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Articulo de referencia

Teorema de Erdős-Szemerédi

En combinatoria aritmética , el teorema de Erdős-Szemerédi establece que para cada conjunto finito A {\displaystyle A} de enteros , al menos uno de los conjuntos A + A {\display...

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En combinatoria aritmética , el teorema de Erdős-Szemerédi establece que para cada conjunto finitoA{\displaystyle A}de enteros , al menos uno de los conjuntosA+A{\displaystyle A+A}yA⋅A{\displaystyle A\cdot A}(los conjuntos de sumas por pares y productos por pares, respectivamente) forman un conjunto significativamente mayor. Más precisamente, el teorema de Erdős-Szemerédi establece que existen constantes positivasdo{\displaystyle c}yε{\displaystyle \varepsilon }de tal manera que, para cualquier conjunto no vacíoA⊂norte{\displaystyle A\subset \mathbb {N} },

máximo(|A+A|,|A⋅A|)≥do|A|1+ε.{\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq c|A|^{1+\varepsilon }.}

Fue demostrado por Paul Erdős y Endre Szemerédi en 1983. [ 1 ] La notación|A|{\displaystyle |A|}denota la cardinalidad del conjuntoA{\displaystyle A}.

El conjunto de sumas por pares esA+A={a+b:a,b∈A}{\displaystyle A+A=\{a+b:a,b\in A\}}y se llama el conjunto suma deA{\displaystyle A}.

El conjunto de productos por pares esA⋅A={a⋅b:a,b∈A}{\displaystyle A\cdot A=\{a\cdot b:a,b\in A\}}y se denomina conjunto producto deA{\displaystyle A}; también está escritoAA{\displaystyle AA}.

El teorema es una versión de la máxima de que la estructura aditiva y la estructura multiplicativa no pueden coexistir. También puede interpretarse como una afirmación de que la recta real no contiene ningún conjunto que se asemeje a un subanillo finito o a un subcuerpo finito ; es el primer ejemplo de lo que ahora se conoce como el fenómeno suma-producto , que se sabe que se cumple en una amplia variedad de anillos y cuerpos, incluidos los cuerpos finitos. [ 2 ]

Conjetura suma-producto

La conjetura suma-producto afirma informalmente que uno de los conjuntos suma o producto de cualquier conjunto debe ser casi tan grande como sea posible. Fue conjeturada originalmente por Erdős en 1974 para determinar siA{\displaystyle A}es un conjunto de números enteros, reales o complejos. [ 3 ] Más precisamente, propone que, para cualquier conjuntoA⊂do{\displaystyle A\subset \mathbb {C} }, uno tiene

máximo(|A+A|,|A⋅A|)≥|A|2−o(1).{\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq |A|^{2-o(1)}.}

El parámetro asintótico en elo(1){\displaystyle o(1)}La notación o minúscula es|A|{\displaystyle |A|}.

Refutando la conjetura

Esta conjetura fue refutada en los números reales (y por lo tanto en los números complejos) en 2026 por Bloom, Sawin, Schildkraut y Zhelezov, [ 4 ] quienes construyeron conjuntos arbitrariamente grandes.A⊂R{\displaystyle A\subset R}de enteros algebraicos en cuerpos numéricos de grado proporcional aregistro⁡|A|{\displaystyle \log |A|}de tal manera que

máximo(|A+A|,|A⋅A|)≤|A|2−do{\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\leq |A|^{2-c}}

para una constante absolutado>0{\displaystyle c>0}El mismo artículo refuta la conjetura de las múltiples sumas y productos y obtiene construcciones análogas sobre números p -ádicos , cuerpos finitos y cuerpos de funciones en característica positiva. La conjetura permanece abierta sobre los enteros.

