Radiofrecuencia superconductora

La ciencia y la tecnología de radiofrecuencia superconductora (SRF) implican la aplicación de superconductores eléctricos a dispositivos de radiofrecuencia . La ausencia de resistividad eléctrica en un material superconductor permite que un resonador de RF obtenga un factor de calidad ( Q ) extremadamente alto . Por ejemplo, es común que una cavidad resonante de SRF de niobio  de 1,3 GHz a 1,8 kelvin obtenga un factor de calidad de Q = 5 × ^{10¹⁰ . Un resonador con un} Q tan alto almacena energía con pérdidas muy bajas y un ancho de banda estrecho . Estas propiedades pueden aprovecharse para diversas aplicaciones, incluida la construcción de estructuras de aceleradores de partículas de alto rendimiento . 

La cantidad de pérdida en una cavidad resonante SRF es tan mínima que a menudo se explica con la siguiente comparación: Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros investigadores del movimiento pendular, una forma simple de resonancia mecánica . Si Galileo hubiera experimentado con un  resonador de 1 Hz con un factor de calidad Q típico de las cavidades SRF actuales y lo hubiera dejado oscilando en un laboratorio aislado desde principios del siglo XVII, ese péndulo seguiría oscilando hoy con aproximadamente la mitad de su amplitud original.

La aplicación más común de la radiofrecuencia superconductora (RF) se encuentra en los aceleradores de partículas . Estos aceleradores suelen utilizar cavidades de RF resonantes formadas o recubiertas con materiales superconductores. Los campos electromagnéticos se excitan en la cavidad mediante el acoplamiento de una fuente de RF con una antena. Cuando la RF suministrada por la antena coincide con la de un modo de la cavidad, los campos resonantes alcanzan amplitudes elevadas. Las partículas cargadas que atraviesan las aberturas de la cavidad son aceleradas por los campos eléctricos y desviadas por los campos magnéticos. La frecuencia de resonancia en las cavidades de RF superconductoras suele oscilar entre 200 MHz y 3 GHz, dependiendo del tipo de partícula que se vaya a acelerar.  

La tecnología de fabricación más común para este tipo de cavidades SRF consiste en formar  componentes de carcasa de paredes delgadas (1–3 mm) a partir de láminas de niobio de alta pureza mediante estampado . Estos componentes de carcasa se sueldan entre sí para formar las cavidades.

A continuación se muestra un diagrama simplificado de los elementos clave de una configuración de cavidad SRF. La cavidad está sumergida en un baño de helio líquido saturado . El bombeo elimina el vapor de helio evaporado y controla la temperatura del baño. El recipiente de helio se suele bombear a una presión inferior al punto lambda superfluido del helio para aprovechar sus propiedades térmicas. Debido a su alta conductividad térmica, los superfluidos son excelentes refrigerantes. Además, los superfluidos hierven solo en superficies libres, lo que evita la formación de burbujas en la superficie de la cavidad, que causarían perturbaciones mecánicas. Se necesita una antena en la configuración para acoplar la potencia de RF a los campos de la cavidad y, a su vez, a cualquier haz de partículas que pase . Las partes frías de la configuración deben estar extremadamente bien aisladas, lo que se logra mejor mediante una cámara de vacío que rodea el recipiente de helio y todos los componentes fríos auxiliares. El sistema completo de contención de la cavidad SRF, incluyendo la cámara de vacío y muchos detalles no tratados aquí, es un criomódulo .

La incursión en la tecnología de radiofrecuencia superconductora (RF superconductora) puede implicar mayor complejidad, coste y tiempo que las estrategias de cavidades de RF de conducción normal. La RF superconductora requiere instalaciones químicas para tratamientos rigurosos de la cavidad, una sala limpia de baja emisión de partículas para el enjuague con agua a alta presión y el ensamblaje de componentes, y una ingeniería compleja para el recipiente del criomódulo y la criogenia. Un aspecto problemático de la RF superconductora es la capacidad, aún difícil de alcanzar, de producir consistentemente cavidades de alto factor Q en producción a gran escala, lo cual sería necesario para un gran colisionador lineal . Sin embargo, para muchas aplicaciones, las capacidades de las cavidades de RF superconductoras ofrecen la única solución para una serie de exigentes requisitos de rendimiento.

