Grupos Suzuki

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Suzuki , denotados por Sz(2 ^{2 n +1} ), ² B ₂ (2 ^{2 n +1} ), Suz(2 ^{2 n +1} ), o G (2 ^{2 n +1} ), forman una familia infinita de grupos de tipo Lie encontrados por Suzuki  (1960), que son simples para n ≥ 1. Estos grupos simples son los únicos grupos finitos no abelianos con órdenes no divisibles por 3.

Suzuki (1960) construyó originalmente los grupos de Suzuki como subgrupos de SL ₄ ( F _{2 ^{2 n +1}} ) generados por ciertas matrices explícitas.

Ree observó que los grupos de Suzuki eran los puntos fijos de automorfismos excepcionales de algunos grupos simplécticos de dimensión 4, y utilizó esto para construir dos familias más de grupos simples, llamados grupos de Ree . En el caso más bajo, el grupo simpléctico B ₂ (2)≈ S ₆ ; su automorfismo excepcional fija el subgrupo Sz(2) o ² B ₂ (2), de orden 20. Ono (1962) dio una exposición detallada de la observación de Ree.

Tits (1962) construyó los grupos de Suzuki como las simetrías de un cierto ovoide en el espacio proyectivo tridimensional sobre un campo de característica 2.

Wilson (2010) construyó los grupos de Suzuki como el subgrupo del grupo simpléctico en 4 dimensiones que preserva un cierto producto en pares de vectores ortogonales.

Sea q = 2 ^{2 n +1} y r = 2 ⁿ , donde n es un entero no negativo.

Los grupos de Suzuki Sz( q ) o ² B ₂ ( q ) son simples para n ≥1. El grupo Sz(2) es resoluble y es el grupo de Frobenius de orden 20.

Los grupos de Suzuki Sz( q ) tienen órdenes q ² ( q ² +1)( q −1). Estos grupos tienen órdenes divisibles por 5, pero no por 3.

El multiplicador de Schur es trivial para n > 1, el grupo 4 de Klein para n = 1, es decir, Sz(8).

El grupo de automorfismos externos es cíclico de orden 2 n + 1, dado por los automorfismos del cuerpo de orden q .

Los grupos de Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 ^{2 n +1} ) ² +1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el campo con 2 ^{2 n +1} elementos.

Los grupos Suzuki son grupos CN : el centralizador de cada elemento no trivial es nilpotente .

Cuando n es un entero positivo, Sz( q ) tiene al menos 4 tipos de subgrupos máximos.

El subgrupo diagonal es cíclico, de orden q – 1.

• El subgrupo triangular inferior (de Borel) y sus conjugados, de orden q ² ·( q -1). Son estabilizadores de un punto en una representación de permutación doblemente transitiva de Sz( q ).
• El grupo diedro D _{q –1} , normalizador del subgrupo diagonal, y conjugados.
• C _{q +2 r +1} :4
• C _{q –2 r +1} :4
• Grupos Suzuki más pequeños, cuando 2 n + 1 es compuesto.

O bien q +2 r +1 o bien q –2 r +1 es divisible por 5, de modo que Sz( q ) contiene el grupo de Frobenius C ₅ :4.

Suzuki (1960) demostró que el grupo de Suzuki tiene q +3 clases de conjugación. De éstas, q +1 son fuertemente reales y las otras dos son clases de elementos de orden 4.

• q ² +1 2-subgrupos de Sylow de orden q ² , de índice q –1 en sus normalizadores. 1 clase de elementos de orden 2, 2 clases de elementos de orden 4.
• q ² ( q ² +1)/2 subgrupos cíclicos de orden q –1, de índice 2 en sus normalizadores. Estos dan cuenta de ( q –2)/2 clases de conjugación de elementos no triviales.
• Subgrupos cíclicos de orden q +2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Estos dan cuenta de clases de conjugación ( q +2 r )/4 de elementos no triviales.
• Subgrupos cíclicos de orden q –2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Estos dan cuenta de clases de conjugación ( q –2 r )/4 de elementos no triviales.

Los normalizadores de todos estos subgrupos son grupos de Frobenius.

Suzuki (1960) demostró que el grupo de Suzuki tiene q +3 representaciones irreducibles sobre los números complejos, 2 de las cuales son complejas y el resto son reales. Se dan de la siguiente manera:

• El carácter trivial del grado 1.
• La representación de Steinberg de grado q ² , proveniente de la representación de permutación doblemente transitiva.
• ( q –2)/2 caracteres de grado q ² +1
• Dos caracteres complejos de grado r ( q –1) donde r = 2 ⁿ
• ( q +2 r )/4 caracteres de grado ( q –2 r +1)( q –1)
• ( q –2 r )/4 caracteres de grado ( q +2 r +1)( q –1).

• Nouacer, Ziani (1982), "Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki", Diagrammes , 8 : ZN1–ZN29, ISSN  0224-3911, SEÑOR  0780446
• Ono, Takashi (1962), "Una identificación de grupos de Suzuki con grupos de tipo Lie generalizado.", Annals of Mathematics , Segunda serie, 75 (2): 251–259, doi :10.2307/1970173, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970173, MR  0132780
• Suzuki, Michio (1960), "Un nuevo tipo de grupos simples de orden finito", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 46 (6): 868–870, Bibcode :1960PNAS...46..868S, doi : 10.1073/pnas.46.6.868 , ISSN  0027-8424, JSTOR  70960, MR  0120283, PMC  222949 , PMID  16590684
• Suzuki, Michio (1962), "Sobre una clase de grupos doblemente transitivos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 75 (1): 105–145, doi :10.2307/1970423, hdl : 2027/mdp.39015095249804 , ISSN  0003-486X, JSTOR  1970423, MR  0136646
• Tetas, Jacques (1962), "Ovoïdes et groupes de Suzuki", Archiv der Mathematik , 13 : 187–198, doi :10.1007/BF01650065, ISSN  0003-9268, MR  0140572, S2CID  121482873
• Wilson, Robert A. (2010), "Un nuevo enfoque para los grupos de Suzuki", Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge , 148 (3): 425–428, doi :10.1017/S0305004109990399, ISSN  0305-0041, MR  2609300, S2CID  18046565

• http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz8/
• http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz32/