Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son un conjunto de teoremas que llevan el nombre del matemático noruego Peter Ludwig Sylow ^{[ 1 ]} y que proporcionan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado . Los teoremas de Sylow constituyen una parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos simples finitos .

Para un número primo $p$ , un p -grupo es un grupo cuya cardinalidad es una potencia de $p;$ o equivalentemente, el orden de cada elemento del grupo es alguna potencia de $p$ . Un p -subgrupo de Sylow (a veces p -subgrupo de Sylow ) de un grupo finito $G$ es un máximo $p$ -subgrupo de $G$ , es decir, un subgrupo de $G$ que es un p -grupo y no es un subgrupo propio de ningún otro $p$ -subgrupo de $G$ . El conjunto de todos Sylow $p$ -subgrupos para un primo dado $p$ a veces está escrito ${\text{Syl}}_{p}(G)$ .

Los teoremas de Sylow afirman un recíproco parcial del teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito $G$ el orden (número de elementos) de cada subgrupo de $G$ divide el orden de $G$ Los teoremas de Sylow establecen que para cada factor primo $p$ del orden de un grupo finito $G$ , existe un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ del orden $p^{n}$ , el poder más alto de $p$ que divide el orden de $G$ . Además, cada subgrupo de orden $p^{n}$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ y el Sylow $p$ -subgrupos de un grupo (para un primo dado) $p$ ) son conjugados entre sí. Además, el número de Sylow $p$ -subgrupos de un grupo para un número primo dado $p$ es congruente con 1 (mod $p$ ).

Teoremas

Motivación

Los teoremas de Sylow son una afirmación poderosa sobre la estructura de los grupos en general, pero también son poderosos en aplicaciones de la teoría de grupos finitos. Esto se debe a que proporcionan un método para utilizar la descomposición prima de la cardinalidad de un grupo finito. $G$ para dar enunciados sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, proporciona una técnica para transportar información básica de teoría de números sobre un grupo a su estructura de grupo. A partir de esta observación, clasificar grupos finitos se convierte en un juego de encontrar qué combinaciones/construcciones de grupos de orden menor se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas es la clasificación de grupos finitos de cierta cardinalidad fija, p. ej. $|G|=60$ . ^{[ 2 ]}

Declaración

Las colecciones de subgrupos que son maximales en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El sorprendente resultado aquí es que en el caso de $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ , todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el mayor orden posible: si $|G|=p^{n}m$ con $n>0$ donde $p$ no divide a $m$ , entonces todo subgrupo de Sylow $p$ $P$ tiene orden $|P|=p^{n}$ . Es decir, $P$ es un $p$ -grupo y ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ Estas propiedades pueden ser explotadas para analizar más a fondo la estructura de $G.$

Los siguientes teoremas fueron propuestos y demostrados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872 y publicados en Mathematische Annalen .

Teorema (1) — Para cada factor primo $p$ con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , existe un subgrupo de Sylow $p$ de $G$ , de orden $p^{n}$ .

La siguiente versión más débil del teorema 1 fue demostrada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como el teorema de Cauchy .

Corolario — Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p que divide$ ^el orden de $G$ , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo cíclico generado por este elemento) de orden $p$ en $G.$ ^[³ ]

Teorema (2) — Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ , todos los subgrupos de Sylow $p$ de $G$ son conjugados entre sí. Es decir, si $H$ y $K$ son subgrupos de Sylow $p de$ $G$ , entonces existe un elemento $g\in G$ con $g^{-1}Hg=K$ .

Teorema (3) — Sea $p$ un factor primo con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , de modo que el orden de $G$ se puede escribir como $p^{n}m$ , dónde $n>0$ y $p$ no divide a $m$ . Sea $n_{p}$ $Sea G$ el número de subgrupos $p$ de Sylow . Entonces se cumplen las siguientes condiciones:

$n_{p}$ divide a $m$ , que es el índice del subgrupo $p de$ Sylow en $G.$
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , donde $P$ es cualquier subgrupo $p de Sylow de$ $G$ y $N_{G}$ denota el normalizador .

Consecuencias

Si $p^{m}$ es cualquier potencia prima que divide el orden de $G$ , entonces existe un subgrupo de $G$ del orden $p^{m}$ Esto se demuestra fácilmente que es cierto para los p- grupos , y el primer teorema de Sylow garantiza la existencia de un p- subgrupo suficientemente grande de $G$ .

