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Código de superficie

El código de superficie es un código topológico de corrección de errores cuánticos y un ejemplo de código estabilizador , definido en una red de espín bidimensional . [ 1 ] El p...

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El código de superficie es un código topológico de corrección de errores cuánticos y un ejemplo de código estabilizador , definido en una red de espín bidimensional . [ 1 ] El primer tipo de código de superficie introducido por Alexei Kitaev en 1997 fue el código tórico , que recibe su nombre de sus condiciones de contorno periódicas, dándole la forma de un toro . Estas condiciones le otorgan al modelo invariancia traslacional, lo cual es útil para el estudio analítico. El código tórico es el más simple y mejor estudiado de los modelos cuánticos dobles. [ 2 ] También es el ejemplo más simple de orden topológico : orden topológico Z 2 (estudiado por primera vez en el contexto del líquido de espín Z 2 en 1991). [ 3 ] [ 4 ] El código tórico también puede considerarse una teoría de gauge de red Z 2 en un límite particular. [ 5 ]

Sin embargo, en muchas plataformas de computación cuántica, la realización experimental de un código de superficie es mucho más sencilla si el código se puede incrustar en un plano 2D. Esto motivó el diseño de otro tipo de código de superficie con condiciones de contorno abiertas, el código planar . [ 6 ] En 2025, Google Quantum AI implementó un código planar de distancia 7 en su última generación de procesadores cuánticos superconductores, el procesador Willow , demostrando una tasa de error físico por debajo del umbral. [ 7 ]

Definición

El código de superficie se define en una red bidimensional, generalmente la red cuadrada . A continuación, ilustraremos el concepto básico con el código tórico, donde la red tiene condiciones de contorno periódicas, es decir, el límite superior está conectado al inferior y el límite izquierdo al derecho. Topológicamente, esto equivale a definir la red en un toro .

Una sección del código tórico. Se destacan un vértice y una plaqueta, junto con los cúbits utilizados en la definición de sus estabilizadores.

En cada arista de la red se ubica un cúbit . Para una red de d × d , hay d² aristas horizontales y d² aristas verticales , por lo que hay 2d² cúbits en total. Los operadores estabilizadores se definen en los cúbits alrededor de cada vértice v y plaqueta (cara) p de la red de la siguiente manera:

Av=∏i∈vincógnitai,Bpag=∏i∈pagZi.{\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}X_{i},\,\,B_{p}=\prod _{i\in p}Z_{i}.}

Aquíi∈v{\displaystyle i\in v}denota las aristas que tocan el vértice v yi∈pag{\displaystyle i\in p}indica los bordes que rodean la plaquetapag{\displaystyle p}. El espacio de código del código tórico es el subespacio para el cual todos los estabilizadores actúan trivialmente, por lo tanto, para cualquier estado|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }en este espacio se sostiene que

Av|ψ⟩=|ψ⟩,∀v,Bpag|ψ⟩=|ψ⟩,∀pag.{\displaystyle A_{v}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p.}

Para el código tórico, este espacio es de cuatro dimensiones, por lo que puede usarse para almacenar dos cúbits de información cuántica . Esto se puede demostrar considerando el número de operadores estabilizadores independientes: para una red d × d , hay d² estabilizadores de vértice y d² estabilizadores de plaqueta, pero el producto de todos los estabilizadores de vértice es I , al igual que el producto de todos los estabilizadores de plaqueta. Por lo tanto , hay 2d² − 2 estabilizadores independientes, lo que deja 2 cúbits de grados de libertad.

La ocurrencia de errores generalmente desplazará el estado fuera del espacio de código, lo que dará como resultado vértices y plaquetas para los cuales no se cumple la condición anterior. Específicamente, un error de Pauli Z en el cúbit i invierte los dos estabilizadores de vértice A v de tal manera quei∈v{\displaystyle i\in v}(los extremos de la arista i ), y un error de Pauli X en el cúbit i invierte los dos estabilizadores de plaqueta B p de tal manera quei∈pag{\displaystyle i\in p}(las plaquetas a cada lado del borde i ). La posición de estas violaciones constituye el síndrome del código, que puede utilizarse para la corrección de errores.