Existen varios tratamientos exhaustivos de la física y la tecnología de SRF, muchos de ellos gratuitos y disponibles en línea. Entre ellos se encuentran las actas de las escuelas de aceleradores del CERN , ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} un artículo científico que presenta en detalle los diversos aspectos de una cavidad SRF que se utilizará en el Colisionador Lineal Internacional , ^{[ 5 ]} las Conferencias Internacionales bienales sobre Superconductividad de RF que se celebran en diferentes lugares del mundo en años impares, ^{[ 6 ]} y los tutoriales presentados en dichas conferencias. ^{[ 7 ]}

En los aceleradores de partículas se utiliza una gran variedad de cavidades de radiofrecuencia (RF). Históricamente, la mayoría se han fabricado de cobre —un buen conductor eléctrico— y se han operado a temperatura ambiente con refrigeración externa por agua para eliminar el calor generado por las pérdidas eléctricas en la cavidad. Sin embargo, en las últimas dos décadas, las instalaciones de aceleradores han encontrado cada vez más que las cavidades superconductoras son más adecuadas (o necesarias) para sus aceleradores que las versiones de cobre de conductividad normal. La motivación para utilizar superconductores en las cavidades de RF no es lograr un ahorro neto de energía, sino aumentar la calidad del haz de partículas acelerado. Aunque los superconductores tienen poca resistencia eléctrica de CA, la poca potencia que disipan se irradia a temperaturas muy bajas, típicamente en un baño de helio líquido a 1,6  K a 4,5  K, y mantener temperaturas tan bajas requiere mucha energía. La potencia de refrigeración necesaria para mantener el baño criogénico a baja temperatura en presencia de calor proveniente de una pequeña disipación de potencia de RF viene determinada por la eficiencia de Carnot y puede compararse fácilmente con la disipación de potencia de un conductor normal en una cavidad de cobre a temperatura ambiente. Las principales razones para utilizar cavidades de RF superconductoras son:

• Funcionamiento continuo o de alto ciclo de trabajo . Las cavidades SRF permiten la excitación de campos electromagnéticos intensos con un alto ciclo de trabajo , o incluso en régimen continuo, en situaciones en las que la pérdida eléctrica de una cavidad de cobre podría fundirlo , incluso con una refrigeración por agua robusta.
• Baja impedancia del haz . La baja pérdida eléctrica en una cavidad SRF permite que su geometría tenga grandes aperturas de tubo de haz, manteniendo al mismo tiempo un campo acelerador elevado a lo largo del eje del haz. Las cavidades de conducción normal requieren pequeñas aperturas de haz para concentrar el campo eléctrico como compensación de las pérdidas de potencia en las corrientes de pared. Sin embargo, las pequeñas aperturas pueden ser perjudiciales para un haz de partículas debido a la generación de campos de estela más grandes, que se cuantifican mediante los parámetros del acelerador denominados "impedancia del haz" y "parámetro de pérdida".
• Casi toda la potencia de RF se dirige al haz . La fuente de RF que alimenta la cavidad solo necesita proporcionar la potencia de RF absorbida por el haz de partículas acelerado, ya que la potencia de RF disipada en las paredes de la cavidad SRF es insignificante. Esto contrasta con las cavidades de conducción normal, donde la pérdida de potencia en las paredes puede igualar o superar fácilmente el consumo de potencia del haz. El presupuesto de potencia de RF es importante, ya que las tecnologías de fuentes de RF, como el klistrón , el tubo de salida inductivo (IOT) o el amplificador de estado sólido , tienen costos que aumentan drásticamente con el incremento de la potencia.

Cuando los avances futuros en la ciencia de los materiales superconductores permitan temperaturas críticas superconductoras (Tc ₎ más altas y, por consiguiente, temperaturas de baño de SRF más elevadas, la termoclina reducida entre la cavidad y el entorno circundante podría generar un ahorro de energía neto significativo en SRF en comparación con el enfoque de conducción normal para cavidades de RF. Sin embargo, con una temperatura de baño más alta, será necesario considerar otros aspectos, como el hecho de que la superfluidez (que actualmente se aprovecha con helio líquido) no estaría presente con (por ejemplo) nitrógeno líquido . En la actualidad, ninguno de los materiales superconductores de "alta Tc _" es adecuado para aplicaciones de RF. Las limitaciones de estos materiales se deben a su física subyacente, así como a que sus propiedades mecánicas macroscópicas no son compatibles con la fabricación de cavidades de aceleradores. No obstante, depositar películas de materiales prometedores sobre otros materiales de cavidad mecánicamente compatibles podría ser una opción viable para materiales exóticos en aplicaciones de SRF. En la actualidad, la opción de facto para el material SRF sigue siendo el niobio puro, que tiene una temperatura crítica de 9,3  K y funciona bien como superconductor en un baño de helio líquido a 4,2  K o menos, además de tener excelentes propiedades mecánicas.

