Estructura quirúrgica

En matemáticas , el conjunto de estructuras quirúrgicas${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$Es el objeto básico en el estudio de variedades homotópicamente equivalentes a una variedad cerrada X. Es un concepto que ayuda a responder la pregunta de si dos variedades homotópicamente equivalentes son difeomorfas ( o PL-homeomorfas o homeomorfas ). Existen diferentes versiones del conjunto de estructuras según la categoría (DIFF, PL o TOP) y si se considera o no la torsión de Whitehead .

Sea X una variedad cerrada lisa (o PL o topológica) de dimensión n. Llamamos dos equivalencias homotópicas${\displaystyle f_{i}:M_{i}\to X}$desde colectores cerrados${\displaystyle M_{i}}$de dimensión${\displaystyle n}$a${\displaystyle X}$(${\displaystyle i=0,1}$) equivalente si existe un cobordismo${\displaystyle {\mathcal {}}(W;M_{0},M_{1})}$junto con un mapa${\displaystyle (F;f_{0},f_{1}):(W;M_{0},M_{1})\to (X\times [0,1];X\times \{0\},X\times \{1\})}$de tal manera que${\displaystyle F}$,${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle f_{1}}$son equivalencias homotópicas. El conjunto de estructuras${\displaystyle {\mathcal {S}}^{h}(X)}$es el conjunto de clases de equivalencia de equivalencias homotópicas${\displaystyle f:M\to X}$de variedades cerradas de dimensión n a X. Este conjunto tiene un punto base preferido:${\displaystyle id:X\to X}$.

También hay una versión que tiene en cuenta la torsión de Whitehead. Si requerimos en la definición anterior las equivalencias de homotopía F,${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle f_{1}}$Si se trata de equivalencias homotópicas simples, entonces obtenemos el conjunto de estructura simple.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$.

Observa que${\displaystyle (W;M_{0},M_{1})}$en la definición de${\displaystyle {\mathcal {S}}^{h}(X)}$respectivamente.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$es un h-cobordismo o un s-cobordismo . Usando el teorema del s-cobordismo obtenemos otra descripción para el conjunto de estructura simple.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$, siempre que n>4: El conjunto de estructura simple${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$es el conjunto de clases de equivalencia de equivalencias homotópicas${\displaystyle f:M\to X}$desde colectores cerrados${\displaystyle M}$de dimensión n a X con respecto a la siguiente relación de equivalencia. Dos equivalencias de homotopía${\displaystyle f_{i}:M_{i}\to X}$(i=0,1) son equivalentes si existe un difeomorfismo (o PL-homeomorfismo o homeomorfismo)${\displaystyle g:M_{0}\to M_{1}}$de tal manera que${\displaystyle f_{1}\circ g}$es homotópico a${\displaystyle f_{0}}$.

Mientras estemos tratando con variedades diferenciales, en general no existe una estructura de grupo canónica en${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$Si trabajamos con variedades topológicas, es posible dotarlas de propiedades.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$con una estructura preferida de un grupo abeliano (véase el capítulo 18 del libro de Ranicki ).

Nótese que una variedad M es difeomorfa (o PL-homeomorfa u homeomorfa) a una variedad cerrada X si y solo si existe una equivalencia homotópica simple.${\displaystyle \phi :M\to X}$cuya clase de equivalencia es el punto base en${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$. Es necesario tener cierto cuidado porque puede ser posible que una equivalencia homotópica simple dada${\displaystyle \phi :M\to X}$no es homotópico a un difeomorfismo (o PL-homeomorfismo u homeomorfismo) aunque M y X sean difeomorfos (o PL-homeomorfos u homeomorfos). Por lo tanto, también es necesario estudiar la operación del grupo de clases de homotopía de autoequivalencias simples de X en${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(X)}$.

La herramienta básica para calcular el conjunto de estructura simple es la secuencia exacta de cirugía .

Esferas topológicas: La conjetura generalizada de Poincaré en la categoría topológica dice que${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(S^{n})}$Solo consta del punto base. Esta conjetura fue demostrada por Smale (n > 4), Freedman (n = 4) y Perelman (n = 3).

Esferas exóticas: La clasificación de esferas exóticas de Kervaire y Milnor da${\displaystyle {\mathcal {S}}^{s}(S^{n})=\theta _{n}=\pi _{n}(PL/O)}$para n > 4 (categoría suave).

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