La naturaleza única de los códigos topológicos como el código de superficie es que las violaciones del estabilizador pueden interpretarse como cuasipartículas . Específicamente, si el código está en un estado|ϕ⟩{\displaystyle |\phi \rangle }de tal manera queAv|ϕ⟩=−|ϕ⟩{\displaystyle A_{v}|\phi \rangle =-|\phi \rangle }, se puede decir que una cuasipartícula conocida como un anión e existe en el vértice v . De manera similar, una violación de algunaBpag{\displaystyle B_{p}}está asociado con un anión m en la plaqueta p . El espacio de código, sin violación de estabilizador, corresponde al vacío aniónico. El hecho mencionado anteriormente de que el producto de todos los estabilizadores de vértice (respectivamente, de plaqueta) es I significa que el número de aniones e (respectivamente, m ) en un código tórico es siempre par.

Los bucles topológicamente no triviales del toro. El movimiento de aniones a lo largo de estos bucles implementa operadores lógicos de Pauli sobre los cúbits almacenados.

Un error Z de un solo cúbit se asocia a una arista y crea un par de aniones e en ambos extremos de dicha arista. Sin embargo, dos aniones e en la misma ubicación se aniquilan mutuamente, por lo que un error Z también puede mover un anión e a lo largo de una arista, permitiendo así el transporte de aniones e en la red. Si el par inicial de aniones se encuentra y se aniquila, sus trayectorias forman un bucle.

  • Si el bucle es topológicamente trivial, puede escribirse como una combinación de plaquetas ( generadores de estabilizadores Z ) en la red. Por lo tanto, el bucle representa un estabilizador Z del código y no afecta la información almacenada. La aniquilación de los aniones, en este caso, corrige todos los errores relacionados con su creación y transporte.
  • Sin embargo, si el bucle no es topológicamente trivial, entonces representa un operador lógico no trivial. Si bien la reaniquilación de los anyones devuelve el estado al espacio de código, también implementa una operación lógica sobre la información almacenada. Por lo tanto, en este caso, los errores no se corrigen, sino que se consolidan.
    • En un toro, existen dos bucles topológicamente no triviales e independientes: uno que se extiende horizontalmente sobre la red del código tórico y otro que se extiende verticalmente. Estos bucles pueden identificarse con los operadores Z de los dos cúbits lógicos codificados en el código tórico.

Al considerar el grafo dual de la red, se observa que el párrafo anterior también se aplica a los errores X y a los moniones. Cabe destacar que el operador horizontal Z y el operador vertical X pertenecen al mismo cúbit, y viceversa. Esto garantiza las relaciones de conmutación correctas entre los operadores lógicos.

Corrección de errores

Consideremos el modelo de ruido en el que los errores de bit y de fase ocurren independientemente en cada cúbit, ambos con probabilidad p . Cuando p es baja, esto creará pares de aniones dispersos que no se han movido mucho de su punto de creación. La corrección se puede lograr identificando los pares en los que se crearon los aniones (hasta una clase de equivalencia) y luego aniquilándolos nuevamente para eliminar los errores. Sin embargo, a medida que p aumenta, se vuelve más ambiguo cómo se pueden emparejar los aniones sin riesgo de formar bucles topológicamente no triviales. Esto da una probabilidad umbral, por debajo de la cual la corrección de errores casi con certeza tendrá éxito. Mediante un mapeo al modelo de Ising de enlace aleatorio, se ha encontrado que esta probabilidad crítica es de alrededor del 11%. [ 8 ]

También se pueden considerar otros modelos de error y determinar umbrales. En todos los casos estudiados hasta ahora, se ha comprobado que el código satura el límite de Hashing . Para algunos modelos de error, como los errores sesgados, donde los errores de bit ocurren con mayor frecuencia que los errores de fase o viceversa, se deben utilizar retículos distintos del cuadrado para alcanzar los umbrales óptimos. [ 9 ] [ 10 ]

También se han estudiado los errores de borrado utilizando mapeos de física estadística; Masayuki Ohzeki estimó los umbrales de error para códigos de superficie con cúbits perdidos analizando modelos de vidrio de espín relacionados. [ 11 ]

Estos umbrales son límites superiores y resultan inútiles a menos que se encuentren algoritmos eficientes para alcanzarlos. El algoritmo más utilizado es el de coincidencia perfecta de peso mínimo . [ 12 ] Al aplicarlo al modelo de ruido con errores de bit y de inversión independientes, se alcanza un umbral de alrededor del 10,5 %. Esto se queda ligeramente por debajo del máximo del 11 %. Sin embargo, la coincidencia no funciona tan bien cuando existen correlaciones entre los errores de bit y de fase, como en el caso del ruido despolarizante.