Los teoremas de Sylow implican que para un número primo $p$ todo Sylow $p$ -subgrupos de $G$ tienen el mismo orden, $p^{n}$ , el poder más alto de $p$ dividiendo el orden de $G$ . Por el contrario, todos los subgrupos de orden $p^{n}$ son Sylow $p$ -subgrupo, y por lo tanto todos son conjugados entre sí. Además, debido a la condición de maximalidad, cualquier $p$ -subgrupo de $G$ es un subgrupo de un $p$ -subgrupo de $G$ del orden $p^{n}$ .

Una consecuencia importante del Teorema 2 es que la condición $n_{p}=1$ es equivalente a la condición de que Sylow $p$ -subgrupo de $G$ es un subgrupo normal (el Teorema 3 a menudo se puede usar para demostrar $n_{p}=1$ ). Sin embargo, existen grupos que tienen subgrupos normales adecuados y no triviales, pero no subgrupos normales de Sylow, como por ejemplo: $S_{4}$ Los grupos que son de orden de potencia prima no tienen Sylow propio. $p$ -subgrupos.

El tercer punto del tercer teorema tiene como consecuencia inmediata que $n_{p}$ divide $|G|$ .

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Existe un análogo de los teoremas de Sylow para grupos infinitos. Se define un $p$ -subgrupo de Sylow en un grupo infinito como un p -subgrupo (es decir, cada elemento en él tiene orden de potencia $p$ ) que es maximal para la inclusión entre todos $los p$ -subgrupos del grupo. Sea $\operatorname {Cl} (K)$ denotan el conjunto de conjugados de un subgrupo $K\subset G$ .

Teorema — Si $K$ es un subgrupo $p de Sylow de$ $G$ , y $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ es finito, entonces cada subgrupo $p$ de Sylow es conjugado a $K$ y $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$ .

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de los subgrupos de Sylow y los teoremas de Sylow es el grupo diedral del n -gono, D _{2 n} . Para n impar, 2 = 2 ¹ es la mayor potencia de 2 que divide el orden, y por lo tanto, los subgrupos de orden 2 son subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n , y todos son conjugados bajo rotaciones; geométricamente, los ejes de simetría pasan por un vértice y un lado.

Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow, sino que se dividen en dos clases de conjugación, geométricamente según si pasan por dos vértices o dos caras. Estas clases están relacionadas por un automorfismo externo , que puede representarse mediante una rotación de π/ n , la mitad de la rotación mínima en el grupo diedral.

Otro ejemplo son los p-subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ), donde p y q son primos ≥ 3 y $p \equiv 1 (mod q)$ , que son todos abelianos . El orden de GL ₂ ( F _q ) es $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . Como $q = p n m + 1$ , el orden de $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Por lo tanto, según el Teorema 1, el orden de los p- subgrupos de Sylow es p ^{2 n} .

Uno de esos subgrupos P es el conjunto de matrices diagonales. ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ , x es cualquier raíz primitiva de F _q . Dado que el orden de F _q es $q - 1$ , sus raíces primitivas tienen orden q − 1, lo que implica que $x (q - 1)/ p n$ o x ^m y todas sus potencias tienen un orden que es una potencia de p . Por lo tanto, P es un subgrupo donde todos sus elementos tienen órdenes que son potencias de p . Hay p ⁿ opciones tanto para a como para b , haciendo $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ . Esto significa que P es un p- subgrupo de Sylow, que es abeliano, ya que todas las matrices diagonales conmutan, y debido a que el Teorema 2 establece que todos los p- subgrupos de Sylow son conjugados entre sí, los p- subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ) son todos abelianos.

Ejemplos de aplicaciones

Dado que el teorema de Sylow garantiza la existencia de p-subgrupos de un grupo finito, vale la pena estudiar con más detalle los grupos de orden potencia de un número primo. La mayoría de los ejemplos utilizan el teorema de Sylow para demostrar que un grupo de un orden particular no es simple . Para grupos de orden pequeño, la condición de congruencia del teorema de Sylow suele ser suficiente para garantizar la existencia de un subgrupo normal . El teorema p ^a q ^b de Burnside establece que si el orden de un grupo es el producto de una o dos potencias de un número primo , entonces es resoluble y, por lo tanto, no es simple (excepto si es cíclico de orden primo).