La física de la radiofrecuencia superconductora puede ser compleja y extensa. Sin embargo, algunas aproximaciones sencillas derivadas de teorías complejas pueden servir para proporcionar algunos de los parámetros importantes de las cavidades de radiofrecuencia superconductora.

A modo de información general, algunos de los parámetros pertinentes de las cavidades de RF se detallan a continuación. El factor de calidad de un resonador se define por

${\displaystyle Q_{o}={\frac {\omega U}{P_{d}}}}$,

dónde:

ω es la frecuencia de resonancia en [rad/s],

U es la energía almacenada en [J], y

P _d es la potencia disipada en [W] en la cavidad para mantener la energía U .

La energía almacenada en la cavidad viene dada por la integral de la densidad de energía del campo sobre su volumen,

${\displaystyle U={\frac {\mu _{0}}{2}}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dV}}$,

dónde:

H es el campo magnético en la cavidad y

μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre.

La potencia disipada viene dada por la integral de las pérdidas resistivas de la pared sobre su superficie,

${\displaystyle P_{d}={\frac {R_{s}}{2}}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dS}}$,

dónde:

R _s es la resistencia superficial, que se analizará más adelante.

Las integrales del campo electromagnético en las expresiones anteriores generalmente no se resuelven analíticamente, ya que los límites de la cavidad rara vez coinciden con los ejes de los sistemas de coordenadas comunes. En cambio, los cálculos se realizan mediante diversos programas informáticos que resuelven los campos para cavidades con geometrías complejas y, posteriormente, integran numéricamente las expresiones anteriores.

Un parámetro de cavidad de RF conocido como Factor Geométrico clasifica la efectividad de la cavidad para proporcionar un campo eléctrico acelerador debido a la influencia de su forma únicamente, lo que excluye las pérdidas específicas de la pared del material. El Factor Geométrico viene dado por

${\displaystyle G={\frac {\omega \mu _{0}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dV}}{\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dS}}}}$,

y luego

${\displaystyle Q_{o}={\frac {G}{R_{s}}}\cdot }$

El factor geométrico se indica para los diseños de cavidades con el fin de permitir la comparación con otros diseños, independientemente de las pérdidas en las paredes, ya que estas pueden variar considerablemente según la preparación del material, la temperatura del baño criogénico, el nivel del campo electromagnético y otros parámetros altamente variables. El factor geométrico también es independiente del tamaño de la cavidad; permanece constante al escalar la forma de la cavidad para modificar su frecuencia.

Como ejemplo de los parámetros anteriores, una cavidad SRF típica de 9 celdas para el Colisionador Lineal Internacional ^{[ 5 ]} (también conocida como cavidad TESLA) tendría G =270 Ω y R _s = 10 nΩ, lo que da Q _o =2,7×10 ¹⁰ .

El parámetro crítico para las cavidades SRF en las ecuaciones anteriores es la resistencia superficial R _s , y es donde entra en juego la física compleja. Para cavidades de cobre de conducción normal que operan cerca de la temperatura ambiente, R _s se determina simplemente por la conductividad eléctrica volumétrica medida empíricamente σ mediante

${\displaystyle R_{s\ normal}={\sqrt {\frac {\omega \mu _{0}}{2\sigma }}}}$ .

Para el cobre a 300  K, σ = 5,8 × 10⁷ ⁽  Ω·m) ^⁻¹ y a 1,3  GHz, R _{s  cobre} = 9,4  mΩ.

Para los superconductores de tipo II en campos de RF, R _s puede verse como la suma de la resistencia BCS superconductora y las "resistencias residuales" independientes de la temperatura,

${\displaystyle R_{s}=R_{BCS}+R_{res}}$ .

La resistencia BCS se deriva de la teoría BCS . Una forma de ver la naturaleza de la resistencia de RF BCS es que los pares de Cooper superconductores , que tienen resistencia cero para la corriente continua, tienen masa y momento finitos que deben alternar sinusoidalmente para las corrientes alternas de los campos de RF, dando lugar así a una pequeña pérdida de energía. La resistencia BCS para el niobio se puede aproximar cuando la temperatura es menor que la mitad de la temperatura crítica superconductora del niobio , T < T _c /2, mediante

${\displaystyle R_{BCS}\simeq 2\times 10^{-4}\left({\frac {f}{1.5\times 10^{9}}}\right)^{2}{\frac {e^{-17.67/T}}{T}}}$ [Ω],

dónde:

f es la frecuencia en [Hz],

T es la temperatura en [K], y

T _c =9,3  K para el niobio, por lo que esta aproximación es válida para T <4,65  K.