Condiciones de contorno abiertas

Al adaptar el código de superficie a condiciones de contorno abiertas, surgen comportamientos de contorno especiales. Como ejemplo ilustrativo, consideremos definir un código de superficie de la misma manera que se describió anteriormente, pero en un grafo de cuadrícula cuadrada de n × n . Algunos vértices del contorno tendrán grado 3 en lugar de 4 (y los vértices de las esquinas tendrán grado 2), por lo que habrá algunos estabilizadores X de peso 3 (y de peso 2).

La característica más importante de un límite abierto de este tipo es que un error X de Pauli ya no necesariamente invierte dos estabilizadores de plaquetas. Un borde en el límite solo tiene una plaqueta adyacente, y por lo tanto, un error X en el cúbit correspondiente solo invertirá una única.Bpag{\displaystyle B_{p}}, o en el lenguaje de los anyones, solo crean o aniquilan un único m anyon. Se podría decir que este tipo de límite de código (conocido como límite suave ) es una fuente y un sumidero para m anyones.

En un código de superficie con límites abiertos, además de los bucles verdaderos, es necesario considerar trayectorias que comienzan y terminan en un límite, las cuales suelen ser específicas de los tipos de anyon. En nuestro ejemplo de grafo de cuadrícula n × n , un anyon m puede crearse en cualquier ubicación del límite, moverse a través de la cuadrícula y ser aniquilado en cualquier otra ubicación del límite. Sin embargo, dado que solo existe un tipo de límite, todas estas trayectorias son topológicamente triviales. Por ejemplo, si un anyon m se crea en algún punto del medio del límite superior, se mueve un paso horizontalmente y luego es aniquilado nuevamente por el límite superior, entonces su trayectoria corresponde a uno de los estabilizadores X de peso 3 mencionados anteriormente. Mientras tanto, los anyon e solo pueden moverse dentro del límite, por lo que todos los bucles de anyon e también son topológicamente triviales. Esto indica que este código no codifica ningún cúbit lógico, lo cual se puede verificar contando cúbits y estabilizadores: Hay 2 n ( n − 1) cúbits (aristas de la red), n 2 − 1 estabilizadores de vértice independientes y ( n − 1) 2 estabilizadores de plaqueta independientes (debido al límite, el producto de todos los estabilizadores de plaqueta ya no es I y todos ellos son independientes), y 2 n ( n − 1) − ( n 2 − 1) − ( n − 1) 2 = 0 .

Para diseñar un código de superficie de frontera abierta con un espacio de código no trivial, es necesario utilizar otro tipo de frontera: la frontera rugosa , que actúa como dual de la frontera lisa. Para crear una frontera rugosa, partimos de la frontera lisa y eliminamos las aristas (cúbits) de la frontera que solo tienen como vecinos a una plaqueta, pero mantenemos esas plaquetas como estabilizadores Z de peso 3. Los estabilizadores de vértice de la frontera original ahora son de peso 1 y ya no conmutan correctamente con los estabilizadores de plaqueta modificados, por lo que también se eliminan, dejando algunas aristas "colgantes" en la red (de ahí el nombre de "rugosa"). El resultado es una frontera que actúa como fuente y sumidero para e aniones.

Ahora consideremos una red con límites superior e inferior suaves y límites izquierdo y derecho rugosos. Dicha red define un código planar (sin rotación) . Un anión m que se mueve del límite superior al límite superior sigue siendo un camino topológicamente trivial, pero uno que se mueve del límite superior al límite inferior ya no es topológicamente trivial, porque el anión ya no podría haber salido por el límite izquierdo o derecho. De manera similar, el camino topológicamente no trivial para aniones e es uno que se mueve del límite izquierdo al límite derecho. Si la cuadrícula original tiene d filas y d + 1 columnas de vértices (antes de eliminar los estabilizadores de vértices en los límites izquierdo y derecho), entonces ambos tipos de caminos topológicamente no triviales tienen una longitud mínima d , lo que indica que el código codifica un único cúbit lógico con distancia de código d . El número de cúbits lógicos se puede comprobar de nuevo contando los estabilizadores: ( d 2 + ( d − 1) 2 ) − d ( d − 1) − d ( d − 1) = 1 (ahora los estabilizadores de vértice también son todos independientes, debido a las "aristas colgantes" que son solo parte de un estabilizador de vértice).

