La fórmula de Sylvester

En teoría de matrices , la fórmula de Sylvester o teorema de matrices de Sylvester (llamado así por JJ Sylvester ) o interpolación de Lagrange-Sylvester expresa una función analítica f ( A ) de una matriz A como un polinomio en A , en términos de los valores propios y vectores propios de A . ^{[1] [2]} Establece que ^[3]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,}$

donde λ _i son los valores propios de A y las matrices

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)}$

son las covariantes de Frobenius correspondientes de A , que son polinomios de Lagrange matriciales (de proyección) de A .

La fórmula de Sylvester se aplica a cualquier matriz diagonalizable A con k valores propios distintos, λ ₁ , ..., λ _k , y a cualquier función f definida en algún subconjunto de los números complejos tal que f ( A ) esté bien definida. La última condición significa que todo valor propio λ _i está en el dominio de f , y que todo valor propio λ _i con multiplicidad m _i > 1 está en el interior del dominio, siendo f ( m _i — 1 ) veces diferenciable en λ _i . ^{[1] : Def.6.4}

Considere la matriz de dos por dos:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz tiene dos valores propios, 5 y −2. Sus covariantes de Frobenius son

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}}$

La fórmula de Sylvester entonces equivale a

${\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,}$

Por ejemplo, si f se define por f ( x ) = x ⁻¹ , entonces la fórmula de Sylvester expresa la matriz inversa f ( A ) = A ⁻¹ como

${\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.}$

La fórmula de Sylvester sólo es válida para matrices diagonalizables ; una extensión debida a Arthur Buchheim , basada en los polinomios de interpolación de Hermite , cubre el caso general: ^[4]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]}$,

dónde . ${\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}$

Hans Schwerdtfeger ofrece además una forma concisa : ^[5]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}}$,

donde A _i son las covariantes de Frobenius correspondientes de A

Si una matriz A es a la vez hermítica y unitaria , entonces solo puede tener valores propios de , y por lo tanto , donde es el proyector sobre el subespacio con valor propio +1, y es el proyector sobre el subespacio con valor propio ; Por la completitud de la base propia, . Por lo tanto, para cualquier función analítica f , ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle A=A_{+}-A_{-}}$${\displaystyle A_{+}}$${\displaystyle A_{-}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle A_{+}+A_{-}=I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {I-A}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2}}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{aligned}}.}$

En particular, y . ${\displaystyle e^{i\theta A}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )A}$${\displaystyle A=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}}$

• Matriz adjunta
• Cálculo funcional holomorfo
• Formalismo resolutivo

• FR Gantmacher , La teoría de matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , pp 101-103 
• Higham, Nicholas J. (2008). Funciones de matrices: teoría y cálculo . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). ISBN 9780898717778.OCLC 693957820  .
• Merzbacher, E (1968). "Métodos matriciales en mecánica cuántica". Am. J. Phys . 36 (9): 814–821. Bibcode :1968AmJPh..36..814M. doi :10.1119/1.1975154.