Método de identificación de subespacios

En matemáticas, específicamente en teoría de control , la identificación de subespacios ( SID ) tiene como objetivo identificar modelos de espacio de estados lineales invariantes en el tiempo (LTI) a partir de datos de entrada-salida. La SID no requiere que el usuario parametrice las matrices del sistema antes de resolver un problema de optimización paramétrica y, en consecuencia, los métodos SID no sufren problemas relacionados con mínimos locales que a menudo conducen a resultados de identificación insatisfactorios.

Los métodos SID tienen su origen en el trabajo del matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891). Kronecker ^{[ 1 ]} demostró que una serie de potencias puede escribirse como una función racional cuando el rango del operador de Hankel que tiene como símbolo la serie de potencias es finito. El rango determina el orden de los polinomios de la función racional.

En la década de 1960, el trabajo de Kronecker inspiró a varios investigadores en el área de Sistemas y Control, como Ho y Kalman, Silverman y Youla y Tissi, a almacenar los parámetros de Markov de un sistema LTI en una matriz de Hankel de dimensión finita y derivar de esta matriz una realización (A,B,C) del sistema LTI. La observación clave fue que cuando la matriz de Hankel se dimensiona adecuadamente en función del orden del sistema LTI, el rango de la matriz de Hankel es el orden del sistema LTI y la descomposición en valores singulares (SVD) de la matriz de Hankel proporciona una base para el espacio columna de la matriz de observabilidad y el espacio fila de la matriz de controlabilidad del sistema LTI. El conocimiento de estos espacios clave permite estimar las matrices del sistema mediante mínimos cuadrados lineales . ^{[ 2 ]}

Investigadores como Akaike derivaron una extensión al problema de realización estocástica donde solo conocemos la función de autocorrelación (covarianza) de la salida de un sistema LTI impulsado por ruido blanco. ^{[ 3 ]}

Una segunda generación de métodos SID intentó que estos métodos operaran directamente sobre mediciones de entrada-salida del sistema LTI en la década de 1985-1995. Una de estas generalizaciones se presentó bajo el nombre de Algoritmo de Realización de Sistemas Propios (ERA), que utilizaba mediciones específicas de entrada-salida considerando las entradas de impulso. ^{[ 4 ]} Se ha utilizado para el análisis modal de estructuras flexibles, como puentes, estructuras espaciales, etc. Estos métodos han demostrado funcionar en la práctica para estructuras resonantes, pero no funcionaron bien para otros tipos de sistemas y una entrada diferente a un impulso. Un nuevo impulso al desarrollo de los métodos SID se dio para operar directamente sobre datos genéricos de entrada-salida y evitar primero calcular explícitamente los parámetros de Markov o estimar las muestras de las funciones de covarianza antes de realizar las matrices del sistema. Los pioneros que contribuyeron a estos avances fueron Van Overschee y De Moor, quienes introdujeron el enfoque N4SID, ^{[ 5 ]} Verhaegen, quien introdujo el enfoque MOESP ^{[ 6 ]} y Larimore, quien presentó ST en el marco del Análisis de Variables Canónicas (CVA) ^{[ 7 ].}