Código planar rotado

El código planar rotado es una variante del código planar que elimina casi la mitad de los cúbits físicos sin afectar la distancia del código. Un código planar rotado de distancia d tiene d² cúbits físicos, en comparación con d² + ( d − 1) ² para el código sin rotar. Las cuatro esquinas de la red del código planar sin rotar se recortan a lo largo de líneas diagonales, creando nuevos límites. La red resultante sigue teniendo forma cuadrada, pero rotada 45°, de ahí su nombre.

Conceptualmente, un código de superficie puede codificar un cúbit lógico con una distancia de código d siempre que tenga cuatro límites con tipos alternos (lisos o rugosos), y la distancia entre límites opuestos (es decir, límites del mismo tipo) a lo largo de los bordes de la red ( distancia de Manhattan para la red cuadrada) sea al menos d . Esta condición se cumple para la red cuadrada rotada cuando estos cuatro límites coinciden con los cuatro lados del cuadrado rotado. Por ejemplo, los límites noreste y suroeste pueden ser lisos, mientras que los límites noroeste y sureste son rugosos. Los límites diagonales lisos y rugosos tienen estabilizadores X y Z de peso 2, respectivamente.

Una descripción detallada de la disposición del código planar rotado se realiza más fácilmente rotando el sistema de coordenadas 45°. En esta orientación, los d 2 cúbits se ubican en los vértices de una red cuadrada d × d , y los estabilizadores Z y X se ubican en las plaquetas de esta red rotada, con los dos tipos en un patrón de tablero de ajedrez. Además, existen algunos estabilizadores Z (respectivamente, X ) de peso 2 en los límites izquierdo y derecho (respectivamente, superior e inferior) de la red, con un estabilizador de límite en cada arista de límite alterna. El número total de estabilizadores es ( d − 1) 2 + 4( d − 1) / 2 = d 2 − 1 .

En comparación con un código planar no rotado con el mismo número de cúbits físicos, un código planar rotado puede aumentar la distancia del código d en un factor de aproximadamente ⁠2{\displaystyle {\sqrt {2}}}Sin embargo, también existen muchas más formas en que un anión puede atravesar un límite hasta el límite opuesto en d pasos, lo que resulta en un mayor número de mecanismos de error de peso mínimo. Esto puede incluso provocar que la tasa de error lógico del código rotado sea mayor que la del código sin rotar con el mismo número de cúbits, a pesar de la mayor distancia del código. No obstante, el código planar rotado prevalece en el régimen de bajo error, donde la tasa de error físico está significativamente por debajo del umbral. [ 13 ]

Computación cuántica

Se han considerado los medios para realizar computación cuántica sobre información lógica almacenada en el código de superficie, cuyas propiedades proporcionan tolerancia a fallos. Se ha demostrado que extender el espacio de estabilizadores mediante "agujeros", vértices o plaquetas donde no se aplican estabilizadores permite codificar muchos cúbits en el código. Sin embargo, un conjunto universal de puertas unitarias no puede implementarse de forma tolerante a fallos mediante operaciones unitarias , por lo que se requieren técnicas adicionales para lograr la computación cuántica. Por ejemplo, la computación cuántica universal puede lograrse preparando estados mágicos mediante stubs cuánticos codificados llamados tidBits, que se utilizan para teletransportar las puertas adicionales necesarias cuando se reemplazan como un cúbit. Además, la preparación de estados mágicos debe ser tolerante a fallos, lo que puede lograrse mediante la destilación de estados mágicos en estados mágicos ruidosos. Se ha encontrado un esquema basado en mediciones para la computación cuántica basado en este principio, cuyo umbral de error es el más alto conocido para una arquitectura bidimensional. [ 14 ] [ 15 ]

Hamiltoniano y autocorrección

Dado que los operadores estabilizadores del código de superficie son cuasilocales, actuando solo sobre espines ubicados cerca unos de otros en una red bidimensional, no es irrealista definir el siguiente hamiltoniano:

HTdo=−Jmi∑vAv−Jmetro∑pagBpag,Jmi,Jmetro>0.{\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J_{e}\sum _{v}A_{v}-J_{m}\sum _{p}B_{p},\,\,\,J_{e},J_{m}>0.}

