La máquina de Atwood oscilante

La máquina de Atwood oscilante (SAM, por sus siglas en inglés) es un mecanismo que se asemeja a una máquina de Atwood simple , excepto que una de las masas puede oscilar en un plano bidimensional, produciendo un sistema dinámico que es caótico para algunos parámetros del sistema y condiciones iniciales .

Específicamente, consta de dos masas (el péndulo , masa $m,$ y el contrapeso, masa $M$ ) conectadas por una cuerda inextensible y sin masa, suspendida de dos poleas sin fricción de radio cero, de manera que el péndulo puede oscilar libremente alrededor de su polea sin chocar con el contrapeso. ^{[ 1 ]}

La máquina de Atwood convencional solo permite soluciones "descontroladas" ( es decir , el péndulo o el contrapeso terminan chocando con su polea), excepto por $M=m$ Sin embargo, la máquina oscilante de Atwood con $M>m$ tiene un gran espacio de parámetros de condiciones que conducen a una variedad de movimientos que pueden clasificarse como terminantes o no terminantes, periódicos , cuasiperiódicos o caóticos, acotados o no acotados, singulares o no singulares ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} debido a la fuerza centrífuga reactiva del péndulo que contrarresta el peso del contrapeso. ^{[ 1 ]} La investigación sobre el SAM comenzó como parte de la tesis de grado de 1982 Smiles and Teardrops (en referencia a la forma de algunas trayectorias del sistema) de Nicholas Tufillaro en Reed College , dirigida por David J. Griffiths . ^{[ 3 ]}

Ecuaciones de movimiento

Movimiento de la máquina oscilante de Atwood para M/m = 4,5

La máquina oscilante de Atwood es un sistema con dos grados de libertad. Sus ecuaciones de movimiento pueden derivarse utilizando la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana . Sea la masa oscilante $m$ y la masa no oscilante sea $M$ . La energía cinética del sistema, $T$ , es:

{\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)\end{aligned}}

dónde $r$ es la distancia de la masa oscilante a su pivote, y $\theta$ es el ángulo de la masa oscilante con respecto a apuntando directamente hacia abajo. La energía potencial $U$ se debe únicamente a la aceleración debida a la gravedad :

{\begin{aligned}U&=Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

Entonces podemos escribir el lagrangiano, ${\mathcal {L}}$ y el hamiltoniano, ${\mathcal {H}}$ del sistema:

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=TU\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-Mgr+mgr\cos {\theta }\\{\mathcal {H}}&=T+U\\&={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

Entonces podemos expresar el hamiltoniano en términos de los momentos canónicos, $p_{r}$ , $p_{\theta }$ :

{\begin{aligned}p_{r}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {r}}}}=(M+m){\dot {r}}\\p_{\theta }&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\\\therefore {\mathcal {H}}&={\frac {p_{r}^{2}}{2(M+m)}}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+Mgr-mgr\cos {\theta }\end{aligned}}

El análisis de Lagrange se puede aplicar para obtener dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden en $r$ y $\theta$ . Primero, el $\theta$ ecuación:

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)\\-mgr\sin {\theta }&=2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}+mr^{2}{\ddot {\theta }}\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+g\sin {\theta }&=0\end{aligned}}

Y el $r$ ecuación:

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)\\mr{\dot {\theta }}^{2}-Mg+mg\cos {\theta }&=(M+m){\ddot {r}}\end{aligned}}

Simplificamos las ecuaciones definiendo la relación de masas. $\mu ={\frac {M}{m}}$ Lo anterior se convierte entonces en:

(\mu +1){\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}+g(\mu -\cos {\theta })=0

El análisis hamiltoniano también puede aplicarse para determinar cuatro EDO de primer orden en términos de $r$ , $\theta$ y sus correspondientes momentos canónicos $p_{r}$ y $p_{\theta }$ :

{\begin{aligned}{\dot {r}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{r}}}}={\frac {p_{r}}{M+m}}\\{\dot {p_{r}}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {r}}}={\frac {p_{\theta }^{2}}{mr^{3}}}-Mg+mg\cos {\theta }\\{\dot {\theta }}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {p_{\theta }}}}={\frac {p_{\theta }}{mr^{2}}}\\{\dot {p_{\theta }}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta }}}=-mgr\sin {\theta }\end{aligned}}

Nótese que en ambas derivaciones, si se establece $\theta$ y velocidad angular ${\dot {\theta }}$ A cero, el caso especial resultante es la máquina de Atwood regular sin oscilación :

{\ddot {r}}=g{\frac {1-\mu }{1+\mu }}=g{\frac {mM}{m+M}}

La máquina oscilante de Atwood tiene un espacio de fase de cuatro dimensiones definido por $r$ , $\theta$ y sus correspondientes momentos canónicos $p_{r}$ y $p_{\theta }$ Sin embargo, debido a la conservación de la energía, el espacio de fases está restringido a tres dimensiones.