^{Cabe destacar que ,} en el caso de los superconductores, la resistencia BCS aumenta cuadráticamente con la frecuencia, ~ f² , mientras que en los conductores normales la resistencia superficial aumenta con la raíz cuadrada de la frecuencia, ~√ f . Por este motivo, la mayoría de las aplicaciones de cavidades superconductoras favorecen las frecuencias bajas, <3 GHz, y las aplicaciones de cavidades de conducción normal favorecen las frecuencias altas, >0,5 GHz, existiendo cierta superposición según la aplicación.   

La resistencia residual del superconductor surge de varias fuentes, como defectos aleatorios del material, hidruros que pueden formarse en la superficie debido a la química a alta temperatura y el enfriamiento lento, y otras que aún no se han identificado. Una de las contribuciones cuantificables a la resistencia residual se debe a un campo magnético externo que fija los fluxones magnéticos en un superconductor de tipo II. Los núcleos de fluxones fijados crean pequeñas regiones de conducción normal en el niobio que se pueden sumar para estimar su resistencia neta. Para el niobio, la contribución del campo magnético a R _s se puede aproximar mediante

${\displaystyle R_{H}={\frac {H_{ext}}{2H_{c2}}}R_{n}\approx 9.49\times 10^{-12}H_{ext}{\sqrt {f}}}$ [Ω],

dónde:

H _ext es cualquier campo magnético externo en [ Oe ] ,

H _c2 es el campo magnético de extinción del superconductor de tipo II, que es de 2400  Oe (190 kA/m) para el niobio, y

R _n es la resistencia de conducción normal del niobio en ohmios .

El flujo magnético nominal de la Tierra de 0,5 gauss (50 μT ) se traduce en un campo magnético de 0,5 Oe (40 A/m) y produciría una resistencia superficial residual en un superconductor que es varios órdenes de magnitud mayor que la resistencia BCS, lo que hace que el superconductor tenga demasiadas pérdidas para su uso práctico. Por esta razón, las cavidades superconductoras están rodeadas de blindaje magnético para reducir el campo que las atraviesa a un valor típico inferior a 10 mOe (0,8 A/m).   

Utilizando las aproximaciones anteriores para una cavidad SRF de niobio a 1,8  K, 1,3  GHz y suponiendo un campo magnético de 10  mOe (0,8 A/m), los componentes de resistencia superficial serían:

R _BCS  =  4,55  nΩ y

R _res  = R _H = 3,42 nΩ, lo que da como resultado una resistencia superficial neta.    

R _s  =  7,97  nΩ. Si para esta cavidad

Si G  =  270  Ω, entonces el factor de calidad ideal sería

Q _o  =  3,4×10 ¹⁰ .

El valor _de Q₀ descrito puede mejorarse hasta en un factor de 2 mediante un ligero horneado al vacío de la cavidad. Empíricamente, el horneado parece reducir la resistencia BCS en un 50 %, pero aumenta la resistencia residual en un 30 %. El gráfico siguiente muestra los valores ideales de _Q₀ para un rango de campo magnético residual, tanto para una cavidad horneada como para una sin hornear.

En general, se debe tener mucho cuidado y atención al detalle en la configuración experimental de las cavidades SRF para evitar la degradación de Q _o debido a pérdidas de RF en componentes auxiliares, como bridas de vacío de acero inoxidable que están demasiado cerca de los campos evanescentes de la cavidad . Sin embargo, una preparación cuidadosa de la cavidad SRF y una configuración experimental han logrado el Q _o ideal no solo para amplitudes de campo bajas, sino hasta campos de cavidad que son típicamente el 75 % del límite de extinción del campo magnético . Pocas cavidades alcanzan el límite de extinción del campo magnético ya que las pérdidas residuales y los defectos infinitesimalmente pequeños calientan puntos localizados, que eventualmente superan la temperatura crítica superconductora y conducen a una extinción térmica .