Órdenes de grupo cíclicas

Algunos números no primos n son tales que todo grupo de orden n es cíclico. Se puede demostrar que n = 15 es uno de esos números utilizando los teoremas de Sylow: Sea G un grupo de orden 15 = 3 · 5 y n ₃ el número de subgrupos de Sylow de orden 3. Entonces n ₃ $\mid$ 5 y n ₃ ≡ 1 (mod 3). El único valor que satisface estas restricciones es 1; por lo tanto, solo hay un subgrupo de orden 3, y debe ser normal (ya que no tiene conjugados distintos). De manera similar, n ₅ debe dividir a 3, y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5); por lo tanto, también debe tener un único subgrupo normal de orden 5. Como 3 y 5 son coprimos , la intersección de estos dos subgrupos es trivial, y por lo tanto G debe ser el producto directo interno de grupos de orden 3 y 5, es decir, el grupo cíclico de orden 15. Por lo tanto, solo hay un grupo de orden 15 ( salvo isomorfismo).

De forma más general, se puede demostrar con un argumento similar que si n = pq , donde p y q son números primos distintos tales que p no divide a q-1 , entonces todo grupo de orden n es cíclico. La condición de que p no divida a q-1 es necesaria: por ejemplo, el grupo diedral D _p , donde p es un primo impar, tiene orden 2p pero no es cíclico.

Los grupos pequeños no son sencillos

Una aplicación más complicada es encontrar el orden del grupo simple más pequeño que no sea cíclico . El teorema p ^a q ^b de Burnside descarta todos los grupos hasta el orden 30 = 2 · 3 · 5 .

Si | G | = 30 y G fuera simple, entonces n ₃ > 1 para evitar un subgrupo normal de orden 3, y n ₃ debe dividir a 10 = 2 · 5 y ser igual a 1 (mod 3), por lo tanto n ₃ = 10. El grupo entonces tiene 10 subgrupos cíclicos distintos de orden 3, cada uno con 2 elementos de orden 3. Esto significa que G tiene al menos 20 elementos distintos de orden 3. De manera similar, n ₅ = 6, ya que n ₅ > 1 debe dividir a 6 = 2 · 3, y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5). Por lo tanto, G también tiene 24 elementos distintos de orden 5. Pero el orden de G es solo 30, por lo que no puede existir un grupo simple de orden 30.

Ahora supongamos que | G | = 42 = 2 · 3 · 7 y que G fuera simple. Aquí n ₇ > 1 debe dividir 6 = 2 · 3 y n ₇ debe ser igual a 1 (mod 7), lo cual es imposible.

Por otro lado, si | G | = 60 = 2² ^· 3 · 5, entonces n³ ₌ 10 y n⁵ = ₆ es perfectamente posible. De hecho, el grupo simple no cíclico más pequeño es A₅ , el grupo alternante sobre 5 elementos. Tiene orden ₆₀ y tiene 24 permutaciones cíclicas de orden 5 y 20 de orden 3. De hecho, si | G | = 60 y n⁵ > ₁ , entonces G es simple.

Teorema de Wilson

Parte del teorema de Wilson afirma que

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

para cada primo p . Este teorema se puede demostrar fácilmente mediante el tercer teorema de Sylow. En efecto, observe que el número n _p de los p-subgrupos de Sylow en el grupo simétrico S p es 1 / p − ₁ veces el número de p - ciclos en S _p , es decir, $(p - 2)!$ . Por otro lado, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Por lo tanto, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Así pues, $(p - 1)! \equiv - 1 (mod p)$ .

