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Hipercomputación

La hipercomputación o computación super-Turing es un conjunto de modelos hipotéticos de computación que pueden proporcionar resultados que no son computables por una máquina de ...

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La hipercomputación o computación super-Turing es un conjunto de modelos hipotéticos de computación que pueden proporcionar resultados que no son computables por una máquina de Turing . Por ejemplo, una máquina que pudiera resolver el problema de la parada sería una hipercomputadora; lo mismo ocurriría con una que pudiera evaluar correctamente cada enunciado en la aritmética de Peano .

La tesis de Church-Turing afirma que cualquier función "computable" que un matemático pueda calcular con lápiz y papel utilizando un conjunto finito de algoritmos sencillos, puede ser calculada por una máquina de Turing. Las hipercomputadoras calculan funciones que una máquina de Turing no puede y que, por lo tanto, no son computables en el sentido de Church-Turing.

Técnicamente, la salida de una máquina de Turing aleatoria es incomputable; sin embargo, la mayor parte de la literatura sobre hipercomputación se centra en el cálculo de funciones incomputables deterministas, en lugar de aleatorias.

Historia

Alan Turing introdujo un modelo computacional que iba más allá de las máquinas de Turing en su tesis doctoral de 1938, « Sistemas de lógica basados ​​en ordinales» . [ 1 ] En este trabajo investigó sistemas matemáticos en los que se disponía de un oráculo capaz de calcular una única función arbitraria (no recursiva) de números naturales a números naturales. Utilizó este dispositivo para demostrar que, incluso en esos sistemas más potentes, la indecidibilidad persiste. Las máquinas oráculo de Turing son abstracciones matemáticas y no son físicamente realizables . [ 2 ]

Espacio de estado

En cierto sentido, la mayoría de las funciones son incomputables: hayℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}funciones computables, pero hay un número incontable (2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}) de posibles funciones super-Turing. [ 3 ]

Modelos

Los modelos de hipercomputadoras van desde útiles pero probablemente irrealizables (como las máquinas oráculo originales de Turing) hasta generadores de funciones aleatorias menos útiles que son más plausiblemente "realizables" (como una máquina de Turing aleatoria ).

Entradas no computables o componentes de caja negra

Un sistema al que se le proporciona como entrada el conocimiento de la constante oracular e incomputable de Chaitin (un número con una secuencia infinita de dígitos que codifica la solución al problema de la parada) puede resolver una gran cantidad de problemas indecidibles útiles; un sistema al que se le proporciona como entrada un generador de números aleatorios incomputable puede crear funciones aleatorias incomputables, pero generalmente no se cree que pueda resolver de manera significativa funciones incomputables "útiles" como el problema de la parada. Existe un número ilimitado de diferentes tipos de hipercomputadoras concebibles, entre las que se incluyen:

  • Las máquinas oráculo originales de Turing, definidas por Turing en 1939.
  • Una computadora real (una especie de computadora analógica idealizada ) puede realizar hipercomputación [ 4 ] si la física admite variables reales generales (no solo reales computables ), y estas son de alguna manera "aprovechables" para una computación útil (en lugar de aleatoria). Esto podría requerir leyes físicas bastante extrañas (por ejemplo, una constante física medible con un valor oracular, como la constante de Chaitin ), y requeriría la capacidad de medir el valor físico real con precisión arbitraria, aunque la física estándar hace que tales mediciones de precisión arbitraria sean teóricamente inviables. [ 5 ]
    • De manera similar, una red neuronal que de alguna forma tuviera la constante de Chaitin exactamente incorporada en su función de peso podría resolver el problema de la parada, [ 6 ] pero está sujeta a las mismas dificultades físicas que otros modelos de hipercomputación basados ​​en computación real.
  • Ciertas "máquinas de Turing difusas" basadas en lógica difusa pueden, por definición, resolver accidentalmente el problema de la parada, pero solo porque su capacidad para resolverlo se asume indirectamente en la especificación de la máquina; esto tiende a considerarse un "error" en la especificación original de las máquinas. [ 7 ] [ 8 ]
    • De manera similar, un modelo propuesto conocido como no determinismo justo puede permitir accidentalmente el cálculo oracular de funciones no computables, porque algunos de estos sistemas, por definición, tienen la capacidad oracular de identificar y rechazar entradas que harían que un subsistema se ejecutara indefinidamente de forma "injusta". [ 9 ] [ 10 ]
  • Dmytro Taranovsky propuso un modelo finitista de ramas del análisis tradicionalmente no finitistas, construido en torno a una máquina de Turing equipada con una función de rápido crecimiento como oráculo. Mediante este y otros modelos más complejos, logró interpretar la aritmética de segundo orden. Estos modelos requieren una entrada incomputable, como un proceso físico generador de eventos donde el intervalo entre eventos crece a una tasa incomputablemente grande. [ 11 ]
    • De manera similar, una interpretación poco ortodoxa de un modelo de no determinismo ilimitado postula, por definición, que el tiempo necesario para que un "Actor" se estabilice es fundamentalmente incognoscible y, por lo tanto, no se puede demostrar, dentro del modelo, que no requiera un período de tiempo incalculablemente largo. [ 12 ]