Al utilizar cavidades de RF superconductoras en aceleradores de partículas, el nivel de campo en la cavidad debe ser generalmente lo más alto posible para acelerar de la manera más eficiente el haz que la atraviesa. Los valores _de Q₀ descritos en los cálculos anteriores tienden a degradarse a medida _que aumentan los campos, lo cual se representa para una cavidad dada como una curva " Q  vs E ", donde " E " se refiere al campo eléctrico acelerador del modo TM₀₁ . Idealmente, el Q₀ _de la cavidad permanecería constante a medida que el campo acelerador aumenta hasta el punto de un campo de extinción magnética, como lo indica la línea discontinua "ideal" en el gráfico inferior. Sin embargo, en la práctica, incluso una cavidad de niobio bien preparada tendrá una curva Q vs E que se encuentra por debajo de la ideal, como se muestra en la curva "buena" del gráfico.   

Existen muchos fenómenos que pueden ocurrir en una cavidad SRF y degradar su rendimiento Q  vs E , como impurezas en el niobio, contaminación por hidrógeno debido al calor excesivo durante el proceso químico y un acabado superficial rugoso. Tras un par de décadas de desarrollo, está surgiendo una fórmula necesaria para la producción exitosa de cavidades SRF. Esta incluye: 

• Escaneo por corrientes de Foucault de la lámina de niobio en bruto para detectar impurezas,
• Buen control de calidad de los parámetros de soldadura por haz de electrones,
• Mantener bajas temperaturas en la cavidad durante la química ácida para evitar la contaminación por hidrógeno,
• Electropulido del interior de la cavidad para lograr una superficie muy lisa,
• Enjuague a alta presión (HPR) del interior de la cavidad en una sala limpia con agua filtrada para eliminar la contaminación por partículas,
• Ensamblaje cuidadoso de la cavidad y demás aparatos de vacío en una sala limpia con prácticas limpias,
• Un horneado al vacío de la cavidad a 120  °C durante 48 horas; esto normalmente mejora Q _o en un factor de 2.

Persiste cierta incertidumbre sobre la causa fundamental del éxito de algunos pasos, como el electropulido y el horneado al vacío. Sin embargo, si no se sigue este procedimiento, la curva Q  vs E suele mostrar una degradación excesiva de Q₀ con el aumento del _campo , como se observa en la curva de " pendiente de Q " del gráfico inferior. La búsqueda de las causas de los fenómenos de pendiente de Q es objeto de una investigación fundamental en SRF. El conocimiento adquirido podría simplificar los procesos de fabricación de cavidades y beneficiar los futuros esfuerzos de desarrollo de materiales para encontrar alternativas con mayor T_{_c que el niobio.}   

En 2012, se descubrió por primera vez la dependencia Q(E) en cavidades SRF de tal manera que se observó el fenómeno Q-rise en una cavidad SRF dopada con Ti. ^{[ 9 ]} El factor de calidad aumenta con el incremento del campo acelerador y se explicó por la presencia de picos más pronunciados en la densidad electrónica de estados en los bordes de la brecha en cavidades dopadas y dichos picos se ensanchan por la corriente de RF. ^{[ 10 ]} Posteriormente, se observó un fenómeno similar con el dopaje de nitrógeno, que ha sido el estado del arte actual en la preparación de cavidades para alto rendimiento. ^{[ 11 ]}

Una de las principales razones para utilizar cavidades SRF en aceleradores de partículas es que sus grandes aperturas dan como resultado una baja impedancia del haz y umbrales más altos de inestabilidades perjudiciales del haz. Cuando un haz de partículas cargadas pasa a través de una cavidad, su campo de radiación electromagnética se ve perturbado por el aumento repentino del diámetro de la pared conductora en la transición del tubo de haz de pequeño diámetro a la gran cavidad de RF hueca. Una porción del campo de radiación de la partícula se "recorta" al reingresar al tubo de haz y queda como campos de estela en la cavidad. Estos campos de estela simplemente se superponen a los campos aceleradores generados externamente en la cavidad. La generación de modos de cavidad electromagnética como campos de estela a partir del haz que pasa es análoga a cuando una baqueta golpea un parche de tambor y excita muchos modos mecánicos resonantes.

Los campos de estela del haz en una cavidad de radiofrecuencia excitan un subconjunto del espectro de los numerosos modos electromagnéticos , incluido el modo TM ₀₁ impulsado externamente . A medida que el haz de partículas repetitivo atraviesa la cavidad de radiofrecuencia, pueden producirse diversas inestabilidades del haz, que en cada ocasión contribuyen a la energía del campo de estela en un conjunto de modos.

