Derivada simétrica

En matemáticas , la derivada simétrica es una operación que generaliza la derivada ordinaria .

Se define como: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}.$

La expresión bajo el límite a veces se llama cociente de diferencias simétricas . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Se dice que una función es simétricamente diferenciable en un punto x si su derivada simétrica existe en ese punto.

Si una función es diferenciable (en el sentido usual) en un punto, entonces también es simétricamente diferenciable, pero lo contrario no es cierto. Un contraejemplo bien conocido es la función de valor absoluto $f (x) = | x |$ , que no es diferenciable en $x = 0$ , pero es simétricamente diferenciable allí con derivada simétrica 0. Para funciones diferenciables, el cociente de diferencias simétrico proporciona una mejor aproximación numérica de la derivada que el cociente de diferencias usual. ^{[ 3 ]}

La derivada simétrica en un punto dado es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha en ese punto, si ambas existen. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{: 6}

Ni el teorema de Rolle ni el teorema del valor medio se cumplen para la derivada simétrica; se han demostrado algunas afirmaciones similares, pero más débiles.

Ejemplos

La función de valor absoluto

Para la función de valor absoluto $f(x)=|x|$ , utilizando la notación $f_{s}(x)$ Para la derivada simétrica, tenemos en $x=0$ eso ${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\\end{aligned}}$

Por lo tanto, la derivada simétrica de la función de valor absoluto existe en $x=0$ y es igual a cero, aunque su derivada ordinaria no existe en ese punto (debido a un giro "brusco" en la curva en $x=0$ ).

Nótese que en este ejemplo existen tanto la derivada izquierda como la derecha en 0, pero son desiguales (una es −1, mientras que la otra es +1); su promedio es 0, como era de esperar.

La función x ⁻²

Gráfica de $y = 1/ x²$ . Nótese la discontinuidad en $x = 0. Por lo tanto$ $,$ la función no posee derivada ordinaria en $x = 0.$ Sin embargo, la derivada simétrica sí existe para la función en $x = 0$ .

Para la función $f(x)=1/x^{2}$ , en $x=0$ tenemos ${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}$

Nuevamente, para esta función existe la derivada simétrica en $x=0$ , mientras que su derivado ordinario no existe en $x=0$ debido a la discontinuidad en la curva en ese punto. Además, ni la derivada izquierda ni la derecha son finitas en 0, es decir, se trata de una discontinuidad esencial .

La función de Dirichlet

La función de Dirichlet , definida como: $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{si }}x{\text{ es racional}}\\0,&{\text{si }}x{\text{ es irracional}}\end{cases}}$ tiene una derivada simétrica en cada $x\in \mathbb {Q}$ pero no es simétricamente diferenciable en ningún punto. $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ; es decir, la derivada simétrica existe en los números racionales pero no en los números irracionales .

Teorema del cuasi-valor medio

La derivada simétrica no obedece el teorema del valor medio usual (de Lagrange). Como contraejemplo, la derivada simétrica de $f (x) = | x |$ tiene la imagen ${-1, 0, 1}$ , pero las secantes de f pueden tener un rango más amplio de pendientes; por ejemplo, en el intervalo $[-1, 2]$ , el teorema del valor medio exigiría que exista un punto donde la derivada (simétrica) tome el valor ${\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}$ . ^{[ 5 ]}

Un teorema algo análogo al teorema de Rolle , pero para la derivada simétrica, fue establecido en 1967 por C. E. Aull, quien lo denominó teorema cuasi-Rolle. Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ , y $f (a) = f (b) = 0$ , entonces existen dos puntos $x$ , $y$ en $(a, b)$ tales que $f s (x) \geq 0$ , y $f s (y) \leq 0$ . Un lema también establecido por Aull como paso previo a este teorema afirma que si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ , y además $f (b) > f (a)$ , entonces existe un punto $z$ en $(a, b)$ donde la derivada simétrica es no negativa, o con la notación utilizada anteriormente, $f s (z) \geq 0.$ Análogamente, si $f (b) < f (a)$ , entonces existe un punto $z$ en $(a, b)$ donde $f s (z) \leq$ 0. ^{[ 5 ]}

El teorema del cuasi-valor medio para una función simétricamente diferenciable establece que si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y simétricamente diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ , entonces existen $x$ , $y$ en $(a, b)$ tales que ^{[ 5 ]}^{[ 2 ]}^{: 7}

$f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\leq f_{s}(y).$

Como aplicación, el teorema del cuasi-valor medio para $f (x) = | x |$ en un intervalo que contiene 0 predice que la pendiente de cualquier secante de $f$ está entre −1 y 1.

Si la derivada simétrica de $f$ tiene la propiedad de Darboux , entonces se cumple el (forma del) teorema del valor medio regular (de Lagrange), es decir, existe $z$ en $(a, b)$ tal que ^{[ 5 ]} $f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.$

En consecuencia, si una función es continua y su derivada simétrica también lo es (es decir, posee la propiedad de Darboux), entonces la función es diferenciable en el sentido usual. ^{[ 5 ]}

Generalizaciones

Esta noción se generaliza a derivadas simétricas de orden superior y también a espacios euclidianos n -dimensionales .

La segunda derivada simétrica

La segunda derivada simétrica se define como ^{[ 6 ]}^{[ 2 ]}^{: 1} $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}.$

Si existe la segunda derivada (usual) , entonces existe la segunda derivada simétrica y es igual a ella. ^{[ 6 ]} Sin embargo, la segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando no existe la segunda derivada (ordinaria). Como ejemplo, consideremos la función signo. $\operatorname {sgn}(x)$ , que se define por $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<0,\\0&{\text{si }}x=0,\\1&{\text{si }}x>0.\end{cases}}$

La función signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada para $x=0$ no existe. Pero la segunda derivada simétrica existe para $x=0$ : $\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.$

Véase también

Referencias

1 2 Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
1 2 3 4 Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de las funciones reales . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
1 2 Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Springer. pág. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
↑ Shirley O. Hockett ; David Bock (2005). Barron's How to Prepare for the AP Calculus . Barron's Educational Series. pp. 53. ISBN 978-0-7641-2382-5.
1 2 3 4 5 Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales . World Scientific. págs. 188–192 . ISBN 978-981-02-3544-4.
1 2 A. Zygmund (2002). Series trigonométricas . Cambridge University Press. págs. 22–23 . ISBN 978-0-521-89053-3.

AB Kharazishvili (2005). Funciones extrañas en análisis real (2.ª ed.). CRC Press. pág. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4.
Aull, CE (1967). "La primera derivada simétrica". Am. Math. Mon . 74 (6): 708– 711. doi : 10.1080/00029890.1967.12000020 .

Enlaces externos

"Derivada simétrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Aproximación de la derivada mediante el cociente de diferencias simétricas (Proyecto de demostraciones de Wolfram)

[Mercer2014-1] 1 2 Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[Thomson-2] 1 2 3 4 Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de las funciones reales . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.

[LaxTerrell2013-3] 1 2 Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Cálculo con aplicaciones . Springer. pág. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.

[HockettBock2005-4] Shirley O. Hockett ; David Bock (2005). Barron's How to Prepare for the AP Calculus . Barron's Educational Series. pp. 53. ISBN 978-0-7641-2382-5.

[SahooRiedel1998-5] 1 2 3 4 5 Sahoo, Prasanna; Riedel, Thomas (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales . World Scientific. págs. 188–192 . ISBN 978-981-02-3544-4.

[Zygmund2002-6] 1 2 A. Zygmund (2002). Series trigonométricas . Cambridge University Press. págs. 22–23 . ISBN 978-0-521-89053-3.

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