Resultados de la fusión

El argumento de Frattini muestra que un subgrupo de Sylow de un subgrupo normal proporciona una factorización de un grupo finito. Una ligera generalización conocida como el teorema de fusión de Burnside establece que si G es un grupo finito con un subgrupo de Sylow p, P, y dos subconjuntos A y B normalizados por P , entonces A y B son G -conjugados si y solo si son N _G ( P )-conjugados. La demostración es una simple aplicación del teorema de Sylow: si B = A ^g , entonces el normalizador de B contiene no solo P sino también P ^g (ya que P ^g está contenido en el normalizador de A ^g ). Por el teorema de Sylow, P y P ^g son conjugados no solo en G , sino también en el normalizador de B . Por lo tanto, gh ⁻¹ normaliza P para algún h que normaliza B , y entonces A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , de modo que A y B son N _G ( P )-conjugados. El teorema de fusión de Burnside se puede utilizar para dar una factorización más potente llamada producto semidirecto : si G es un grupo finito cuyo subgrupo de Sylow p, P, está contenido en el centro de su normalizador, entonces G tiene un subgrupo normal K de orden coprimo a P , G = PK y P ∩ K = {1}, es decir, G es p -nilpotente .

Entre las aplicaciones menos triviales de los teoremas de Sylow se encuentra el teorema del subgrupo focal , que estudia el control que un subgrupo p de Sylow del subgrupo derivado ejerce sobre la estructura del grupo completo. Este control se aprovecha en varias etapas de la clasificación de grupos simples finitos y, por ejemplo, define las divisiones de casos utilizadas en el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein, que clasifica los grupos simples finitos cuyo subgrupo 2 de Sylow es un grupo cuasi-diédrico . Estas divisiones se basan en el fortalecimiento que J. L. Alperin hizo de la parte de conjugación del teorema de Sylow para controlar qué tipos de elementos se utilizan en la conjugación.

Demostración de los teoremas de Sylow

Los teoremas de Sylow se han demostrado de varias maneras, y la historia de las demostraciones en sí es objeto de muchos artículos, incluidos Waterhouse, ^{[ 4 ]} Scharlau, ^{[ 5 ]} Casadio y Zappa, ^{[ 6 ]} Gow, ^{[ 7 ]} y en cierta medida Meo. ^{[ 8 ]}

Una demostración de los teoremas de Sylow explota la noción de acción de grupo de diversas maneras creativas. El grupo $G$ actúa sobre sí mismo o sobre el conjunto de sus p -subgrupos de diversas maneras, y cada una de estas acciones puede explotarse para demostrar uno de los teoremas de Sylow. Las siguientes demostraciones se basan en argumentos combinatorios de Wielandt. ^{[ 9 ]} A continuación, utilizamos $a\mid b$ como notación para "a divide a b" y $a\nmid b$ para la negación de esta afirmación.

Teorema (1) — Un grupo finito G cuyo orden $|G|$ es divisible por una potencia prima p ^k tiene un subgrupo de orden p ^k .

Prueba

Sea $| G | = p k m = p k + r u$ tal que $p\nmid u$ y sea Ω el conjunto de subconjuntos de $G$ de tamaño p ^k . $G$ actúa sobre Ω mediante multiplicación por la izquierda: para $g \in G$ y $ω \in Ω$ , $g \cdot ω = {g x | x \in ω}$ . Para un conjunto dado $ω \in Ω$ , escribimos G _ω para su subgrupo estabilizador ${g \in G | g \cdot ω = ω}$ y G ω para su órbita ${g \cdot ω | g \in G}$ en Ω.

La demostración mostrará la existencia de algún $ω \in Ω$ para el cual $G$ _$ω$ tiene p ^k elementos, proporcionando el subgrupo deseado. Este es el tamaño máximo posible de un subgrupo estabilizador $G$ _$ω$ , ya que para cualquier elemento fijo $α \in ω \subseteq G$ , la clase lateral derecha $G$ _$ω$ $α$ está contenida en $ω$ ; por lo tanto, $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

Por el teorema del estabilizador de órbita tenemos $| G ω | | G ω | = | G |$ para cada $ω \in Ω$ , y por lo tanto usando la valuación p-ádica aditiva ν _p , que cuenta el número de factores p , se tiene $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Esto significa que para aquellos $ω$ con $| G ω | = p k$ , los que estamos buscando, se tiene $ν p (| G ω |) = r$ , mientras que para cualquier otro $ω$ se tiene $ν p (| G ω |) > r$ (ya que $0 < | G ω | < p k$ implica $ν p (| G ω |) < k)$ . Dado que $| Ω |$ es la suma de $| G ω |$ Sobre todas las órbitas distintas $G$ $ω$ , se puede demostrar la existencia de ω del primer tipo mostrando que $ν p (| Ω |) = r$ (si no existiera ninguna, esa valoración excedería r ). Este es un ejemplo del teorema de Kummer (ya que en notación de base p el número $| G |$ termina con precisamente k + r dígitos cero, restarle p ^k implica un acarreo en r posiciones), y también se puede demostrar mediante un cálculo sencillo:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}mj}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}mj/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

y ninguna potencia de p permanece en ninguno de los factores dentro del producto de la derecha. Por lo tanto, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , completando la demostración.

