Conjunto de niveles

Puntos en segmentos constantes de x ₂ = f ( x ₁ ) .

Líneas en segmentos constantes de x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ ) .

Planos en secciones constantes de x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Conjuntos de nivel ( n − 1) dimensionales para funciones de la forma f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _n donde a ₁ , a ₂ , …, a _n son constantes, en el espacio euclidiano ( n + 1) dimensional, para n = 1, 2, 3 .

Puntos en segmentos constantes de x ₂ = f ( x ₁ ) .

Curvas de contorno en cortes constantes de x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ ) .

Superficies curvas en cortes constantes de x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Conjuntos de nivel ( n − 1) dimensionales de funciones no lineales f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) en el espacio euclidiano ( n + 1) dimensional, para n = 1, 2, 3 .

En matemáticas , un conjunto de nivel de una función real f de n variables reales es un conjunto donde la función toma un valor constante dado c , es decir:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

Cuando el número de variables independientes es dos, un conjunto de nivel se denomina curva de nivel , también conocida como línea de contorno o isolínea ; por lo tanto, una curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones de valor real de una ecuación en dos variables x ₁ y x ₂ . Cuando n = 3 , un conjunto de nivel se denomina superficie de nivel (o isosuperficie ); por lo tanto, una superficie de nivel es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en tres variables x ₁ , x ₂ y x ₃ . Para valores mayores de n , el conjunto de nivel es una hipersuperficie de nivel , el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en n > 3 variables (una hipersuperficie de dimensión superior ).

Un conjunto de nivel es un caso especial de una fibra .

Los conjuntos de nivel aparecen en muchas aplicaciones, a menudo con nombres diferentes. Por ejemplo, una curva implícita es una curva de nivel que se considera independientemente de sus curvas vecinas, haciendo hincapié en que dicha curva se define mediante una ecuación implícita . De forma análoga, una superficie de nivel a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .

También se utiliza el término isocontorno, que significa contorno de igual altura. En diversas áreas de aplicación, los isocontornos han recibido nombres específicos que a menudo indican la naturaleza de los valores de la función considerada, como isobara , isoterma , isógono , isócrona , isocuanta y curva de indiferencia .

Consideremos la distancia euclidiana bidimensional:$${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$Un conjunto de niveles${\displaystyle L_{r}(d)}$de esta función consiste en aquellos puntos que se encuentran a una distancia de${\displaystyle r}$desde el origen, que forman un círculo . Por ejemplo,${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$, porque${\displaystyle d(3,4)=5}$Geométricamente, esto significa que el punto${\displaystyle (3,4)}$se encuentra en el círculo de radio 5 centrado en el origen. Más generalmente, una esfera en un espacio métrico${\displaystyle (M,m)}$con radio${\displaystyle r}$centrado en${\displaystyle x\in M}$se puede definir como el conjunto de nivel${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$.

Un segundo ejemplo es la gráfica de la función de Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva mostrada es una curva de nivel de la función, y están espaciadas logarítmicamente: si una curva representa${\displaystyle L_{x}}$, la curva directamente "dentro" representa${\displaystyle L_{x/10}}$y la curva directamente "exterior" representa${\displaystyle L_{10x}}$.

Teorema : Si la función f es diferenciable , el gradiente de f en un punto es cero o perpendicular al conjunto de nivel de f en ese punto.

Para entenderlo, imaginemos que dos excursionistas se encuentran en el mismo punto de una montaña. Uno de ellos es audaz y decide ir por la pendiente más pronunciada. El otro es más precavido y prefiere no subir ni bajar, optando por un sendero que se mantiene a la misma altura. En nuestra analogía, el teorema anterior indica que los dos excursionistas partirán en direcciones perpendiculares entre sí.

Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es diferenciable, un conjunto de nivel es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, un conjunto de nivel puede reducirse a un punto (por ejemplo, en un extremo local de f ) o puede tener una singularidad como un punto de autointersección o una cúspide .

Un conjunto de la forma

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

se denomina conjunto de subnivel de f (o, alternativamente, conjunto de nivel inferior o trinchera de f ). Un conjunto de subnivel estricto de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

Similarmente

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

se denomina conjunto de supernivel de f (o, alternativamente, conjunto de nivel superior de f ). Y un conjunto de supernivel estricto de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Los conjuntos de subnivel son importantes en la teoría de la minimización . Según el teorema de Weierstrass , la acotación de algún conjunto de subnivel no vacío y la semicontinuidad inferior de la función implican que una función alcanza su mínimo. La convexidad de todos los conjuntos de subnivel caracteriza a las funciones cuasiconvexas . ^{[ 2 ]}

• Epígrafe
• Método de conjunto de niveles
• Conjunto de niveles (estructuras de datos)