Para un haz de partículas con carga q , una longitud mucho menor que la longitud de onda de un modo de cavidad dado, y que atraviesa la cavidad en el tiempo t = 0, la amplitud del voltaje del campo de estela que queda en la cavidad en un modo dado viene dada por ^{[ 12 ].}

${\displaystyle V_{wake}={\frac {q\omega _{o}R}{2Q_{o}}}\ e^{j\omega _{o}t}\ e^{-{\frac {\omega _{o}t}{2Q_{L}}}}=kq\ e^{j\omega _{o}t}\ e^{-{\frac {\omega _{o}t}{2Q_{L}}}}}$ ,

dónde:

R es la impedancia de derivación del modo de cavidad definido por

${\displaystyle R={\frac {\left(\int {{\overrightarrow {E}}\cdot dl}\right)^{2}}{P_{d}}}={\frac {V^{2}}{P_{d}}}}$ ,

E es el campo eléctrico del modo RF,

P _d es la potencia disipada en la cavidad para producir el campo eléctrico E ,

Q _L es el " Q cargado " de la cavidad, que tiene en cuenta la fuga de energía fuera de la antena de acoplamiento,

ω _o es la frecuencia angular del modo,

la exponencial imaginaria es la variación temporal sinusoidal del modo,

El término exponencial real cuantifica la disminución del campo de estela con el tiempo, y

${\displaystyle k={\frac {\omega _ {o}R}{2Q_ {o}}}}$ Se denomina parámetro de pérdida del modo RF.

La impedancia de derivación R se puede calcular a partir de la solución de los campos electromagnéticos de un modo, normalmente mediante un programa informático que resuelve los campos. En la ecuación para V _wake , la relación R / Q _o sirve como una buena medida comparativa de la amplitud del campo de estela para varias formas de cavidad, ya que los otros términos suelen estar dictados por la aplicación y son fijos. Matemáticamente,

${\displaystyle {\frac {R}{Q_{o}}}={\frac {V^{2}}{\omega _{o}U}}={\frac {2\left(\int {{\overrightarrow {E}}\cdot dl}\right)^{2}}{\omega _{o}\mu _{o}\int {|{\overrightarrow {H}}|^{2}dV}}}={\frac {2k}{\omega _{o}}}}$ ,

donde se han utilizado las relaciones definidas anteriormente. R / Q _o es entonces un parámetro que elimina la disipación de la cavidad y se considera una medida de la efectividad de la geometría de la cavidad para producir voltaje de aceleración por energía almacenada en su volumen. El campo de estela es proporcional a R / Q _o puede verse intuitivamente, ya que una cavidad con pequeñas aperturas de haz concentra el campo eléctrico en el eje y tiene un R / Q _o alto , pero también recorta una mayor parte del campo de radiación del haz de partículas como campos de estela perjudiciales.

El cálculo de la acumulación de campo electromagnético en una cavidad debido a campos de estela puede ser complejo y depende en gran medida del modo de operación específico del acelerador. Para el caso sencillo de un anillo de almacenamiento con haces de partículas repetitivos espaciados por un intervalo de tiempo T _b y una longitud de haz mucho menor que la longitud de onda de un modo dado, el voltaje de campo de estela en estado estacionario a largo plazo presentado al haz por el modo viene dado por ^{[ 12 ].}

${\displaystyle V_{ss\ wake}=V_{wake}\left({\frac {1}{1-e^{-\tau }e^{j\delta }}}-{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

dónde:

${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{o}T_{b}}{2Q_{L}}}}$es la desintegración del campo de estela entre grupos, y

δ es el desfase del modo de campo de estela entre los pasos del haz a través de la cavidad.

Como ejemplo de cálculo, supongamos que el desfase δ = 0 , que estaría cerca del caso para el modo TM ₀₁ por diseño y, desafortunadamente, es probable que ocurra para algunos HOM. Tener δ = 0 (o un múltiplo entero del período de un modo de RF, δ = n2 π ) da el peor caso de acumulación de campo de estela, donde los paquetes sucesivos son desacelerados al máximo por los campos de estela de paquetes anteriores y ceden aún más energía que con solo su "autoestela". Entonces, tomando ω _o  = 2 π  500  MHz, T _b = 1  μs y Q _L = 10 ⁶ , la acumulación de campos de estela sería V _{ss wake} = 637 × V _wake . Un inconveniente para cualquier cavidad aceleradora sería la presencia de lo que se denomina un "modo atrapado". Este es un HOM que no se escapa de la cavidad y, en consecuencia, tiene un Q _L que puede ser órdenes de magnitud mayor que el utilizado en este ejemplo. En este caso, la acumulación de campos de estela del modo atrapado probablemente causaría una inestabilidad del haz. Por lo tanto, las implicaciones de la inestabilidad del haz debidas a los campos de estela V _ss se abordan de manera diferente para el modo acelerador fundamental TM ₀₁ y todos los demás modos de RF, como se describe a continuación.

