Relación superparticular

En matemáticas , una razón superparticular , también llamada número superparticular o razón epimórica , es la razón de dos números enteros consecutivos .

Más concretamente, la relación adopta la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}}$ donde n es un número entero positivo .

De este modo:

Un número superparticular es aquel en el que un número grande contiene un número menor con el que se compara, y a la vez, una parte de este. Por ejemplo, al comparar 3 y 2, ambos contienen 2, más 1, que es la mitad de dos. Al comparar 3 y 4, ambos contienen 3, y 4 tiene 1, que es la tercera parte de 3. De igual manera, al comparar 5 y 4, ambos contienen 4, y 5 tiene 1, que es la cuarta parte de 4, y así sucesivamente.

Nicómaco escribió sobre las razones superparticulares en su tratado Introducción a la aritmética . Si bien estos números tienen aplicaciones en las matemáticas puras modernas , las áreas de estudio que con mayor frecuencia se refieren a las razones superparticulares con este nombre son la teoría musical ^{[ 2 ]} y la historia de las matemáticas ^{[ 3 ]} .

Como observó Leonhard Euler , los números superparticulares (que incluyen también las razones superparticulares multiplicadas, números formados al sumar un entero distinto de uno a una fracción unitaria ) son precisamente los números racionales cuya fracción continua simple termina después de dos términos. Los números cuya fracción continua termina en un término son los enteros, mientras que los números restantes, con tres o más términos en sus fracciones continuas, son superpartitos . ^{[ 4 ]}

El producto Wallis

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

representa el número irracional π de varias maneras como un producto de razones superparticulares y sus inversos . También es posible convertir la fórmula de Leibniz para π en un producto euleriano de razones superparticulares en el que cada término tiene un número primo como numerador y el múltiplo de cuatro más cercano como denominador: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

En teoría de grafos , los números superparticulares (o más bien, sus recíprocos, 1/2, 2/3, 3/4, etc.) surgen a través del teorema de Erdős-Stone como los posibles valores de la densidad superior de un grafo infinito. ^{[ 6 ]}

En el estudio de la armonía , muchos intervalos musicales pueden expresarse como una razón superparticular (por ejemplo, debido a la equivalencia de octava , el noveno armónico, 9/1, puede expresarse como una razón superparticular, 9/8). De hecho, que una razón fuera superparticular era el criterio más importante en la formulación de la armonía musical de Ptolomeo . ^{[ 7 ]} En esta aplicación, el teorema de Størmer puede utilizarse para enumerar todos los números superparticulares posibles para un límite dado ; es decir, todas las razones de este tipo en las que tanto el numerador como el denominador son números suaves . ^{[ 2 ]}

Estas proporciones también son importantes en la armonía visual. Las relaciones de aspecto de 4:3 y 3:2 son comunes en la fotografía digital , ^{[ 8 ]} y las relaciones de aspecto de 7:6 y 5:4 se utilizan en la fotografía de formato medio y gran formato, respectivamente. ^{[ 9 ]}

Cada par de enteros positivos adyacentes representa una razón superparticular, y de manera similar, cada par de armónicos adyacentes en la serie armónica (música) representa una razón superparticular. Muchas razones superparticulares individuales tienen sus propios nombres, ya sea en matemáticas históricas o en teoría musical. Entre ellas se incluyen las siguientes:

La raíz de algunos de estos términos proviene del latín sesqui- "uno y medio" (de semis "medio" y -que "y"), que describe la proporción 3:2.

• Números superparticulares aplicados a la construcción de escalas pentatónicas por David Canright .
• De Institutione Arithmetica, liber II de Anicio Manlio Severino Boecio