El espacio del estado fundamental de este hamiltoniano es el espacio estabilizador del código. Los estados excitados corresponden a los de los aniones, con una energía proporcional a su número. Por lo tanto, los errores locales se suprimen energéticamente mediante la brecha, que ha demostrado ser estable frente a perturbaciones locales. [ 16 ] Sin embargo, los efectos dinámicos de tales perturbaciones aún pueden causar problemas al código. [ 17 ] [ 18 ]

La brecha también le da al código cierta resistencia contra errores térmicos, lo que permite que sea corregible casi con seguridad durante un cierto tiempo crítico. Este tiempo aumenta conJ{\displaystyle J}Pero dado que los aumentos arbitrarios de este acoplamiento no son realistas, la protección que brinda el hamiltoniano aún tiene sus límites.

A menudo se considera la manera de convertir un código de superficie en una memoria cuántica totalmente autocorrectiva. La autocorrección implica que el hamiltoniano suprimirá naturalmente los errores de forma indefinida, lo que dará lugar a una vida útil que diverge en el límite termodinámico. Se ha descubierto que esto solo es posible en el código tórico si existen interacciones de largo alcance entre aniones. [ 19 ] [ 20 ] Se han propuesto métodos para su realización en el laboratorio. [ 21 ] Otro enfoque consiste en generalizar el modelo a dimensiones superiores, donde la autocorrección es posible en 4D con solo interacciones cuasi-locales. [ 22 ]

Generalizaciones

Es posible definir códigos similares utilizando espines de dimensiones superiores. Estos son los modelos cuánticos dobles [ 23 ] y los modelos de red de cuerdas [ 24 ] , que permiten una mayor riqueza en el comportamiento de los aniones y, por lo tanto, pueden utilizarse para propuestas más avanzadas de computación cuántica y corrección de errores [ 25 ] . Estos no solo incluyen modelos con aniones abelianos, sino también aquellos con estadísticas no abelianas [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] .

Progreso experimental

La demostración más explícita de las propiedades del código tórico se ha dado en enfoques basados ​​en estados. En lugar de intentar realizar el hamiltoniano, estos simplemente preparan el código en el espacio estabilizador. Mediante esta técnica, se han podido demostrar experimentalmente la creación, el transporte y las estadísticas de los aniones [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] y la medición de la entropía de entrelazamiento topológico [ 31 ] . Experimentos más recientes también han podido demostrar las propiedades de corrección de errores del código [ 32 ] [ 31 ] .

Para la realización del código tórico y sus generalizaciones con un hamiltoniano, se ha avanzado mucho utilizando uniones Josephson . La teoría sobre cómo se pueden implementar los hamiltonianos se ha desarrollado para una amplia clase de códigos topológicos. [ 33 ] También se ha llevado a cabo un experimento, realizando el hamiltoniano del código tórico para una red pequeña y demostrando la memoria cuántica proporcionada por su estado fundamental degenerado. [ 34 ]

Otros trabajos teóricos y experimentales para la realización se basan en átomos fríos. Se ha explorado un conjunto de métodos que pueden utilizarse para realizar códigos topológicos con redes ópticas, [ 35 ] así como experimentos sobre instancias mínimas de orden topológico. [ 36 ] Dichas instancias mínimas del código tórico se han realizado experimentalmente dentro de plaquetas cuadradas aisladas. [ 37 ] También se está progresando en simulaciones del modelo tórico con átomos de Rydberg , en las que se puede demostrar el hamiltoniano y los efectos del ruido disipativo. [ 38 ] [ 39 ] Los experimentos en matrices de átomos de Rydberg también han realizado con éxito el código tórico con condiciones de contorno periódicas en dos dimensiones mediante el transporte coherente de matrices de átomos entrelazados. [ 40 ]

A partir de 2025, Google Quantum AI ha implementado el código planar rotado para una distancia de código de hasta 7 en su última generación de procesadores cuánticos superconductores, Willow, demostrando un factor de supresión de errores lógicos Λ ligeramente mayor que 2 cuando la distancia del código aumenta en 2, lo que indica un comportamiento por debajo del umbral. [ 7 ]

Referencias

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  • https://skepsisfera.blogspot.com/2010/04/kitaevs-toric-code.html
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