Modo de aceleración fundamental TM ₀₁₀

Los complejos cálculos que tratan la estabilidad del haz relacionada con el campo de estela para el modo TM ₀₁₀ en aceleradores muestran que existen regiones de fase específicas entre los haces y el modo de RF impulsado que permiten un funcionamiento estable a las corrientes de haz más altas posibles. Sin embargo, en algún punto de aumento de la corriente del haz, prácticamente cualquier configuración de acelerador se volverá inestable. Como se indicó anteriormente, la amplitud del campo de estela del haz es proporcional al parámetro de cavidad R / Q _o , por lo que este se utiliza típicamente como una medida comparativa de la probabilidad de inestabilidades del haz relacionadas con TM _{01. A continuación se muestra una comparación de} R / Q _o y R para una  cavidad superconductora de 500 MHz y una  cavidad de conducción normal de 500 MHz. El voltaje de aceleración proporcionado por ambas cavidades es comparable para un consumo de potencia neto dado cuando se incluye la potencia de refrigeración para SRF. El R / Q _o para la cavidad SRF es 15 veces menor que la versión de conducción normal y, por lo tanto, menos susceptible a la inestabilidad del haz. Esta es una de las principales razones por las que se eligen dichas cavidades SRF para su uso en anillos de almacenamiento de alta corriente.

Modos de orden superior (HOM)

Además del modo acelerador fundamental TM ₀₁₀ de una cavidad de RF, los campos de estela del haz de partículas cargadas excitan numerosos modos de mayor frecuencia y algunos modos dipolares de menor frecuencia, denominados generalmente modos de orden superior (HOM). Estos modos no tienen ninguna utilidad para la dinámica del haz de partículas del acelerador, ya que solo generan inestabilidades en el haz, por lo que se recomienda amortiguarlos considerablemente para obtener un Q _L lo más bajo posible. La amortiguación se logra permitiendo preferentemente que el modo dipolar y todos los HOM escapen de la cavidad SRF y, posteriormente, acoplándolos a cargas de RF resistivas. La fuga de los modos de RF no deseados se produce a lo largo del tubo del haz y es el resultado de un diseño cuidadoso de la forma de la apertura de la cavidad. La forma de la apertura está diseñada para mantener el modo TM ₀₁ "atrapado" con un Q _o alto dentro de la cavidad y permitir que los HOM se propaguen. La propagación de los modos de orden superior (HOM) a veces se facilita mediante la colocación de un tubo de haz de mayor diámetro en un lado de la cavidad, más allá del iris de menor diámetro de la cavidad, como se observa en la sección transversal CAD de la cavidad SRF en la parte superior de esta página wiki. El mayor diámetro del tubo de haz permite que los HOM se propaguen fácilmente desde la cavidad hacia una antena HOM o un absorbedor de línea de haz.

La carga resistiva para HOMs se puede implementar mediante antenas de bucle ubicadas en aberturas laterales del tubo de haz, con líneas coaxiales que dirigen la RF hacia el exterior del criostato hasta cargas de RF estándar. Otra opción es colocar las cargas HOM directamente sobre el tubo de haz como cilindros huecos con material absorbente de RF adherido a la superficie interior, como se muestra en la imagen adyacente. Este enfoque de "carga en la línea de haz" puede ser técnicamente más complejo, ya que la carga debe absorber alta potencia de RF manteniendo un entorno de alto vacío en la línea de haz, muy cerca de una cavidad SRF sensible a la contaminación. Además, dichas cargas a veces deben operar a temperaturas criogénicas para evitar grandes gradientes térmicos a lo largo del tubo de haz provenientes de la cavidad SRF fría. Sin embargo, la ventaja de la configuración de carga HOM en la línea de haz es un mayor ancho de banda de absorción y atenuación de HOM en comparación con el acoplamiento de antena. Esta ventaja puede marcar la diferencia entre un haz de partículas estable e inestable para aceleradores de alta corriente.