Cabe señalar que, a la inversa, todo subgrupo H de orden p ^k da lugar a conjuntos $ω \in Ω$ para los cuales G _ω = H , es decir, cualquiera de los m conjuntos laterales distintos Hg .

Lema — Sea $H$ un $p$ -grupo finito, sea Ω un conjunto finito sobre el que actúa $H$ , y sea Ω ₀ el conjunto de puntos de Ω que son fijos bajo la acción de $H.$ Entonces $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Prueba

Cualquier elemento $x \in Ω$ no fijado por $H$ estará en una órbita de orden $| H | / | H x |$ (donde H _x denota el estabilizador ), que es un múltiplo de $p$ por hipótesis. El resultado se deduce inmediatamente escribiendo $| Ω |$ como la suma de $| H x |$ sobre todas las órbitas distintas $H$ $x$ y reduciendo módulo $p$ .

Teorema (2) — Si H es un p- subgrupo de $G$ y P es un p- subgrupo de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ tal que g ⁻¹Hg ≤ P. En particular, todos los p- subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados entre sí (y por lo tanto isomorfos ) , es decir, si H y K son p- subgrupos de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ con g ⁻¹Hg = K.

Prueba

Sea Ω el conjunto de clases laterales izquierdas de P en $G$ y sea H actuando sobre Ω mediante multiplicación por la izquierda. Aplicando el lema a H sobre Ω, vemos que $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . Ahora bien, $p\nmid [G:P]$ por definición así $p\nmid |\Omega _{0}|$ , por lo tanto, en particular $| Ω 0 | \neq 0$ , de modo que existe algún $gP \in Ω 0$ . Con este gP , tenemos hgP = gP para todo $h \in H$ , por lo que g ⁻¹HgP = P y, por consiguiente, g ⁻¹Hg ≤ P . Además, si H es un p- subgrupo de Sylow, entonces $| g -1 Hg | = | H | = | P |$ de modo que g ⁻¹Hg = P .

Teorema (3) — Sea q el orden de cualquier p- subgrupo de Sylow P de un grupo finito G. Sea n _p el número de p- subgrupos de Sylow de G. Entonces (a) $n$ $p$ $= [$ $G$ $:$ $N$ $G$ $($ $P$ $)]$ (donde N _G ( P ) es el normalizador de P ), (b) $n$ $p$ divide $|$ $G$ $|$ $/$ $q$ , y (c) $n$ $p$ $\equiv 1 (mod$ $p$ $)$ .

Prueba

Sea Ω el conjunto de todos los p- subgrupos de Sylow de $G$ y sea $G$ actuando sobre Ω por conjugación. Sea $P \in Ω$ un p -subgrupo de Sylow. Por el Teorema 2, la órbita de P tiene tamaño n _p , por lo que por el teorema del estabilizador de órbita $n p = [G : G P]$ . Para esta acción de grupo, el estabilizador $G$ _P viene dado por ${g \in G | gPg -1 = P} = N G (P)$ , el normalizador de P en G . Por lo tanto, $n p = [G : N G (P)]$ , y se deduce que este número es un divisor de $[G : P] = | G | / q$ .

Ahora sea P actuando sobre Ω por conjugación, y sea Ω ₀ el conjunto de puntos fijos de esta acción. Sea $Q \in Ω 0$ y observemos que entonces $Q = xQx -1$ para todo $x \in P$ de modo que P ≤ N _G ( Q ). Por el Teorema 2, P y Q son conjugados en N _G ( Q ) en particular, y Q es normal en N _G ( Q ), por lo que P = Q . Se deduce que Ω ₀ = { P } de modo que, por el Lema, $| Ω | \equiv | Ω 0 | = 1 (mod p)$ .

Algoritmos

El problema de encontrar un subgrupo de Sylow de un grupo dado es un problema importante en la teoría computacional de grupos .

