El problema de Suslin

En matemáticas , el problema de Suslin es una cuestión sobre conjuntos totalmente ordenados planteada por Mikhail Yakovlevich Suslin ( 1920 ) y publicada póstumamente. Se ha demostrado que es independiente del sistema axiomático estándar de la teoría de conjuntos conocido como ZFC ; Solovay y Tennenbaum (1971) demostraron que la afirmación no puede probarse ni refutarse a partir de esos axiomas, suponiendo que ZF sea consistente. 

(Suslin también se escribe a veces con la transliteración francesa como Souslin , del cirílico Суслин ).

El problema de Suslin pregunta: Dado un conjunto totalmente ordenado no vacío R con las cuatro propiedades

1. R no tiene un elemento mínimo ni un elemento máximo ;
2. El orden en R es denso (entre cualesquiera dos elementos distintos hay otro);
3. El orden en R es completo , en el sentido de que todo subconjunto acotado no vacío tiene un supremo y un ínfimo ; y
4. toda colección de intervalos abiertos no vacíos mutuamente disjuntos en R es numerable (esta es la condición de cadena numerable para la topología de orden de R ),

¿Es R necesariamente isomorfo al orden de la recta real R ?

Si el requisito de la condición de cadena numerable se reemplaza por el requisito de que R contiene un subconjunto denso numerable (es decir, R es un espacio separable ), entonces la respuesta es efectivamente sí: cualquier conjunto de este tipo R es necesariamente isomorfo en orden a R (demostrado por Cantor ).

La condición para un espacio topológico de que toda colección de conjuntos abiertos disjuntos no vacíos sea como máximo numerable se llama propiedad de Suslin .

Cualquier conjunto totalmente ordenado que no sea isomorfo a R pero que satisfaga las propiedades 1–4 se conoce como una línea de Suslin . La hipótesis de Suslin afirma que no existen líneas de Suslin: que todo orden lineal completo denso sin extremos, con condición de cadena numerable, es isomorfo a la recta real. Una afirmación equivalente es que todo árbol de altura ω ₁ tiene una rama de longitud ω ₁ o una anticadena de cardinalidad ℵ ₁ .

La hipótesis generalizada de Suslin afirma que para cada cardinal regular infinito κ, todo árbol de altura κ tiene una rama de longitud κ o una anticadena de cardinalidad κ. La existencia de líneas de Suslin es equivalente a la existencia de árboles de Suslin y a las álgebras de Suslin .

La hipótesis de Suslin es independiente de ZFC. Jech (1967) y Tennenbaum (1968) utilizaron métodos de forzamiento independientemente para construir modelos de ZFC en los que existen líneas de Suslin. Posteriormente, Jensen demostró que las líneas de Suslin existen si se asume el principio del diamante , una consecuencia del axioma de constructibilidad V  =  L. (El resultado de Jensen fue una sorpresa, ya que previamente se había conjeturado que V  =  L implica que no existen líneas de Suslin, basándose en que V  =  L implica que hay "pocos" conjuntos). Por otro lado, Solovay y Tennenbaum (1971) utilizaron el forzamiento para construir un modelo de ZFC sin líneas de Suslin; más precisamente, demostraron que el axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.

La hipótesis de Suslin también es independiente tanto de la hipótesis del continuo generalizado (demostrada por Ronald Jensen ) como de la negación de la hipótesis del continuo . No se sabe si la hipótesis generalizada de Suslin es consistente con la hipótesis del continuo generalizado; sin embargo, dado que la combinación implica la negación del principio del cuadrado en un cardinal límite fuerte singular —de hecho, en todos los cardinales singulares y todos los cardinales sucesores regulares— , implica que el axioma de determinatividad se cumple en L(R) y se cree que implica la existencia de un modelo interno con un cardinal superfuerte .

• Lista de declaraciones independientes de ZFC
• Hipótesis del continuo
• AD ⁺
• Teorema de isomorfismo de Cantor

• K. Devlin y H. Johnsbråten, El problema de Souslin, Lecture Notes in Mathematics (405) Springer 1974.
• Jech, Tomáš (1967), "No demostrabilidad de la hipótesis de Souslin", Comment. Math. Univ. Carolinae , 8 : 291– 305, MR 0215729 
• Souslin, M. (1920), "Problème 3" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 1 : 223, doi : 10.4064/fm-1-1-223-224
• Solovay, RM; Tennenbaum, S. (1971), "Extensiones iteradas de Cohen y el problema de Souslin", Annals of Mathematics , 94 (2): 201– 245, doi : 10.2307/1970860 , JSTOR 1970860 
• Tennenbaum, S. (1968), "El problema de Souslin.", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 59 (1): 60– 63, Bibcode : 1968PNAS...59...60T , doi : 10.1073/pnas.59.1.60 , MR 0224456 , PMC 286001 , PMID 16591594   
• Grishin, VN (2001) [1994], "Hipótesis de Suslin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press