanto, en diferentes "tipos relativos"); así, se evita la paradoja de Russell. Sin embargo, al tomar P ( C ) como ( C = C ) , lo cual está permitido, podemos formar un conjunto de todos los conjuntos. Para más detalles, véase estratificación . ^{[ 16 ]}