Ejemplos

SiA={1,2,3,…,norte}{\displaystyle A=\{1,2,3,\dots ,n\}}, entonces|A+A|=2|A|−1∅(|A|){\displaystyle |A+A|=2|A|-1\emptyset (|A|)}utilizando la notación Big O , con|A|{\displaystyle |A|}el parámetro asintótico. De manera informal, esto significa que el conjunto suma deA{\displaystyle A}crece solo proporcionalmente aA{\displaystyle A}Por otro lado, el conjunto de productos deA{\displaystyle A}satisface una cota de la forma|A⋅A|≥|A|2−ε{\displaystyle |A\cdot A|\geq |A|^{2-\varepsilon }}a pesar deε>0{\displaystyle \varepsilon >0}y todos suficientemente grandesnorte{\displaystyle n}. Esto está relacionado con el problema de la tabla de multiplicar de Erdős . [ 5 ] La mejor cota inferior en|A⋅A|{\displaystyle |A\cdot A|}Este conjunto se debe a Kevin Ford . [ 6 ]

Este ejemplo es una instancia de la versión de pocas sumas, muchos productos [ 7 ] del problema suma-producto de György Elekes e Imre Z. Ruzsa . Una consecuencia de su resultado es que cualquier conjunto con un conjunto suma pequeño (como una progresión aritmética ) tiene la cota inferior en el conjunto producto.

|A⋅A|=Ω(|A|2registro−1⁡|A|).{\displaystyle |A\cdot A|=\Omega \left(|A|^{2}\log ^{-1}|A|\right).}

Xu y Zhou demostraron [ 8 ] con mayor contundencia que

|A⋅A|=Ω(|A|2registro1−2registro⁡2−o(1)⁡|A|){\displaystyle |A\cdot A|=\Omega \left(|A|^{2}\log ^{1-2\log 2-o(1)}|A|\right)}

para cualquier subconjunto densoA{\displaystyle A}de una progresión aritmética en enteros, que es precisa hasta elo(1){\displaystyle o(1)}en el exponente.

Como ejemplo para la versión correspondiente de pocos productos y muchas sumas del problema, el conjuntoB={2,4,8,…,2norte}{\displaystyle B=\{2,4,8,\dots ,2^{n}\}}Satisface|B⋅B=2|B|−1{\displaystyle |B\cdot B=2|B|-1}pero tiene muchas sumas:|B+B|=(|B|+12){\displaystyle |B+B|={\tbinom {|B|+1}{2}}}Este límite proviene de considerar la representación binaria de un número. El conjuntoB{\displaystyle B}es un ejemplo de progresión geométrica .

Para un conjunto aleatorio denorte{\displaystyle n}números, tanto el conjunto producto como el conjunto suma tienen cardinalidad(norte+12){\displaystyle {\tbinom {n+1}{2}}}; es decir, con alta probabilidad , ni el conjunto suma ni el conjunto producto generan elementos repetidos.

Precisión de la conjetura

Erdős y Szemerédi dan un ejemplo de un conjunto de números enteros suficientemente fluidoA{\displaystyle A}con el límite [ 1 ]

máximo{|A+A|,|A⋅A|}≤|A|2mi−doregistro⁡|A|registro⁡registro⁡|A|.{\displaystyle \max\{|A+A|,|A\cdot A|\}\leq |A|^{2}e^{-{\frac {c\log |A|}{\log \log |A|}}}.}

Esto demuestra que elo(1){\displaystyle o(1)}El término en la conjetura es necesario.

Casos extremos

Con frecuencia se estudian los casos extremos de la hipótesis:

  • pocas sumas, muchos productos ( FSMP ): si |A+A≪|A|{\displaystyle |A+A\ll |A|}, entonces|A⋅A|≥|A|2−o(1){\displaystyle |A\cdot A|\geq |A|^{2-o(1)}}, [ 7 ] y
  • pocos productos, muchas sumas ( FPMS ): si|A⋅A|≪|A|{\displaystyle |A\cdot A|\ll |A|}, entonces|A+A|≥|A|2−o(1){\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)}}. [ 9 ]

Historia y resultados actuales

La siguiente tabla resume el progreso en el problema suma-producto sobre los números reales. Los exponentes 1/4 de György Elekes y 1/3 de József Solymosi se consideran resultados clave dentro de la literatura citada. Todas las mejoras posteriores a 2009 son de la forma13+do{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+c}y representan refinamientos de los argumentos de Konyagin y Shkredov. [ 10 ]

Números complejos

Las técnicas de demostración que involucran solo el teorema de Szemerédi-Trotter se extienden automáticamente a los números complejos, ya que el teorema de Szemerédi-Trotter se cumple sobredo2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}por un teorema de Tóth. [ 21 ] Konyagin y Rudnev [ 22 ] igualaron el exponente de43{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}sobre los números complejos. Los resultados con exponentes de la forma43+do{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}+c}no se han podido realizar coincidencias en los números complejos.