Modelos de "pasos computacionales infinitos"

Para funcionar correctamente, ciertos cálculos realizados por las máquinas que se describen a continuación requieren, literalmente, un espacio físico y recursos infinitos, en lugar de simplemente ilimitados pero finitos; en cambio, con una máquina de Turing, cualquier cálculo que se detenga requerirá únicamente un espacio físico y recursos finitos.

Una máquina de Turing que puede completar infinitos pasos en un tiempo finito, una hazaña conocida como supertarea . Simplemente poder ejecutar un número ilimitado de pasos no es suficiente. Un modelo matemático es la máquina de Zenón (inspirada en la paradoja de Zenón ). La máquina de Zenón realiza su primer paso de cálculo en (digamos) 1 minuto, el segundo paso en ½ minuto, el tercer paso en ¼ de minuto, etc. Sumando 1  +  ½  +  ¼  +  ... (una serie geométrica ) vemos que la máquina realiza infinitos pasos en un total de 2 minutos. Según Oron Shagrir , las máquinas de Zenón introducen paradojas físicas y su estado es lógicamente indefinido fuera del período abierto unilateral de [0, 2), por lo que es indefinido exactamente a los 2 minutos después del inicio del cálculo. [ 13 ]

Parece natural que la posibilidad de viajar en el tiempo (existencia de curvas temporales cerradas (CTC)) haga posible la hipercomputación por sí misma. Sin embargo, esto no es así, ya que una CTC no proporciona (por sí misma) la cantidad ilimitada de almacenamiento que requeriría una computación infinita. No obstante, existen espaciotiempos en los que la región CTC puede utilizarse para la hipercomputación relativista. [ 14 ] Según un artículo de 1992, [ 15 ] una computadora que opere en un espaciotiempo de Malament-Hogarth o en órbita alrededor de un agujero negro en rotación [ 16 ] podría teóricamente realizar cálculos no Turing para un observador dentro del agujero negro. [ 17 ] [ 18 ] El acceso a una CTC puede permitir la solución rápida de problemas PSPACE-completos , una clase de complejidad que, si bien es decidible por Turing, generalmente se considera computacionalmente intratable. [ 19 ] [ 20 ]

Modelos cuánticos

Algunos investigadores conjeturan que un sistema mecánico cuántico que de alguna manera utiliza una superposición infinita de estados podría calcular una función no computable . [ 21 ] Esto no es posible utilizando la computadora cuántica estándar basada en el modelo de cúbits , porque está demostrado que una computadora cuántica regular es reducible a PSPACE (una computadora cuántica que se ejecuta en tiempo polinomial puede ser simulada por una computadora clásica que se ejecuta en espacio polinomial ). [ 22 ]

Sistemas "finalmente correctos"

Algunos sistemas físicamente realizables siempre convergerán finalmente a la respuesta correcta, pero tienen el defecto de que a menudo arrojarán una respuesta incorrecta y se mantendrán en ella durante un período de tiempo incalculablemente grande antes de finalmente volver atrás y corregir el error.

