Flag (linear algebra)

In mathematics, particularly in linear algebra, a flag is an increasing sequence of subspaces of a finite-dimensionalvector spaceV. Here "increasing" means each is a proper subspace of the next (see filtration):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

The term flag is motivated by a particular example resembling a flag: the zero point, a line, and a plane correspond to a nail, a staff, and a sheet of fabric.^[1]

If we write that dimV_i = d_i then we have

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

where n is the dimension of V (assumed to be finite). Hence, we must have k ≤ n. A flag is called a complete flag if d_i = i for all i, otherwise it is called a partial flag.

A partial flag can be obtained from a complete flag by deleting some of the subspaces. Conversely, any partial flag can be completed (in many different ways) by inserting suitable subspaces.

The signature of the flag is the sequence (d₁, ..., d_k).

An ordered basis for V is said to be adapted to a flag V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_k if the first d_i basis vectors form a basis for V_i for each 0 ≤ i ≤ k. Standard arguments from linear algebra can show that any flag has an adapted basis.

Any ordered basis gives rise to a complete flag by letting the V_i be the span of the first i basis vectors. For example, the standard flag in Rⁿ is induced from the standard basis (e₁, ..., e_n) where e_i denotes the vector with a 1 in the ith entry and 0's elsewhere. Concretely, the standard flag is the sequence of subspaces:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

An adapted basis is almost never unique (the counterexamples are trivial); see below.

Una bandera completa en un espacio de producto interno tiene una base ortonormal esencialmente única : es única salvo multiplicar cada vector por una unidad (escalar de longitud unitaria, por ejemplo 1, −1, i ). Dicha base se puede construir utilizando el proceso de Gram-Schmidt . La unicidad salvo unidades se deduce inductivamente , al observar que${\displaystyle v_{i}}$se encuentra en el espacio unidimensional${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$.

De forma más abstracta, es único salvo una acción del toro maximal : la bandera corresponde al grupo de Borel y el producto interno corresponde al subgrupo compacto maximal . ^{[ 2 ]}

El subgrupo estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares superiores invertibles .

De manera más general, el estabilizador de una bandera (los operadores lineales)${\displaystyle T}$en V tal que${\displaystyle T(V_{i})=V_{i}}$para todo i ) es, en términos matriciales, el álgebra de matrices triangulares superiores por bloques (con respecto a una base adaptada), donde los tamaños de los bloques son${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$. ^{[ 3 ] : 7} El subgrupo estabilizador de una bandera completa es el conjunto de matrices triangulares superiores invertibles con respecto a cualquier base adaptada a la bandera. El subgrupo de matrices triangulares inferiores con respecto a dicha base depende de esa base y, por lo tanto, no puede caracterizarse únicamente en términos de la bandera.

El subgrupo estabilizador de cualquier bandera completa es un subgrupo de Borel (del grupo lineal general ), y el estabilizador de cualquier bandera parcial es un subgrupo parabólico .

El subgrupo estabilizador de una bandera actúa simplemente de forma transitiva sobre bases adaptadas para la bandera, y por lo tanto, estos no son únicos a menos que el estabilizador sea trivial. Esa es una circunstancia muy excepcional: sucede solo para un espacio vectorial de dimensión 0, o para un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$de dimensión 1 (precisamente los casos en los que solo existe una base, independientemente de cualquier bandera).

En un espacio V de dimensión infinita , como el que se usa en el análisis funcional , la idea de bandera se generaliza a un nido de subespacios , es decir, una colección de subespacios de V que es un orden total de inclusión y que además es cerrado bajo intersecciones arbitrarias y extensiones lineales cerradas. Véase álgebra de nidos .

Desde el punto de vista del cuerpo con un elemento , un conjunto puede verse como un espacio vectorial sobre el cuerpo con un elemento: esto formaliza varias analogías entre grupos de Coxeter y grupos algebraicos .

Bajo esta correspondencia, un ordenamiento en un conjunto corresponde a una bandera maximal: un ordenamiento es equivalente a una filtración maximal de un conjunto. Por ejemplo, la filtración (bandera)${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$corresponde al ordenamiento${\displaystyle (0,1,2)}$.

• Filtración (matemáticas)
• Bandera (geometría)
• Colector de banderas
• Grassmanniano
• Matroid

• Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.