Estadística suficiente

Por ejemplo, la media muestral es suficiente para la media (desconocida) μ de una distribución normal con varianza conocida. Una vez conocida la media muestral, no se puede obtener más información sobre μ a partir de la muestra misma. Por otro lado, para una distribución arbitraria, la mediana no es suficiente para la media: incluso si se conoce la mediana de la muestra, conocer la muestra misma proporcionaría información adicional sobre la media poblacional. Por ejemplo, si las observaciones menores que la mediana son solo ligeramente inferiores, pero las observaciones mayores que la superan la superan considerablemente, esto influiría en la inferencia sobre la media poblacional.

Una implicación del teorema es que, al utilizar la inferencia basada en la verosimilitud, dos conjuntos de datos que produzcan el mismo valor para el estadístico suficiente T ( X ) siempre darán lugar a las mismas inferencias sobre θ . Según el criterio de factorización, la dependencia de la verosimilitud con respecto a θ solo se da en conjunción con T ( X ). Como esto es igual en ambos casos, la dependencia con respecto a θ también será la misma, lo que dará lugar a inferencias idénticas.

Debido a Hogg y Craig. ^{[ 9 ]} Deje${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$, denotemos una muestra aleatoria de una distribución que tiene la función de densidad de probabilidad f ( x , θ ) para ι < θ < δ . Sea Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) un estadístico cuya función de densidad de probabilidad es g ₁ ( y ₁ ; θ ). Lo que queremos demostrar es que Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) es un estadístico suficiente para θ si y solo si, para alguna función H ,               

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Primero, supongamos que

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Realizaremos la transformación y _i  = u _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), para i = 1, ..., n , que tiene funciones inversas x _i = w _i ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ), para i = 1, ..., n , y jacobiano                 ${\displaystyle J=\left[w_{i}/y_{j}\right]}$. De este modo,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f\left[w_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n});\theta \right]=|J|g_{1}(y_{1};\theta )H\left[w_{1}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\right].}$

El miembro izquierdo es la pdf conjunta g ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ; θ) de Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., Y _n = u _n ( X ₁ , ..., X _n ). En el miembro derecho,${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$es el pdf de${\displaystyle Y_{1}}$, de modo que${\displaystyle H[w_{1},\dots ,w_{n}]|J|}$es el cociente de${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )}$y${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$; es decir, es la PDF condicional${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$de${\displaystyle Y_{2},\dots ,Y_{n}}$dado${\displaystyle Y_{1}=y_{1}}$.

Pero${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$y por lo tanto${\displaystyle H\left[w_{1}(y_{1},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},\dots ,y_{n}))\right]}$, se le dio para no depender de${\displaystyle \theta }$. Desde${\displaystyle \theta }$no se introdujo en la transformación y, por consiguiente, no en el jacobiano.${\displaystyle J}$De ello se deduce que${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$no depende de${\displaystyle \theta }$y eso${\displaystyle Y_{1}}$es una estadística suficiente para${\displaystyle \theta }$.

Lo contrario se demuestra tomando:

${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )=g_{1}(y_{1};\theta )h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1}),}$

dónde${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$no depende de${\displaystyle \theta }$porque${\displaystyle Y_{2}...Y_{n}}$depender únicamente de${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$, que son independientes de${\displaystyle \Theta }$cuando está condicionado por${\displaystyle Y_{1}}$, una estadística suficiente por hipótesis. Ahora divide ambos miembros por el valor absoluto del jacobiano no nulo.${\displaystyle J}$y reemplazar${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$por las funciones${\displaystyle u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$en${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$Esto produce

${\displaystyle {\frac {g\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]}{|J^{*}|}}=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]{\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

dónde${\displaystyle J^{*}}$es el jacobiano con${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$reemplazados por su valor en términos${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$El miembro izquierdo es necesariamente la articulación pdf${\displaystyle f(x_{1};\theta )\cdots f(x_{n};\theta )}$de${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$. Desde${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$y por lo tanto${\displaystyle h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}$, no depende de${\displaystyle \theta }$, entonces

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

es una función que no depende de${\displaystyle \theta }$.

Una demostración más sencilla e ilustrativa es la siguiente, aunque solo se aplica en el caso discreto.

Utilizamos la notación abreviada para denotar la densidad de probabilidad conjunta de${\displaystyle (X,T(X))}$por${\displaystyle f_{\theta }(x,t)}$. Desde${\displaystyle T}$es una función determinista de${\displaystyle X}$, tenemos${\displaystyle f_{\theta }(x,t)=f_{\theta }(x)}$, mientras${\displaystyle t=T(x)}$y cero en caso contrario. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x)&=f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=f_{\theta }(x\mid t)f_{\theta }(t)\\[5pt]&=f(x\mid t)f_{\theta }(t)\end{aligned}}}$

siendo la última igualdad verdadera por definición de estadística suficiente. Por lo tanto,${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$con${\displaystyle a(x)=f_{X\mid t}(x)}$y${\displaystyle b_{\theta }(t)=f_{\theta }(t)}$.

