Superrigidez

En matemáticas, en la teoría de grupos discretos , la superrigidez es un concepto diseñado para mostrar cómo una representación lineal ρ de un grupo discreto Γ dentro de un grupo algebraico G puede, en algunas circunstancias, ser tan buena como una representación del propio G. Que este fenómeno ocurra para ciertas clases de redes definidas de forma amplia dentro de grupos semisimples fue el descubrimiento de Grigory Margulis , quien demostró algunos resultados fundamentales en esta dirección.

Hay más de un resultado que se conoce con el nombre de superrigidez de Margulis . ^[1] Una afirmación simplificada es la siguiente: tomemos G como un grupo algebraico real semisimple simplemente conexo en GL _n , tal que el grupo de Lie de sus puntos reales tiene rango real al menos 2 y ningún factor compacto. Supongamos que Γ es una red irreducible en G. Para un cuerpo local F y ρ una representación lineal de la red Γ del grupo de Lie, en GL _n ( F ), supongamos que la imagen ρ(Γ) no es relativamente compacta (en la topología que surge de F ) y tal que su clausura en la topología de Zariski es conexa. Entonces F son los números reales o los números complejos, y hay una representación racional de G que da lugar a ρ por restricción.

• Teorema de rigidez de Mostow
• Rigidez local

• "Subgrupo discreto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gromov, M.; Pansu, P. Rigidez de redes: una introducción. Topología geométrica: desarrollos recientes (Montecatini Terme, 1990), 39–137, Lecture Notes in Math., 1504, Springer, Berlín, 1991. doi:10.1007/BFb0094289
• Gromov, Mikhail; Schoen, Richard. Aplicaciones armónicas en espacios singulares y superrigidez p-ádica para redes en grupos de rango uno. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 76 (1992), 165–246.
• Ji, Lizhen. Un resumen de la obra de Gregory Margulis. Pure Appl. Math. Q. 4 (2008), n.º 1, número especial: En honor a Grigory Margulis. Parte 2, 1–69. [Páginas 17-19]
• Jost, Jürgen; Yau, Shing-Tung. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales parciales cuasilineales a la geometría algebraica y a los retículos aritméticos. Geometría algebraica y temas relacionados (Inchon, 1992), 169–193, Actas de la conferencia, Notas de la conferencia, Geometría algebraica, I, Int. Press, Cambridge, MA, 1993.
• Margulis, GA (1991). Subgrupos discretos de grupos de mentiras semisimples . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer-Verlag. ISBN 3-540-12179-X. Sr.  1090825. OCLC  471802846.
• Tetas, Jacques. Travaux de Margulis sur les sous-groupes discrets de groupes de Lie. Séminaire Bourbaki, 28ème année (1975/76), Exp. Núm. 482, págs. 174-190. Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 567, Springer, Berlín, 1977.