Número compuesto superior

En teoría de números , un número compuesto superior es un número natural que, en un sentido riguroso, tiene muchos divisores . En concreto, se define por la razón entre el número de divisores de un entero y ese entero elevado a alguna potencia positiva.

Para cualquier exponente posible , el entero con la mayor razón es un número altamente compuesto superior. Esta restricción es más estricta que la de un número altamente compuesto , que se define como aquel que tiene más divisores que cualquier entero positivo menor.

Se enumeran los diez primeros números compuestos superiores y su factorización.

Para un número compuesto superior n existe un número real positivo ε > 0 tal que para todos los números naturales k > 1 tenemos$${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$donde d ( n ) , la función divisora , denota el número de divisores de n . El término fue acuñado por Ramanujan (1915). ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, el número con más divisores por raíz cuadrada del propio número es 12; esto se puede demostrar utilizando algunos números compuestos muy cercanos a 12. $${\displaystyle {\frac {2}{2^{0.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{0.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{0.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{0.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{0.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{0.5}}}\approx 1.549}$$

120 es otro número compuesto superior porque tiene la mayor proporción de divisores por sí mismo elevado a la potencia de 0,4. $${\displaystyle {\frac {9}{36^{0.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{0.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{0.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{0.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{0.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{0.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{0.4}}}\approx 2.279}$$

Los primeros 15 números compuestos superiores, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (secuencia A002201 en la OEIS ) son también los primeros 15 números colosalmente abundantes , que cumplen una condición similar basada en la función suma de divisores en lugar del número de divisores. Sin embargo, ninguno de los conjuntos es un subconjunto del otro.

Todos los números compuestos superiores son compuestos . Esto es fácil de demostrar: si existe algún número k que tiene el mismo número de divisores que n pero es menor que n mismo (es decir,${\displaystyle d(k)=d(n)}$, pero${\displaystyle k<n}$), entonces${\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}$para todo ε positivo, por lo que si un número "n" no es altamente compuesto, no puede ser superiormente altamente compuesto. Además, todos los números superioresmente altamente compuestos tienen el mayor número posible de divisores para el número de factores primos (no necesariamente distintos) que poseen. ^{[ 2 ]}

Una construcción efectiva del conjunto de todos los números compuestos superiores viene dada por la siguiente aplicación monótona a partir de los números reales positivos. ^{[ 3 ]} Sea $${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }$$ para cualquier número primo p y x real positivo . Entonces $${\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}$$es un número compuesto superior.

Tenga en cuenta que el producto no necesita calcularse indefinidamente, porque si${\displaystyle p>2^{x}}$entonces${\displaystyle e_{p}(x)=0}$, por lo que el producto a calcular${\displaystyle s(x)}$puede ser cancelado una vez${\displaystyle p\geq 2^{x}}$.

También tenga en cuenta que en la definición de${\displaystyle e_{p}(x)}$,${\displaystyle 1/x}$es análogo a${\displaystyle \varepsilon }$en la definición implícita de un número altamente compuesto superior.

Además, para cada número altamente compuesto superior${\displaystyle s'}$existe un intervalo semiabierto${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$de tal manera que${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}$.

Esta representación implica que existe una secuencia infinita de${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$de tal manera que para el n -ésimo número altamente compuesto superior${\displaystyle s_{n}}$sostiene $${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$$

La primera${\displaystyle \pi _{i}}$son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (secuencia A000705 en el OEIS ) . En otras palabras, el cociente de dos números compuestos superiores sucesivos es un número primo.

Los primeros números compuestos superiores se han utilizado a menudo como raíces , debido a su alta divisibilidad en relación con su tamaño. Por ejemplo:

• Binario (base 2)
• Senado (base 6)
• Duodecimal (base 12)
• Sexagesimal (base 60)

Los SHCN más grandes se pueden usar de otras maneras. 120 aparece como el centenar largo , mientras que 360 ​​aparece como el número de grados en un círculo.

• Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos" . Proc. London Math. Soc . Serie 2. 14 : 347–409 . doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 .  Reimpreso en Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nueva York: Chelsea, págs.  78–129, 1962.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45 a 46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 

• Weisstein, Eric W. "Número altamente compuesto superior" . MathWorld .