Por el contrario, si${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(t)&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}a(x)b_{\theta }(t)\\[5pt]&=\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t).\end{aligned}}}$

Con la primera igualdad por la definición de pdf para múltiples variables , la segunda por la observación anterior, la tercera por hipótesis y la cuarta porque la suma no es mayor que${\displaystyle t}$.

Dejar${\displaystyle f_{X\mid t}(x)}$denotamos la densidad de probabilidad condicional de${\displaystyle X}$dado${\displaystyle T(X)}$Entonces podemos derivar una expresión explícita para esto:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X\mid t}(x)&={\frac {f_{\theta }(x,t)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)b_{\theta }(t)}{\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)}{\sum _{x:T(x)=t}a(x)}}.\end{aligned}}}$

Con la primera igualdad por definición de densidad de probabilidad condicional, la segunda por la observación anterior, la tercera por la igualdad demostrada anteriormente y la cuarta por simplificación. Esta expresión no depende de${\displaystyle \theta }$y por lo tanto${\displaystyle T}$es una estadística suficiente. ^{[ 10 ]}

Si X ₁ ,  ..., X _n son variables aleatorias independientes con distribución de Bernoulli y valor esperado p , entonces la suma T ( X ) = X ₁ + ... + X _n es una estadística suficiente para p (aquí 'éxito' corresponde a X _i = 1 y 'fracaso' a X _i = 0; por lo tanto, T es el número total de éxitos).          

Esto se observa al considerar la distribución de probabilidad conjunta:

${\displaystyle \Pr\{X=x\}=\Pr\{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\}.}$

Debido a que las observaciones son independientes, esto se puede escribir como

${\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}}$

y, agrupando potencias de p y 1  − p , se obtiene 

${\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}}$

que satisface el criterio de factorización, siendo h ( x )  =  1 simplemente una constante.

Nótese la característica crucial: el parámetro desconocido p interactúa con los datos x solo a través de la estadística T ( x ) =  Σ x _i . 

Como aplicación concreta, esto proporciona un procedimiento para distinguir una moneda justa de una moneda trucada .

Si X ₁ , ..., X _n son independientes y están distribuidos uniformemente en el intervalo [0, θ ], entonces T ( X ) = max( X ₁ , ..., X _n ) es suficiente para θ — el máximo de la muestra es una estadística suficiente para el máximo de la población.

Para ver esto, consideremos la función de densidad de probabilidad conjunta de X ( X ₁ ,..., X _n ). Debido a que las observaciones son independientes, la pdf se puede escribir como un producto de densidades individuales.  

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x_{1},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{1}\leq \theta \}}\cdots {\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{n}\leq \theta \}}\\[5pt]&={\frac {1}{\theta ^{n}}}\mathbf {1} _{\{0\leq \min\{x_{i}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{x_{i}\}\leq \theta \}}\end{aligned}}}$

donde 1 _{{ ... }} es la función indicadora . Por lo tanto, la densidad toma la forma requerida por el teorema de factorización de Fisher-Neyman, donde h ( x )  = 1 _{{min{ x i }≥0}} , y el resto de la expresión es una función solo de θ y T ( x ) = max{ x _i }.   

De hecho, el estimador insesgado de mínima varianza (MVUE) para θ es

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}T(X).}$

Este es el máximo de la muestra, escalado para corregir el sesgo , y es MVUE según el teorema de Lehmann-Scheffé . El máximo de la muestra sin escalar T ( X ) es el estimador de máxima verosimilitud para θ .

Si${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$son independientes y están distribuidas uniformemente en el intervalo${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$(dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son parámetros desconocidos), entonces${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$es una estadística suficiente bidimensional para${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$.

Para ver esto, consideremos la función de densidad de probabilidad conjunta de${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Debido a que las observaciones son independientes, la pdf se puede escribir como un producto de densidades individuales, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \beta -\alpha }\right)\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta \}}=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta ,\,\forall \,i=1,\ldots ,n\}}\\&=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

La densidad conjunta de la muestra toma la forma requerida por el teorema de factorización de Fisher-Neyman, al dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\quad g_{(\alpha ,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$no depende del parámetro${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$y${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$depende únicamente de${\displaystyle x_{1}^{n}}$a través de la función${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right),}$

El teorema de factorización de Fisher-Neyman implica${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$es una estadística suficiente para${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$.

Si X ₁ ,  ..., X _n son independientes y tienen una distribución de Poisson con parámetro λ , entonces la suma T ( X ) = X ₁ + ... + X _n es una estadística suficiente para λ .       

Para ver esto, consideremos la distribución de probabilidad conjunta:

${\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).}$

Debido a que las observaciones son independientes, esto se puede escribir como

${\displaystyle {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{1}} \over x_{1}!}\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{2}} \over x_{2}!}\cdots {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{n}} \over x_{n}!}}$

que puede escribirse como

${\displaystyle e^{-n\lambda }\lambda ^{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}}$

lo que demuestra que se cumple el criterio de factorización, donde h ( x ) es el recíproco del producto de los factoriales. Nótese que el parámetro λ interactúa con los datos solo a través de su suma T ( X ).