Sistema con poleas enormes

Si se considera que las poleas del sistema tienen momento de inercia $I$ y radio $R$ , el hamiltoniano del SAM es entonces: ^{[ 4 ]}

{\mathcal {H}}\left(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }}\right)=\underbrace {{\frac {1}{2}}M_{t}\left(R{\dot {\theta }}-{\dot {r}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}} _{T}+\underbrace {gr\left(M-m\cos {\theta }\right)+gR\left(m\sin {\theta }-M\theta \right)} _{U},

Donde M _t es la masa total efectiva del sistema,

M_{t}=M+m+{\frac {I}{R^{2}}}

Esto se reduce a la versión anterior cuando $R$ y $I$ se vuelven cero. Las ecuaciones de movimiento son ahora: ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\mu _{t}({\ddot {r}}-R{\ddot {\theta }})&=r{\dot {\theta }}^{2}+g(\cos {\theta }-\mu )\\r{\ddot {\theta }}&=-2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+R{\dot {\theta }}^{2}-g\sin {\theta }\\\end{aligned}}

dónde $\mu _{t}=M_{t}/m$ .

Integrabilidad

Los sistemas hamiltonianos se pueden clasificar como integrables y no integrables. SAM es integrable cuando la relación de masas $\mu =M/m=3$ . ^{[ 5 ]} El sistema también parece bastante regular para $\mu =4n^{2}-1=3,15,35,...$ , pero el $\mu =3$ Este caso es la única relación de masa integrable conocida. Se ha demostrado que el sistema no es integrable para $\mu \in (0,1)\cup (3,\infty )$ . ^{[ 6 ]} Para muchos otros valores de la relación de masas (y condiciones iniciales), SAM muestra un movimiento caótico .

Los estudios numéricos indican que cuando la órbita es singular (condiciones iniciales: $r=0,{\dot {r}}=v,\theta =\theta _{0},{\dot {\theta }}=0$ ), el péndulo ejecuta un único bucle simétrico y regresa al origen, independientemente del valor de $\theta _{0}$ . Cuando $\theta _{0}$ Cuando es pequeña (casi vertical), la trayectoria describe una "lágrima"; cuando es grande, describe un "corazón". Estas trayectorias se pueden resolver exactamente algebraicamente, lo cual es inusual para un sistema con un hamiltoniano no lineal. ^{[ 7 ]}

Trayectorias

La masa oscilante de la máquina de Atwood describe trayectorias u órbitas interesantes al estar sujeta a diferentes condiciones iniciales y a diferentes relaciones de masa. Estas incluyen órbitas periódicas y órbitas de colisión.

Órbitas no singulares

Para ciertas condiciones, el sistema exhibe un movimiento armónico complejo . ^{[ 1 ]} La órbita se denomina no singular si la masa oscilante no toca la polea.

Selección de órbitas no singulares

Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =2$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =3$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =5$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =6$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =16$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =19$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =21$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =24$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.

Órbitas periódicas

{\displaystyle \theta _{0}} — Órbitas de tipo A para $\theta _{0}$ que van desde 0,1 hasta 3,1.

Cuando los diferentes componentes armónicos del sistema están en fase, la trayectoria resultante es simple y periódica, como la trayectoria de "sonrisa", que se asemeja a la de un péndulo ordinario , y varios bucles. ^{[ 3 ]}^{[ 8 ]} En general, existe una órbita periódica cuando se cumple lo siguiente: ^{[ 1 ]}

r(t+\tau )=r(t),\,\theta (t+\tau )=\theta (t)

El caso más simple de órbitas periódicas es la órbita "sonrisa", que Tufillaro denominó órbitas de tipo A en su artículo de 1984. ^{[ 1 ]}

Selección de órbitas periódicas

Una órbita de "sonrisa" de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =1.665$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =2.394$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =1.1727$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =1.555$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.

Órbitas singulares

El movimiento es singular si en algún punto la masa oscilante pasa por el origen. Dado que el sistema es invariante bajo inversión temporal y traslación, es equivalente decir que el péndulo comienza en el origen y se dispara hacia afuera: ^{[ 1 ]}

r(0)=0

La región cercana al punto de pivote es singular, ya que $r$ es cercano a cero y las ecuaciones de movimiento requieren dividir por $r$ . Por lo tanto, deben utilizarse técnicas especiales para analizar rigurosamente estos casos. ^{[ 9 ]}

A continuación se muestran gráficos de órbitas singulares seleccionadas arbitrariamente.

Selección de órbitas singulares

Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =10$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.
Una órbita de la máquina oscilante de Atwood para $\mu =25$ , $\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}$ y velocidad inicial cero.

