Laplaciano del indicador

Esta sección demostrará que el laplaciano del indicador es una función delta prima de superficie . La función delta de superficie se analizará más adelante.

Primero, para una función f en el intervalo ( a , b ), recordemos el teorema fundamental del cálculo.

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}$

suponiendo que f es localmente integrable. Ahora, para a  < b, se deduce, procediendo heurísticamente, que 

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}}$

Aquí , 1 _{a < x < b} es la función indicadora del dominio a < x < b . El indicador es igual a uno cuando se cumple la condición en su subíndice, y cero en caso contrario. En este cálculo, dos integraciones por partes (combinadas con el teorema fundamental del cálculo como se muestra arriba) muestran que se cumple la primera igualdad; los términos de frontera son cero cuando a y b son finitos, o cuando f se anula en el infinito. La última igualdad muestra una suma de derivadas normales hacia afuera, donde la suma se realiza sobre los puntos de frontera a y b , y donde los signos siguen la dirección hacia afuera (es decir, positivo para b y negativo para a ). Aunque las derivadas del indicador no existen formalmente, seguir las reglas habituales de integración parcial proporciona el resultado "correcto". Al considerar un dominio D de dimensión d finita , se espera que la suma sobre las derivadas normales hacia afuera se convierta en una integral , lo cual se puede confirmar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}}$

donde el límite es de x aproximándose a la superficie β desde dentro del dominio D , n _β es el vector unitario normal a la superficie β, y ∇ _x es ahora el operador gradiente multidimensional. Como antes, la primera igualdad se obtiene mediante dos integraciones por partes (en dimensiones superiores esto procede mediante la segunda identidad de Green ) donde los términos de frontera desaparecen siempre que el dominio D sea finito o si f se anula en el infinito; por ejemplo, tanto 1 _{x ∈ D} como ∇ _x 1 _{x ∈ D} son cero cuando se evalúan en la 'frontera' de R ^d cuando el dominio D es finito. La tercera igualdad se obtiene mediante el teorema de la divergencia y muestra, de nuevo, una suma (o, en este caso, una integral) de derivadas normales hacia afuera sobre todas las ubicaciones de la frontera. El teorema de la divergencia es válido para dominios D suaves a trozos , y por lo tanto D debe ser suave a trozos.

Así, la función delta prima de superficie (también conocida como función δ' de Dirac ) existe en una superficie lisa a trozos y es equivalente al laplaciano de la función indicadora del dominio D que abarca dicha superficie. Naturalmente, la diferencia entre un punto y una superficie desaparece en una dimensión.

En electrostática, un dipolo superficial (o potencial de doble capa ) puede modelarse mediante la distribución límite del laplaciano del indicador.

El cálculo anterior se deriva de la investigación sobre integrales de trayectoria en física cuántica. ^{[ 2 ]}

Esta sección demostrará que la derivada normal (hacia adentro) del indicador es una función delta de superficie .

Para un dominio finito D o cuando f se anula en el infinito, se deduce del teorema de la divergencia que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}$

Por la regla del producto , se deduce que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

Siguiendo el análisis de la sección anterior , los dos términos del lado izquierdo son iguales y, por lo tanto,

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

El gradiente del indicador se anula en todas partes, excepto cerca del límite de D , donde apunta en la dirección normal. Por lo tanto, solo es relevante la componente de ∇ _x f ( x ) en la dirección normal. Supongamos que, cerca del límite, ∇ _x f ( x ) es igual a n _x g ( x ), donde g es alguna otra función. Entonces se deduce que

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}$

La normal exterior n _x originalmente solo se definió para x en la superficie, pero se puede definir para que exista para todo x ; por ejemplo, tomando la normal exterior del punto límite más cercano a x .

El análisis anterior muestra que − n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D} puede considerarse como la generalización de superficie de la función delta de Dirac unidimensional . Al establecer la función g igual a uno, se deduce que la derivada normal interna del indicador se integra al área de superficie de D.

En electrostática, las densidades de carga superficial (o capas límite simples ) pueden modelarse mediante la función delta superficial, como se describió anteriormente. En algunos casos, por ejemplo, cuando la superficie es esférica, se puede utilizar la función delta de Dirac habitual . En general, la función delta superficial aquí descrita puede utilizarse para representar la densidad de carga superficial en superficies de cualquier forma.

El cálculo anterior se deriva de la investigación sobre integrales de trayectoria en física cuántica. ^{[ 2 ]}

En mecánica cuántica , las interacciones puntuales son bien conocidas y existe una amplia bibliografía sobre el tema. Un ejemplo conocido de potencial singular unidimensional es la ecuación de Schrödinger con un potencial delta de Dirac . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Por otro lado, el potencial primo delta de Dirac unidimensional ha generado controversia. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} La controversia pareció resolverse con un artículo independiente, ^{[ 10 ]} aunque incluso este artículo atrajo críticas posteriores. ^{[ 2 ] [ 11 ]}

Recientemente se ha prestado mucha más atención al potencial primo delta de Dirac unidimensional. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

Un punto en la línea unidimensional puede considerarse tanto un punto como una superficie; como punto, marca el límite entre dos regiones. De este modo, se han realizado dos generalizaciones de la función delta de Dirac a dimensiones superiores: la generalización a un punto multidimensional, ^{[ 29 ] [ 30 ]} así como la generalización a una superficie multidimensional. ^{[ 2 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

Las primeras generalizaciones se conocen como interacciones puntuales, mientras que las últimas se conocen con nombres diferentes, por ejemplo, "interacciones delta-esfera" e "interacciones delta de superficie". Estas últimas generalizaciones pueden utilizar derivadas del indicador, como se explica aquí, o la función delta de Dirac unidimensional en función de la coordenada radial r .

El laplaciano del indicador se ha utilizado en dinámica de fluidos , por ejemplo, para modelar las interfaces entre diferentes medios. ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}

En dinámica molecular , se puede demostrar que la divergencia del indicador ocurre en el contexto de la aplicación del volumen de control al tensor de tensión de Cauchy molecular , lo que proporciona un puente entre la mecánica de medios continuos y la dinámica molecular ^{[ 41 ].}

La divergencia del indicador y el laplaciano del indicador (o de la función característica , como también se conoce al indicador) se han utilizado como información de muestra a partir de la cual se pueden reconstruir superficies. ^{[ 42 ] [ 43 ]}