Una parte importante de la tecnología SRF es la ingeniería criogénica. Las cavidades SRF suelen ser estructuras de paredes delgadas sumergidas en un baño de helio líquido a una temperatura de entre 1,6  K y 4,5  K. Se requiere una ingeniería cuidadosa para aislar el baño de helio del entorno externo a temperatura ambiente. Esto se logra mediante:

• Una cámara de vacío que rodea los componentes fríos para eliminar la transferencia de calor por convección a través de los gases.
• Aislamiento multicapa que envuelve los componentes fríos. Este aislamiento se compone de docenas de capas alternas de mylar aluminizado y láminas delgadas de fibra de vidrio, que reflejan la radiación infrarroja que atraviesa el aislamiento al vacío desde las  paredes exteriores a 300 K.
• Conexiones mecánicas de baja conductividad térmica entre la masa fría y la cámara de vacío a temperatura ambiente. Estas conexiones son necesarias, por ejemplo, para soportar la masa del recipiente de helio dentro de la cámara de vacío y para conectar las aberturas en la cavidad SRF a la línea de haz del acelerador. Ambos tipos de conexiones pasan de temperaturas criogénicas internas a temperatura ambiente en el límite de la cámara de vacío. La conductividad térmica de estas piezas se minimiza mediante una pequeña área de sección transversal y el uso de materiales de baja conductividad térmica, como acero inoxidable para el tubo de vacío y epoxis reforzados con fibra (G10) para el soporte mecánico. El tubo de vacío también requiere una buena conductividad eléctrica en su superficie interior para propagar las corrientes de imagen del haz, lo cual se logra mediante  un recubrimiento de cobre de aproximadamente 100 μm en la superficie interior.

El principal desafío de la ingeniería criogénica reside en la planta de refrigeración para el helio líquido. La pequeña potencia que se disipa en una cavidad SRF y la fuga de calor hacia el recipiente de vacío constituyen cargas térmicas a muy baja temperatura. El refrigerador debe reponer esta pérdida con una eficiencia inherentemente baja, dada por el producto de la eficiencia de Carnot η _C y una eficiencia "práctica" η _p . La eficiencia de Carnot se deriva de la segunda ley de la termodinámica y puede ser bastante baja. Está dada por

${\displaystyle \eta _{C}={\begin{cases}{\frac {T_{frío}}{T_{cálido}-T_{frío}}},&{\mbox{si }}T_{frío}<T_{cálido}-T_{frío}\\1,&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}}$

dónde

Tcold es la temperatura de la carga fría, que en este caso es el recipiente de helio, _y

T _warm es la temperatura del disipador de calor del sistema de refrigeración, normalmente la temperatura ambiente.

En la mayoría de los casos, T _caliente = 300  K, por lo que para T _frío ≥ 150  K la eficiencia de Carnot es unitaria. La eficiencia práctica es un término general que tiene en cuenta las numerosas no idealidades mecánicas que entran en juego en un sistema de refrigeración, además de la física fundamental de la eficiencia de Carnot. Para una instalación de refrigeración grande, existe cierta economía de escala, y es posible alcanzar η _p en el rango de 0,2 a 0,3. La potencia de la toma de corriente consumida por el refrigerador es entonces

${\displaystyle P_{cálido}={\frac {P_{frío}}{\eta _{C}\ \eta _{p}}}}$ ,

dónde

P _frío es la potencia disipada a la temperatura T _frío .

Por ejemplo, si el refrigerador suministra  helio a 1,8 K al criomódulo , donde la cavidad y la fuga de calor disipan P _frío = 10  W, entonces el refrigerador, con T _caliente = 300  K y η _p = 0,3, tendría η _C = 0,006 y una potencia de conexión a la red eléctrica de P _caliente = 5,5  kW. Por supuesto, la mayoría de las instalaciones de aceleradores tienen numerosas cavidades SRF, por lo que las plantas de refrigeración pueden llegar a ser instalaciones muy grandes.

La temperatura de operación de una cavidad SRF se selecciona típicamente para minimizar el consumo de energía eléctrica del sistema SRF completo. El gráfico de la derecha muestra la presión a la que se debe bombear el recipiente de helio para obtener la temperatura deseada del helio líquido. La presión atmosférica es de 760 Torr (101,325 kPa), lo que corresponde a 4,2 K de helio. El punto λ de superfluidez se produce aproximadamente a 38 Torr (5,1 kPa), lo que corresponde a 2,18 K de helio. La mayoría de los sistemas SRF operan a presión atmosférica, 4,2 K, o por debajo del punto λ, con una eficiencia óptima del sistema generalmente alrededor de 1,8 K, lo que corresponde a aproximadamente 12 Torr (1,6 kPa).       

• Electrodinámica cuántica de cavidades
• electrodinámica cuántica de circuitos