Una prueba de la existencia de subgrupos p de Sylow es constructiva: si H es un subgrupo p de G y el índice [ G : H ] es divisible por p , entonces el normalizador N = N _G ( H ) de H en G también es tal que [ N : H ] es divisible por p . En otras palabras, se puede encontrar un sistema generador policíclico de un subgrupo p de Sylow partiendo de cualquier subgrupo p H (incluida la identidad) y tomando elementos de orden p -potencia contenidos en el normalizador de H pero no en H mismo. La versión algorítmica de esto (y muchas mejoras) se describe en forma de libro de texto en Butler, ^{[ 10 ]} incluyendo el algoritmo descrito en Cannon. ^{[ 11 ]} Estas versiones todavía se utilizan en el sistema de álgebra computacional GAP .

En grupos de permutaciones , se ha demostrado, en Kantor ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} y Kantor y Taylor, ^{[ 15 ],} que un p- subgrupo de Sylow y su normalizador pueden hallarse en tiempo polinomial respecto de la entrada (el grado del grupo multiplicado por el número de generadores). Estos algoritmos se describen en forma de libro de texto en Seress, ^{[ 16 ]} y ahora se están volviendo prácticos a medida que el reconocimiento constructivo de grupos simples finitos se convierte en una realidad. En particular, se utilizan versiones de este algoritmo en el sistema de álgebra computacional Magma .

Véase también

Notas

^ Sylow, L. (1872). "Théorèmes sur les groupes de sustituciones" . Matemáticas. Ana. (en francés). 5 (4): 584– 594. doi : 10.1007/BF01442913 . JFM 04.0056.02 . S2CID 121928336 .
↑ Gracia–Saz, Alfonso. "Clasificación de grupos de orden 60" (PDF) . math.toronto.edu . Archivado (PDF) del original el 28 de octubre de 2020. Recuperado el 8 de mayo de 2021 .
^ Fraleigh, John B. (2004). Un primer curso de álgebra abstracta . con contribución de Victor J. Katz . Educación Pearson. pag. 322.ISBN 9788178089973.
↑ Waterhouse 1980 .
↑ Scharlau 1988 .
↑ Casadio y Zappa 1990 .
↑ Gow 1994 .
↑ Meo 2004 .
↑ Wielandt 1959 .
↑ Butler 1991 , Capítulo 16.
↑ Cannon 1971 .
↑ Kantor 1985a .
↑ Kantor 1985b .
↑ Kantor 1990 .
↑ Kantor y Taylor 1988 .
↑ Seress 2003 .

Referencias

Pruebas

Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990). "Historia del teorema de Sylow y sus demostraciones". Cápsula. Historia de ciencia. Estera. (en italiano). 10 (1): 29– 75. ISSN 0392-4432 . SEÑOR 1096350 . Zbl 0721.01008 .
Gow, Rod (1994). "Demostración de Sylow del teorema de Sylow" . Irish Math. Soc. Bull. . 0033 (33): 55– 63. doi : 10.33232/BIMS.0033.55.63 . ISSN 0791-5578 . MR 1313412 . Zbl 0829.01011 .
Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999). "Una demostración formal del teorema de Sylow. Un experimento en álgebra abstracta con Isabelle HOL" ( PDF) . J. Automat. Reason. 23 ( 3): 235–264 . doi : 10.1023/A:1006269330992 . ISSN 0168-7433 . MR 1721912. S2CID 1449341. Zbl 0943.68149 . Archivado del original (PDF) el 3 de enero de 2006.
Meo, M. (2004). "La vida matemática del teorema de grupo de Cauchy" . Historia Math. 31 (2): 196– 221. doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X . ISSN 0315-0860 . MR 2055642 . Zbl 1065.01009 .
Scharlau, Winfried (1988). "Die Entdeckung der Sylow-Sätze" . Historia Matemática. (en alemán). 15 (1): 40– 52. doi : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 . ISSN 0315-0860 . SEÑOR 0931678 . Zbl 0637.01006 .
Waterhouse, William C. (1980). "Las primeras demostraciones del teorema de Sylow". Arch. Hist. Exact Sci. . 21 (3): 279– 290. doi : 10.1007/BF00327877 . ISSN 0003-9519 . MR 0575718 . S2CID 123685226 . Zbl 0436.01006 .
Wielandt, Helmut [en alemán] (1959). "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Arco. Matemáticas. (en alemán). 10 (1): 401– 402. doi : 10.1007/BF01240818 . ISSN 0003-9268 . SEÑOR 0147529 . S2CID 119816392 . Zbl 0092.02403 .