Sobre campos finitos

El problema suma-producto está particularmente bien estudiado sobre cuerpos finitos . Motivado por la conjetura de Kakeya sobre cuerpos finitos , Wolff conjeturó que cuandopag{\displaystyle p}es un primo (grande), para cada subconjuntoA⊆Fpag{\displaystyle A\subseteq \mathbb {F} _{p}}la desigualdadmáximo(|A+A|,|A⋅A|)≥min(pag,|A|1+ε){\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq \min(p,|A|^{1+\varepsilon })}se cumple para una constante absolutaε>0{\displaystyle \varepsilon >0}. Esta conjetura también había sido formulada en la década de 1990 por Wigderson , [ 23 ] motivado por los extractores de aleatoriedad .

Tenga en cuenta que el problema suma-producto no puede cumplirse incondicionalmente en cuerpos finitos debido al siguiente ejemplo:

Ejemplo: DejeF{\displaystyle \mathbb {F} }ser un campo finito y tomarA=F{\displaystyle A=\mathbb {F} }. Entonces, desde entoncesF{\displaystyle \mathbb {F} }es cerrado bajo la suma y la multiplicación,A+A=A⋅A=F{\displaystyle A+A=A\cdot A=\mathbb {F} }, y entonces|A+A|=|A⋅A|=|A|{\displaystyle |A+A|=|A\cdot A|=|A|}Este ejemplo patológico se extiende a tomarA{\displaystyle A}ser cualquier subcampo del campo en cuestión.

Cualitativamente, el problema de suma-producto se ha resuelto sobre cuerpos finitos:

Teorema (Bourgain, Katz, Tao (2004)): [ 24 ] Seapag{\displaystyle p}ser primordial y dejarA⊂Fpag{\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{p}}conpagδ<|A|<pag1−δ{\displaystyle p^{\delta }<|A|<p^{1-\delta }}para algunos0<δ<1{\displaystyle 0<\delta <1}. Entoncesmáximo(|A+A|,|A⋅A|)≥doδ|A|1+ε{\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|)\geq c_{\delta }|A|^{1+\varepsilon }}para algunosε=ε(δ)>0{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\delta )>0}.

Bourgain , Katz y Tao extendieron este teorema a cuerpos arbitrarios. De manera informal, el siguiente teorema establece que si un conjunto suficientemente grande no crece ni con la suma ni con la multiplicación, entonces está contenido mayoritariamente en una dilatación de un subcuerpo.

Teorema (Bourgain, Katz, Tao (2004)): [ 24 ] SeaA{\displaystyle A}ser un subconjunto de un campo finitoF{\displaystyle \mathbb {F} }de modo que|A|>|F|δ{\displaystyle |A|>|\mathbb {F} |^{\delta }}para algunos0<δ<1{\displaystyle 0<\delta <1}y supongamos que|A+A|,|A⋅A|≤K|A|{\displaystyle |A+A|,|A\cdot A|\leq K|A|}. Entonces existe un subcampoGRAMO⊂F{\displaystyle G\subset \mathbb {F} }con|GRAMO|≤Kdoδ|A|{\displaystyle |G|\leq K^{C_{\delta }}|A|}, un elementoincógnita∈F∖{0}{\displaystyle x\in \mathbb {F} \setminus \{0\}}y un conjuntoincógnita⊂F{\displaystyle X\subset \mathbb {F} }con|incógnita|≤Kdoδ{\displaystyle |X|\leq K^{C_{\delta }}}de modo queA⊆incógnitaGRAMO∪incógnita{\displaystyle A\subseteq xG\cup X}.

Sugieren que la constantedoδ{\displaystyle C_{\delta }}puede ser independiente deδ{\displaystyle \delta }.

Resultados cuantitativos para el problema suma-producto de campo finito enF{\displaystyle \mathbb {F} }Por lo general, se dividen en dos categorías: cuandoA⊂F{\displaystyle A\subset \mathbb {F} }es pequeño o grande con respecto a la característica deF{\displaystyle \mathbb {F} }Esto se debe a que en cada contexto se utilizan diferentes tipos de técnicas.