Órbitas de colisión

Las órbitas de colisión (o singulares terminantes) son un subconjunto de las órbitas singulares que se forman cuando la masa oscilante es expulsada de su pivote con una velocidad inicial, de tal manera que regresa al pivote (es decir, colisiona con el pivote):

r(\tau )=r(0)=0,\,\tau >0

El caso más simple de órbitas de colisión son aquellas con una relación de masas de 3, que siempre regresarán simétricamente al origen después de ser eyectadas de él, y fueron denominadas órbitas de tipo B en el artículo inicial de Tufillaro. ^{[ 1 ]} También se las conocía como órbitas de lágrima, corazón u oreja de conejo debido a su apariencia. ^{[ 3 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Cuando la masa oscilante regresa al origen, la masa del contrapeso, $M$ debe cambiar de dirección instantáneamente, provocando una tensión infinita en la cuerda de conexión. Por lo tanto, podemos considerar que el movimiento termina en este momento. ^{[ 1 ]}

Limitación

Para cualquier posición inicial, se puede demostrar que la masa oscilante está delimitada por una curva que es una sección cónica . ^{[ 2 ]} El pivote es siempre un foco de esta curva delimitadora. La ecuación para esta curva se puede derivar analizando la energía del sistema y utilizando la conservación de la energía. Supongamos que $m$ es liberado del reposo en $r=r_{0}$ y $\theta =\theta _{0}$ Por lo tanto, la energía total del sistema es:

E={\frac {1}{2}}M{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

Sin embargo, observe que en el caso límite, la velocidad de la masa oscilante es cero. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, tenemos:

Mgr-mgr\cos {\theta }=Mgr_{0}-mgr_{0}\cos {\theta _{0}}

Para ver que es la ecuación de una sección cónica, aislamos para $r$ :

{\begin{aligned}r&={\frac {h}{1-{\frac {\cos {\theta }}{\mu }}}}\\h&=r_{0}\left(1-{\frac {\cos {\theta _{0}}}{\mu }}\right)\end{aligned}}

Nótese que el numerador es una constante que depende únicamente de la posición inicial en este caso, ya que hemos supuesto que la condición inicial es de reposo. Sin embargo, la constante de energía $h$ También se puede calcular para una velocidad inicial distinta de cero, y la ecuación sigue siendo válida en todos los casos. ^{[ 2 ]} La excentricidad de la sección cónica es ${\frac {1}{\mu }}$ . Para $\mu >1$ , esta es una elipse, y el sistema está acotado y la masa oscilante siempre permanece dentro de la elipse. Para $\mu =1$ , es una parábola y para $\mu <1$ es una hipérbola; en cualquiera de estos casos, no está acotada. Como $\mu$ Cuando se vuelve arbitrariamente grande, la curva límite se aproxima a un círculo. La región encerrada por la curva se conoce como la región de Hill. ^{[ 2 ]}

Extensión tridimensional reciente

En 2016 se anunció un nuevo caso integrable para el problema de la máquina Atwood oscilante tridimensional (3D-SAM). ^{[ 10 ]} Al igual que la versión 2D, el problema es integrable cuando $M=3m$ .

Referencias

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Lecturas adicionales

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Barrera, Emmanuel Jan (2003) Dinámica de una máquina de Atwood de doble oscilación , Tesis de licenciatura, Instituto Nacional de Física, Universidad de Filipinas.
Babelon, O, M. Talon, MC Peyranere (2010), "Análisis de Kowalevski de una máquina de Atwood oscilante", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical Vol. 43 (8).
Bruhn, B. (1987) "Caos y orden en sistemas débilmente acoplados de osciladores no lineales," Physica Scripta Vol.35(1).
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Casasayas, J, A. Nunes y NB Tufillaro (1990) "La máquina oscilante de Atwood: integrabilidad y dinámica", Journal de Physique Vol.51, p1693.
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Griffiths DJ y TA Abbott (1992) "Comentario sobre "Una sorprendente demostración de mecánica," American Journal of Physics Vol.60(10), p951-953.
Moreira, IC y MA Almeida (1991) "Simetrías de Noether y la máquina oscilante de Atwood", Journal of Physics II France 1, p711-715.
Nunes, A., J. Casasayas y NB Tufillaro (1995) "Órbitas periódicas de la máquina de Atwood oscilante integrable", American Journal of Physics Vol.63(2), p121-126.
Ouazzani-TH, A. y Ouzzani-Jamil, M., (1995) "Bifurcaciones de toros de Liouville de un caso integrable de máquina de Atwood oscilante," Il Nuovo Cimento B Vol. 110 (9).
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Enlaces externos

Curso del Imperial College
Oscilaciones en la máquina de Atwood
"Sonrisas y lágrimas" (1982)
Vídeos de 2010 de una máquina de Atwood oscilante experimental.
Código Java de código abierto para ejecutar la máquina Swinging Atwood's

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