Algoritmos

Butler, G. (1991). Algoritmos fundamentales para grupos de permutaciones . Lecture Notes in Computer Science . Vol. 559. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550. SEÑOR 1225579 . S2CID 395110 . Zbl 0785.20001 .
Cannon, John J. (1971). "Cálculo de la estructura local de grandes grupos finitos". Computers in Algebra and Number Theory ( Actas del Simposio SIAM-AMS de Matemáticas Aplicadas , Nueva York, 1970) . Actas de SIAM-AMS . Vol. 4. Providence, RI: AMS . págs. 161–176 . ISSN 0160-7634 . MR 0367027. Zbl 0253.20027 .
Kantor, William M. (1985a). "Algoritmos de tiempo polinomial para encontrar elementos de orden primo y subgrupos de Sylow" (PDF) . J. Algorithms . 6 (4): 478– 514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi : 10.1016 / 0196-6774(85)90029-X . ISSN 0196-6774 . MR 0813589. Zbl 0604.20001 .
Kantor, William M. (1985b). "El teorema de Sylow en tiempo polinomial" . J. Comput. Syst. Sci. . 30 (3): 359– 394. doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724 . MR 0805654 . Zbl 0573.20022 .
Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988). "Versiones en tiempo polinomial del teorema de Sylow". J. Algorithms . 9 (1): 1– 17. doi : 10.1016 / 0196-6774(88)90002-8 . ISSN 0196-6774 . MR 0925595. Zbl 0642.20019 .
Kantor, William M. (1990). "Finding Sylow normalizers in polynomial time". J. Algorithms . 11 (4): 523– 563. doi : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 . ISSN 0196-6774 . MR 1079450 . Zbl 0731.20005 .
Seress, Ákos (2003). Algoritmos de grupos de permutación . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 152. Cambridge University Press . ISBN 9780521661034. SEÑOR 1970241 . Zbl 1028.20002 .

Enlaces externos

"Teoremas de Sylow" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Álgebra abstracta/Teoría de grupos/Los teoremas de Sylow en Wikibooks
Weisstein, Eric W. "Subgrupo p de Sylow" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Teoremas de Sylow" . MathWorld .

[Sylow1872-1] Sylow, L. (1872). "Théorèmes sur les groupes de sustituciones" . Matemáticas. Ana. (en francés). 5 (4): 584– 594. doi : 10.1007/BF01442913 . JFM 04.0056.02 . S2CID 121928336 .

[GraciaSaz_WebPDF-2] Gracia–Saz, Alfonso. "Clasificación de grupos de orden 60" (PDF) . math.toronto.edu . Archivado (PDF) del original el 28 de octubre de 2020. Recuperado el 8 de mayo de 2021 .

[Fraleigh_2004_322-3] Fraleigh, John B. (2004). Un primer curso de álgebra abstracta . con contribución de Victor J. Katz . Educación Pearson. pag. 322.ISBN 9788178089973.

[FOOTNOTEWaterhouse1980-4] Waterhouse 1980 .

[FOOTNOTEScharlau1988-5] Scharlau 1988 .

[FOOTNOTECasadioZappa1990-6] Casadio y Zappa 1990 .

[FOOTNOTEGow1994-7] Gow 1994 .

[FOOTNOTEMeo2004-8] Meo 2004 .

[FOOTNOTEWielandt1959-9] Wielandt 1959 .

[FOOTNOTEButler1991Chapter_16-10] Butler 1991 , Capítulo 16.

[FOOTNOTECannon1971-11] Cannon 1971 .

[FOOTNOTEKantor1985a-12] Kantor 1985a .

[FOOTNOTEKantor1985b-13] Kantor 1985b .

[FOOTNOTEKantor1990-14] Kantor 1990 .

[FOOTNOTEKantorTaylor1988-15] Kantor y Taylor 1988 .

[FOOTNOTESeress2003-16] Seress 2003 .

[ 1 ]

[ 2 ]

el

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

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