A mediados de la década de 1960, E. Mark Gold y Hilary Putnam propusieron independientemente modelos de inferencia inductiva (los "funcionales recursivos límite" [ 23 ] y los "predicados de ensayo y error" [ 24 ] , respectivamente). Estos modelos permiten "aprender en el límite" conjuntos no recursivos de números o lenguajes (incluidos todos los conjuntos de lenguajes recursivamente enumerables ); mientras que, por definición, solo los conjuntos recursivos de números o lenguajes podrían ser identificados por una máquina de Turing. Si bien la máquina se estabilizará en la respuesta correcta para cualquier conjunto aprendible en un tiempo finito, solo puede identificarla como correcta si es recursiva; de lo contrario, la corrección se establece únicamente haciendo funcionar la máquina indefinidamente y observando que nunca revisa su respuesta. Putnam identificó esta nueva interpretación como la clase de predicados "empíricos", afirmando: "si siempre 'postulamos' que la respuesta generada más recientemente es correcta, cometeremos un número finito de errores, pero eventualmente obtendremos la respuesta correcta. (Nótese, sin embargo, que incluso si hemos llegado a la respuesta correcta (el final de la secuencia finita), nunca estamos seguros de tener la respuesta correcta)". [ 24 ] El artículo de LK Schubert de 1974, "Recursión límite iterada y el problema de minimización de programas" [ 25 ] , estudió los efectos de iterar el procedimiento límite; esto permite calcular cualquier predicado aritmético . Schubert escribió: "Intuitivamente, la identificación límite iterada podría considerarse como una inferencia inductiva de orden superior realizada colectivamente por una comunidad cada vez mayor de máquinas de inferencia inductiva de orden inferior".

Una secuencia de símbolos es computable en el límite si existe un programa finito, posiblemente no detenible, en una máquina de Turing universal que genera incrementalmente cada símbolo de la secuencia. Esto incluye la expansión diádica de π y de cualquier otro número real computable , pero aún excluye todos los números reales no computables. Las "máquinas de Turing monótonas" utilizadas tradicionalmente en la teoría del tamaño de descripción no pueden editar sus salidas anteriores; las máquinas de Turing generalizadas, tal como las define Jürgen Schmidhuber , sí pueden. Él define las secuencias de símbolos descriptibles constructivamente como aquellas que tienen un programa finito no detenible ejecutándose en una máquina de Turing generalizada, de tal manera que cualquier símbolo de salida converge eventualmente; es decir, no cambia más después de un intervalo de tiempo inicial finito. Debido a las limitaciones exhibidas por primera vez por Kurt Gödel (1931), puede ser imposible predecir el tiempo de convergencia en sí mismo por un programa detenible, de lo contrario el problema de la parada podría resolverse. Schmidhuber ( [ 26 ] [ 27 ] ) utiliza este enfoque para definir el conjunto de universos formalmente descriptibles o constructivamente computables o teorías constructivas de todo . Las máquinas de Turing generalizadas pueden eventualmente converger a una solución correcta del problema de la parada evaluando una secuencia de Specker .

Análisis de capacidades

Muchas propuestas de hipercomputación equivalen a formas alternativas de leer un oráculo o una función de consejo integrada en una máquina clásica. Otras permiten el acceso a algún nivel superior de la jerarquía aritmética . Por ejemplo, las máquinas de Turing supertareas, bajo los supuestos habituales, podrían calcular cualquier predicado en el grado de la tabla de verdad que contieneΣ10{\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}oΠ10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}. La recursión límite, por el contrario, puede calcular cualquier predicado o función en el grado de Turing correspondiente , que se sabe que esΔ20{\displaystyle \Delta _{2}^{0}}. Gold demostró además que limitar la recursión parcial permitiría el cálculo de precisamente elΣ20{\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}predicados.

Crítica

Martin Davis , en sus escritos sobre hipercomputación, [ 35 ] [ 36 ] se refiere a este tema como "un mito" y ofrece contraargumentos a la realizabilidad física de la hipercomputación. En cuanto a su teoría, argumenta en contra de las afirmaciones de que se trata de un campo nuevo fundado en la década de 1990. Este punto de vista se basa en la historia de la teoría de la computabilidad (grados de insolubilidad, computabilidad sobre funciones, números reales y ordinales), como también se mencionó anteriormente. En su argumento, señala que toda la hipercomputación se reduce a poco más que: " si se permiten entradas no computables, entonces se pueden obtener salidas no computables " . [ 37 ]

Aran Nayebi [ 38 ] ha proporcionado una respuesta negativa general a la hipercomputación, dadas las leyes de la física actualmente bien aceptadas.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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