Si${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$son independientes y se distribuyen normalmente con un valor esperado${\displaystyle \theta }$(un parámetro) y varianza finita conocida${\displaystyle \sigma ^{2},}$entonces

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

es una estadística suficiente para${\displaystyle \theta .}$

Para ver esto, consideremos la función de densidad de probabilidad conjunta de${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$. Debido a que las observaciones son independientes, la pdf se puede escribir como un producto de densidades individuales, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)-\left(\theta -{\overline {x}}\right)\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(\theta -{\overline {x}})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})\right)\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+n(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\right)&&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})=0\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

La densidad conjunta de la muestra toma la forma requerida por el teorema de factorización de Fisher-Neyman, al dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\\[6pt]g_{\theta }(x_{1}^{n})&=\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$no depende del parámetro${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$depende únicamente de${\displaystyle x_{1}^{n}}$a través de la función

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$

El teorema de factorización de Fisher-Neyman implica${\displaystyle T(X_{1}^{n})}$es una estadística suficiente para${\displaystyle \theta }$.

Si${\displaystyle \sigma ^{2}}$es desconocido y desde${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}$, la probabilidad anterior se puede reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})=(2\pi \sigma ^{2})^{-n/2}\exp \left(-{\frac {n-1}{2\sigma ^{2}}}s^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right).\end{aligned}}}$

El teorema de factorización de Fisher-Neyman sigue vigente e implica que${\displaystyle ({\overline {x}},s^{2})}$es una estadística suficiente conjunta para${\displaystyle (\theta ,\sigma ^{2})}$.

Si${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$son independientes y se distribuyen exponencialmente con un valor esperado θ (un parámetro positivo real desconocido), entonces${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$es una estadística suficiente para θ.

Para ver esto, consideremos la función de densidad de probabilidad conjunta de${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$. Debido a que las observaciones son independientes, la pdf se puede escribir como un producto de densidades individuales, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{1 \over \theta }\,e^{{-1 \over \theta }x_{i}}={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

La densidad conjunta de la muestra toma la forma requerida por el teorema de factorización de Fisher-Neyman, al dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{\theta }(x_{1}^{n})={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$no depende del parámetro${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$depende únicamente de${\displaystyle x_{1}^{n}}$a través de la función${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

El teorema de factorización de Fisher-Neyman implica${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$es una estadística suficiente para${\displaystyle \theta }$.

Si${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$son independientes y se distribuyen como un${\displaystyle \Gamma (\alpha \,,\,\beta )}$, dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son parámetros desconocidos de una distribución Gamma , entonces${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$es una estadística suficiente bidimensional para${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

Para ver esto, consideremos la función de densidad de probabilidad conjunta de${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$. Debido a que las observaciones son independientes, la pdf se puede escribir como un producto de densidades individuales, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)x_{i}^{\alpha -1}e^{(-1/\beta )x_{i}}\\[5pt]&=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

La densidad conjunta de la muestra toma la forma requerida por el teorema de factorización de Fisher-Neyman, al dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

Desde${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$no depende del parámetro${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$y${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$depende únicamente de${\displaystyle x_{1}^{n}}$a través de la función${\displaystyle T(x_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i},\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

El teorema de factorización de Fisher-Neyman implica${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$es una estadística suficiente para${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta ).}$

Una formulación alternativa de la condición de que un estadístico sea suficiente, establecida en un contexto bayesiano, involucra las distribuciones posteriores obtenidas al usar el conjunto de datos completo y al usar solo un estadístico. Por lo tanto, el requisito es que, para casi todo x ,

${\displaystyle \Pr(\theta \mid X=x)=\Pr(\theta \mid T(X)=t(x)).}$

De forma más general, sin asumir un modelo paramétrico, podemos decir que la estadística T es suficientemente predictiva si

${\displaystyle \Pr(X'=x'\mid X=x)=\Pr(X'=x'\mid T(X)=t(x)).}$

Resulta que esta "suficiencia bayesiana" es una consecuencia de la formulación anterior, ^{[ 16 ]} sin embargo, no son directamente equivalentes en el caso de dimensión infinita. ^{[ 17 ]} Existe una variedad de resultados teóricos sobre la suficiencia en un contexto bayesiano. ^{[ 18 ]}

Un concepto llamado "suficiencia lineal" puede formularse en un contexto bayesiano, ^{[ 19 ]} y de forma más general. ^{[ 20 ]} Primero definimos el mejor predictor lineal de un vector Y basado en X como${\displaystyle {\hat {E}}[Y\mid X]}$. Entonces, una estadística lineal T ( x ) es lineal suficiente ^{[ 21 ]} si

${\displaystyle {\hat {E}}[\theta \mid X]={\hat {E}}[\theta \mid T(X)].}$