Conjuntos pequeños

En este régimen, dejemosF{\displaystyle \mathbb {F} }ser un campo de característicaspag{\displaystyle p}. Nótese que el campo no siempre es finito. Cuando esto ocurre, y la característica deF{\displaystyle \mathbb {F} }es cero, entonces elpag{\displaystyle p}-la restricción se omite.

En campos con orden no primo, elpag{\displaystyle p}-restricción enA⊂F{\displaystyle A\subset \mathbb {F} }puede ser reemplazado por la suposición de queA{\displaystyle A}no tiene una intersección demasiado grande con ningún subcampo. El mejor trabajo en esta dirección se debe a Li y Roche-Newton [ 31 ] que obtienen un exponente deδ=119{\displaystyle \delta ={\tfrac {1}{19}}}en la notación de la tabla anterior.

Conjuntos grandes

CuandoF⊂Fpag{\displaystyle \mathbb {F} \subset \mathbb {F} _{p}}parapag{\displaystyle p}primo, el problema suma-producto se considera resuelto debido al siguiente resultado de Garaev: [ 32 ]

Teorema (Garaev (2007)): ​​SeaA⊂Fpag{\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{p}}. Entonces máximo(|A+A|,|A⋅A|≫min(pag1/2|A|1/2,|A|2pag−1/2).{\displaystyle \max(|A+A|,|A\cdot A|\gg \min(p^{1/2}|A|^{1/2},|A|^{2}p^{-1/2}).}

Esto es óptimo en el rango|A|≥pag2/3{\displaystyle |A|\geq p^{2/3}}.

Este resultado fue extendido a campos finitos de orden no primo por Vinh [ 33 ] en 2011.

Variantes y generalizaciones

Otras combinaciones de operadores

Bourgain y Chang demostraron un crecimiento incondicional para los conjuntos.A⊂Z{\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }, siempre que se consideren suficientes sumas o productos:

Teorema (Bourgain, Chang (2003)): [ 34 ] Seab∈norte{\displaystyle b\in \mathbb {N} }Entonces existek∈norte{\displaystyle k\in \mathbb {N} }para que para todosA⊂Z{\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }, uno tiene máximo(|kA|,|A(k)|)=máximo(|A+A+⋯+A|,|A⋅A⋅⋯⋅A|)≥|A|b.{\displaystyle {\begin{aligned}\max \left(|kA|,|A^{(k)}|\right)&=\max \left(|A+A+\cdots +A|,|A\cdot A\cdot \cdots \cdot A|\right)\\&\geq |A|^{b}.\end{aligned}}}

En muchos trabajos, la suma y la multiplicación se combinan en una misma expresión. Partiendo del principio de que la suma y la multiplicación no pueden coexistir, se espera que cualquier combinación no trivial de suma y multiplicación de un conjunto garantice el crecimiento. Cabe señalar que, en entornos finitos o en campos con subcampos no triviales, esta afirmación requiere restricciones adicionales.

Los conjuntos de interés incluyen (resultados paraA⊂R{\displaystyle A\subset \mathbb {R} }):

  • A⋅A+A{\displaystyle A\cdot A+A}: Stevens y Warren [ 35 ] muestran que

|A⋅A+A|≫|A|32+3170−o(1).{\displaystyle |A\cdot A+A|\gg |A|^{{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {3}{170}}-o(1)}.}

  • A⋅(A+A){\displaystyle A\cdot (A+A)}: Murphy, Roche-Newton y Shkredov [ 36 ] muestran que

|A⋅(A+A)|≫|A|32+5242−o(1).{\displaystyle \left|A\cdot (A+A)\right|\gg |A|^{{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {5}{242}}-o(1)}.}

  • A⋅(A+1){\displaystyle A\cdot (A+1)}: Stevens y Warren [ 35 ] muestran que

|A⋅(A+1)|≫|A|4938−o(1).{\displaystyle \left|A\cdot (A+1)\right|\gg |A|^{{\tfrac {49}{38}}-o(1)}.}

  • (A⋅A)+(A⋅A){\displaystyle (A\cdot A)+(A\cdot A)}: Stevens y Rudnev [ 19 ] muestran que

|(A⋅A)+(A⋅A)|≫|A|12780−o(1).{\displaystyle \left|(A\cdot A)+(A\cdot A)\right|\gg |A|^{{\tfrac {127}{80}}-o(1)}.}

Véase también

Referencias

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