Número sobrenatural

En matemáticas , los números sobrenaturales , a veces llamados números naturales generalizados o números de Steinitz , son una generalización de los números naturales . Fueron utilizados por Ernst Steinitz ^{[ 1 ] : 249–251} en 1910 como parte de su trabajo sobre teoría de campos .

Un número sobrenatural${\displaystyle \omega }$es un producto formal :

$${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$$

dónde${\displaystyle p}$recorre todos los números primos y cada uno${\displaystyle n_{p}}$es cero, un número natural o infinito . Esto puede considerarse como la factorización prima del número sobrenatural. En el caso especial donde solo hay un número finito de valores${\displaystyle n_{p}}$son distintos de cero y no tienen índice${\displaystyle n_{p}}$es${\displaystyle \infty }$, obtenemos los números naturales positivos; por ejemplo,${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}$puede representarse como $${\displaystyle 2^{2}3^{1}5^{1}7^{0}11^{0}13^{0}\dots }$$ También existen muchos números sobrenaturales sin contraparte natural, como por ejemplo: $${\displaystyle 2^{1}3^{1}5^{1}7^{1}11^{1}13^{1}\dots }$$ y $${\displaystyle 2^{1}3^{\infty }5^{0}7^{0}11^{0}13^{0}\dots }$$

A veces la notación${\displaystyle v_{p}(\omega )}$se utiliza en lugar de${\displaystyle n_{p}}$.${\displaystyle v_{p}(\omega )}$puede verse como la valoración p-ádica de${\displaystyle \omega }$y coincide con la valoración p-ádica estándar en los números naturales.

No existe una forma natural de sumar números sobrenaturales, pero se pueden multiplicar, con${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$. De manera similar, la noción de divisibilidad se extiende a los seres sobrenaturales con${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$si${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$a pesar de${\displaystyle p}$. La noción del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor también puede generalizarse para números sobrenaturales, definiendo

$${\displaystyle \displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$$

y

$${\displaystyle \displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$$.

Con estas definiciones, el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de infinitos números naturales (o números sobrenaturales) es un número sobrenatural.

Los números sobrenaturales se utilizan para definir órdenes e índices de grupos y subgrupos profinitos , en cuyo caso muchos de los teoremas de la teoría de grupos finitos se extienden exactamente. Se utilizan para codificar las extensiones algebraicas de un cuerpo finito . ^{[ 2 ]}

Los números sobrenaturales también aparecen en la clasificación de álgebras uniformemente hiperfinitas .

• Entero finito

• Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989). Extensiones algebraicas infinitas de cuerpos finitos . Matemáticas Contemporáneas. Vol.  95. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 23–26 . ISBN  0-8218-5101-2. Zbl 0674.12009 . 
• Efrat, Ido (2006). Valuaciones, ordenamientos y la teoría K de Milnor . Mathematical Surveys and Monographs. Vol.  124. Providence, RI: American Mathematical Society . p.  125. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 . 
• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol.  11 (3ª  ed.). Springer-Verlag . pag.  520.ISBN​ 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 

• Matemáticas Planetarias: Número sobrenatural