Prueba de intercambio

La prueba de intercambio es un procedimiento en computación cuántica que se utiliza para comprobar la diferencia entre dos estados cuánticos . Apareció por primera vez en el trabajo de Barenco et al. ^{[ 1 ]} y fue redescubierta posteriormente por Harry Buhrman , Richard Cleve , John Watrous y Ronald de Wolf . ^{[ 2 ]} Es común en el aprendizaje automático cuántico y es un circuito utilizado para pruebas de concepto en implementaciones de computadoras cuánticas. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Formalmente, la prueba de intercambio toma dos estados de entrada.${\displaystyle |\phi \rangle }$y${\displaystyle |\psi \rangle }$y genera una variable aleatoria de Bernoulli que es 1 con probabilidad${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}}$(donde las expresiones aquí usan la notación bra-ket ). Esto permite, por ejemplo, estimar el producto interno al cuadrado entre los dos estados,${\displaystyle {|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}}$, a${\displaystyle \varepsilon }$error aditivo al tomar el promedio sobre${\displaystyle O(\textstyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}})}$ejecuciones de la prueba de intercambio. ^{[ 5 ]} Esto requiere${\displaystyle O(\textstyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}})}$copias de los estados de entrada. El producto escalar al cuadrado mide aproximadamente la "superposición" entre los dos estados y puede utilizarse en aplicaciones de álgebra lineal, incluyendo la agrupación de estados cuánticos. ^{[ 6 ]}

Consideremos dos estados:${\displaystyle |\phi \rangle }$y${\displaystyle |\psi \rangle }$El estado del sistema al inicio del protocolo es${\displaystyle |0,\phi ,\psi \rangle }$. Después de la puerta Hadamard , el estado del sistema es${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\phi ,\psi \rangle )}$. La puerta SWAP controlada transforma el estado en${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\psi ,\phi \rangle )}$. La segunda puerta de Hadamard da como resultado $${\displaystyle {\frac {1}{2}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\phi ,\psi \rangle +|0,\psi ,\phi \rangle -|1,\psi ,\phi \rangle )={\frac {1}{2}}|0\rangle (|\phi ,\psi \rangle +|\psi ,\phi \rangle )+{\frac {1}{2}}|1\rangle (|\phi ,\psi \rangle -|\psi ,\phi \rangle )}$$

La puerta de medición en el primer cúbit asegura que sea 0 con una probabilidad de

$${\displaystyle P({\text{Primer qubit}}=0)={\frac {1}{2}}{\Big (}\langle \phi |\langle \psi |+\langle \psi |\langle \phi |{\Big )}{\frac {1}{2}}{\Big (}|\phi \rangle |\psi \rangle +|\psi \rangle |\phi \rangle {\Big )}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}}$$

cuando se mide. Si${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \phi }$son ortogonales${\displaystyle ({|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}=0)}$, entonces la probabilidad de que se mida 0 es${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$Si los estados son iguales${\displaystyle ({|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}=1)}$, entonces la probabilidad de que se mida 0 es 1. ^{[ 2 ]}

En general, para${\displaystyle P}$ensayos de la prueba de intercambio utilizando${\displaystyle P}$copias de${\displaystyle |\phi \rangle }$y${\displaystyle P}$copias de${\displaystyle |\psi \rangle }$, la fracción de mediciones que son cero es${\displaystyle 1-\textstyle {\frac {1}{P}}\textstyle \sum _{i=1}^{P}M_{i}}$, así que tomando${\displaystyle P\rightarrow \infty }$Se puede obtener una precisión arbitraria de este valor.

A continuación se muestra el pseudocódigo para estimar el valor de${\displaystyle |\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}$utilizando copias P de${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\phi \rangle }$:

Las entradas P copian cada uno de los estados cuánticos de los n cúbits.${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\phi \rangle }$Salida Una estimación de${\displaystyle |\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}$para j que varía de 1 a P : inicializar un cúbit auxiliar A en estado${\displaystyle |0\rangle }$ aplicar una puerta Hadamard al cúbit auxiliar A para i que va de 1 a n : aplicar CSWAP a${\displaystyle \psi _{i}}$y${\displaystyle \phi _{i}}$(el i -ésimo cúbit de la j -ésima copia de${\displaystyle |\psi \rangle }$y${\displaystyle |\phi \rangle }$), con A como el cúbit de control aplicar una puerta Hadamard al cúbit auxiliar A medir A en el${\displaystyle Z}$base y registrar la medición M j como 0 o 1 calcular${\displaystyle s=1-\textstyle {\frac {2}{P}}\textstyle \sum _ {i=1}^{P}M_{i}}$. devolver${\displaystyle s}$como nuestra estimación de${\displaystyle |\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}$