Problema del triángulo de Sylvester

El teorema de Sylvester o fórmula de Sylvester describe una interpretación particular de la suma de tres vectores distintos de igual longitud en el contexto de la geometría de triángulos . También se lo conoce como problema de Sylvester (triángulo) en la literatura, cuando se lo plantea como un problema en lugar de un teorema. El teorema recibe su nombre del matemático británico James Joseph Sylvester .

Consideremos tres vectores distintos de igual longitud , cada uno de ellos actuando sobre el mismo punto , creando así los puntos y . Esos puntos forman el triángulo con como centro de su circunferencia circunscrita . Ahora, denotemos el ortocentro del triángulo, entonces el vector de conexión es igual a la suma de los tres vectores: ^{[1] [2]}${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {w}}}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle \triángulo ABC}$${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}}$

Además, dado que los puntos y están ubicados en la línea de Euler junto con el centroide, se cumple la siguiente ecuación: ^[3]${\estilo de visualización O}$${\estilo de visualización H}$ ${\estilo de visualización S}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}=3\cdot {\overrightarrow {OS}}}$

Si se descarta la condición de longitud igual del teorema de Sylvester y se consideran simplemente tres vectores arbitrarios distintos por pares, la ecuación anterior ya no se cumple. Sin embargo, la relación con el centroide sigue siendo válida, es decir: ^[3]

${\displaystyle 3\cdot {\overrightarrow {OS}}={\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}}$

Esto se desprende directamente de la definición del centroide para un conjunto finito de puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , que también produce una versión para vectores que actúan sobre : ^[3]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización O}$

${\displaystyle n\cdot {\overrightarrow {OS}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}}$

Aquí está el centroide de los vértices del polígono generado por los vectores que actúan sobre . ^[4]${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización O}$

• Weisstein, Eric W. "El problema del triángulo de Sylvester". MundoMatemático .
• Darij Grinberg: Solución al problema 11398 de American Mathematical Monthly de Stanley Huang: contiene el teorema de Sylvester y su prueba como lema