Derivada logarítmica simétrica

La derivada logarítmica simétrica es una magnitud importante en metrología cuántica y está relacionada con la información de Fisher cuántica .

Dejar${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle A}$ser dos operadores, donde${\displaystyle \rho }$es hermitiana y semidefinida positiva . En la mayoría de las aplicaciones,${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle A}$cumplen con otras propiedades, que también${\displaystyle A}$es hermitiano y${\displaystyle \rho }$es una matriz de densidad (que también está normalizada por traza), pero estos no son necesarios para la definición.

La derivada logarítmica simétrica${\displaystyle L_{\varrho }(A)}$se define implícitamente por la ecuación ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}}$

dónde${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$es el conmutador y${\displaystyle \{X,Y\}=XY+YX}$es el anticonmutador. Explícitamente, viene dado por ^{[ 3 ].}

${\displaystyle L_{\varrho }(A)=2i\sum _ {k,l}{\frac {\lambda _ {k}-\lambda _ {l}}{\lambda _ {k}+\lambda _ {l}}}\langle k\vert A\vert l\rangle \vert k\rangle \langle l\vert }$

dónde${\displaystyle \lambda _{k}}$y${\displaystyle \vert k\rangle }$son los autovalores y autoestados de${\displaystyle \varrho }$, es decir${\displaystyle \varrho \vert k\rangle =\lambda _ {k}\vert k\rangle }$y${\displaystyle \varrho =\sum _ {k}\lambda _ {k}\vert k\rangle \langle k\vert }$.

Formalmente, el mapa del operador${\displaystyle A}$al operador${\displaystyle L_{\varrho }(A)}$es un superoperador (lineal) .

La derivada logarítmica simétrica es lineal en${\displaystyle A}$:

${\displaystyle L_{\varrho }(\mu A)=\mu L_{\varrho }(A)}$

${\displaystyle L_{\varrho }(A+B)=L_{\varrho }(A)+L_{\varrho }(B)}$

La derivada logarítmica simétrica es hermitiana si su argumento${\displaystyle A}$es hermitiano:

${\displaystyle A=A^{\dagger }\Rightarrow [L_{\varrho }(A)]^{\dagger }=L_{\varrho }(A)}$

El derivado de la expresión${\displaystyle \exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)}$con respecto a${\displaystyle \theta }$en${\displaystyle \theta =0}$lecturas

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big [}\exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A){\Big ]}{\bigg \vert }_{\theta =0}=i(\varrho AA\varrho )=i[\varrho ,A]={\frac {1}{2}}\{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}}$

donde la última igualdad es por definición de${\displaystyle L_{\varrho }(A)}$Esta relación es el origen del nombre "derivada logarítmica simétrica". Además, obtenemos el desarrollo de Taylor.

${\displaystyle \exp(-i\theta A)\varrho \exp(+i\theta A)=\varrho +\underbrace {{\frac {1}{2}}\theta \{\varrho ,L_{\varrho }(A)\}} _{=i\theta [\varrho ,A]}+{\mathcal {O}}(\theta ^{2})}$.