Rigidez ( teoría K )

En matemáticas, la rigidez de la teoría K abarca resultados que relacionan la teoría K algebraica de diferentes anillos.

La rigidez de Suslin , llamada así en honor a Andrei Suslin , se refiere a la invariancia de la K -teoría algebraica módulo n bajo el cambio de base entre dos cuerpos algebraicamente cerrados : Suslin (1983) demostró que para una extensión

${\displaystyle E/F}$

de cuerpos algebraicamente cerrados y una variedad algebraica X / F , existe un isomorfismo

${\displaystyle K_{*}(X,\mathbf {Z} /n)\cong K_{*}(X\times _{F}E,\mathbf {Z} /n),}$

entre la teoría K mod- n de haces coherentes en X , respectivamente su cambio de base a E. Una explicación de este hecho en el caso X = F , incluyendo el cálculo resultante de la teoría K de campos algebraicamente cerrados en característica p , se encuentra en Weibel (2013) .  

Este resultado ha estimulado otros trabajos. Por ejemplo, Röndigs y Østvær (2008) muestran que el functor de cambio de base para la categoría de homotopía A ¹ estable mod- n

${\displaystyle \mathrm {SH} (F,\mathbf {Z} /n)\to \mathrm {SH} (E,\mathbf {Z} /n)}$

es totalmente fiel. Una afirmación similar para motivos no conmutativos ha sido establecida por Tabuada (2018) .

Otro tipo de rigidez relaciona la teoría K mod- n de un anillo henseliano A con la de su campo residual A / m . Este resultado de rigidez se conoce como rigidez de Gabber , en vista del trabajo de Gabber (1992) que demostró que existe un isomorfismo

${\displaystyle K_{*}(A,\mathbf {Z} /n)=K_{*}(A/m,\mathbf {Z} /n)}$

siempre que n ≥ 1 sea un número entero que sea invertible en A.

Si n no es invertible en A , el resultado anterior sigue siendo válido, siempre que la teoría K sea reemplazada por la fibra del mapa de traza entre la teoría K y la homología cíclica topológica . Esto fue demostrado por Clausen, Mathew y Morrow (2021) .

Jardine (1993) utilizó el resultado de rigidez de Gabber y Suslin para volver a demostrar el cálculo de Quillen de la K-teoría de campos finitos .

• Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2021), "Teoría K y homología cíclica topológica de pares henselianos", J. Amer. Math. Soc. , 34 : 411--473, arXiv : 1803.10897
• Gabber, Ofer (1992), " K -teoría de anillos locales henselianos y pares henselianos", K -teoría algebraica , álgebra conmutativa y geometría algebraica (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., vol. 126, pp. 59–70 , doi : 10.1090/conm/126/00509 , MR 1156502   
• Jardine, JF (1993), "La K-teoría de campos finitos, revisitada", K-Theory , 7 (6): 579– 595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR 1268594 
• Röndigs, Oliver; Østvær, Paul Arne (2008), "Rigidez en la teoría de la homotopía motívica", Mathematische Annalen , 341 (3): 651– 675, doi : 10.1007/s00208-008-0208-5 , SEÑOR 2399164 
• Suslin, Andrei (1983), "Sobre la K -teoría de campos algebraicamente cerrados", Inventiones Mathematicae , 73 (2): 241–245 , doi : 10.1007/BF01394024 , MR 0714090 
• Tabuada, Gonçalo (2018), "Rigidez no conmutativa", Mathematische Zeitschrift , 289 ( 3– 4): 1281– 1298, arXiv : 1703.10599 , doi : 10.1007/s00209-017-1998-5 , MR 3830249 
• Weibel, Charles A. (2013), The K- book , Graduate Studies in Mathematics, vol.  145, American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR 3076731