Superficie paramétrica

Sea la superficie paramétrica dada por la ecuación $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es una función vectorial de los parámetros ( u , v ) y los parámetros varían dentro de un cierto dominio D en el plano paramétrico uv . Las primeras derivadas parciales con respecto a los parámetros se suelen denotar${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$y de forma similar para las derivadas de orden superior,${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}$

En cálculo vectorial , los parámetros se suelen denotar como ( s , t ) y las derivadas parciales se escriben utilizando la notación ∂ : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores $${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$ son linealmente independientes. El plano tangente en un punto regular es el plano afín en R ³ generado por estos vectores y que pasa por el punto r ( u , v ) en la superficie determinada por los parámetros. Cualquier vector tangente puede descomponerse de forma única en una combinación lineal de${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$El producto vectorial de estos vectores es un vector normal al plano tangente . Al dividir este vector por su longitud, se obtiene un vector normal unitario a la superficie parametrizada en un punto regular: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

En general, existen dos opciones para el vector normal unitario a una superficie en un punto dado, pero para una superficie parametrizada regular, la fórmula anterior selecciona consistentemente una de ellas, determinando así la orientación de la superficie. Algunos de los invariantes geométrico-diferenciales de una superficie en R³ están definidos por la propia superficie y son independientes de la orientación, mientras ^que otros cambian de signo si se invierte la orientación.

El área de la superficie se puede calcular integrando la longitud del vector normal.${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$a la superficie sobre la región apropiada D en el plano uv paramétrico : $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de la superficie, salvo en superficies muy especiales, resulta en una compleja integral doble que normalmente se evalúa mediante un sistema de álgebra computacional o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes constituyen excepciones, y sus áreas se conocen explícitamente. Esto se aplica a un cilindro circular , una esfera , un cono , un toroide y algunas otras superficies de revolución .

Esto también puede expresarse como una integral de superficie sobre el campo escalar 1: $${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

La primera forma fundamental es una forma cuadrática.$${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$ en el plano tangente a la superficie que se utiliza para calcular distancias y ángulos. Para una superficie parametrizada${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$Sus coeficientes se pueden calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v},\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

La longitud de arco de las curvas parametrizadas en la superficie S , el ángulo entre curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si ( u ( t ), v ( t )) , a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en esta superficie, entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral: $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

La primera forma fundamental puede considerarse como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivas en el plano tangente en cada punto de la superficie, que dependen suavemente de dicho punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se intersecan en un punto dado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto escalar , y el ángulo puede hallarse a partir de la fórmula estándar. $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$ expresando el coseno del ángulo mediante el producto escalar.

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera: $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

Por la identidad de Lagrange , la expresión bajo la raíz cuadrada es precisamente${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$y por lo tanto es estrictamente positivo en los puntos regulares.

La segunda forma fundamental $${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$ es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie que, junto con la primera forma fundamental, determina las curvaturas de las curvas en la superficie. En el caso especial en que ( u , v ) = ( x , y ) y el plano tangente a la superficie en el punto dado es horizontal, la segunda forma fundamental es esencialmente la parte cuadrática del desarrollo de Taylor de z como función de x e y .

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende solo de las derivadas parciales de orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de las segundas derivadas parciales de${\displaystyle \mathbf {r} }$sobre el vector normal unitario${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$definido por la parametrización: $${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

Al igual que la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental puede considerarse como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie, que dependen suavemente del punto.

Las dos primeras formas fundamentales de una superficie determinan sus invariantes geométrico-diferenciales importantes : la curvatura gaussiana , la curvatura media y las curvaturas principales .

Las curvaturas principales son los invariantes del par formado por la segunda y la primera forma fundamental. Son las raíces κ ₁ , κ ₂ de la ecuación cuadrática. $${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

La curvatura gaussiana K = κ ₁ κ ₂ y la curvatura media H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 se pueden calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

Salvo por un signo, estas magnitudes son independientes de la parametrización utilizada y, por lo tanto, constituyen herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian de signo si se invierte la orientación de la superficie, mientras que la curvatura gaussiana es totalmente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gaussiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K > 0 la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico , mientras que para K < 0 la superficie tiene forma de silla de montar y el punto se llama hiperbólico . Los puntos en los que la curvatura gaussiana es cero se llaman parabólicos . En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada línea parabólica . La primera forma fundamental es definida positiva , por lo tanto su determinante EG − F ² es positivo en todas partes. Por lo tanto, el signo de K coincide con el signo de LN − M ² , el determinante de la segunda forma fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente pueden organizarse en una matriz simétrica : $${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$ Y lo mismo ocurre con los coeficientes de la segunda forma fundamental , también presentada anteriormente: $${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

Definiendo ahora la matriz${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$, las curvaturas principales κ ₁ y κ ₂ son los autovalores de A . ^{[ 1 ]}

Ahora bien, si v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₁ , el vector unitario en la dirección de${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₁ .

En consecuencia, si v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₂ , el vector unitario en la dirección de${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$se denomina vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₂ .