Diferencia simétrica

En matemáticas , la diferencia simétrica de dos conjuntos , también conocida como unión disyuntiva y suma de conjuntos , es el conjunto de elementos que están en cualquiera de los conjuntos, pero no en su intersección. Por ejemplo, la diferencia simétrica de los conjuntos${\displaystyle \{1,2,3\}}$y${\displaystyle \{3,4\}}$es${\displaystyle \{1,2,4\}}$.

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se denota comúnmente por${\displaystyle A\operatorname {\Delta } B}$(alternativamente,${\displaystyle A\operatorname {\vartriangle } B}$),${\displaystyle A\oplus B}$, o${\displaystyle A\ominus B}$. Puede considerarse como una forma de suma módulo 2 .

El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica, donde el conjunto vacío es el elemento neutro del grupo y cada elemento de este grupo es su propio inverso . El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano , donde la diferencia simétrica es la suma del anillo y la intersección es la multiplicación del anillo.

La diferencia simétrica es equivalente a la unión de ambos complementos relativos , es decir: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A\,\Delta \,B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right),}$

La diferencia simétrica también se puede expresar utilizando la operación XOR ⊕ sobre los predicados que describen los dos conjuntos en notación de construcción de conjuntos :

${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$

El mismo hecho puede enunciarse como la función indicadora (denotada aquí por${\displaystyle \chi }$) de la diferencia simétrica, siendo la XOR (o suma módulo 2 ) de las funciones indicadoras de sus dos argumentos:${\displaystyle \chi _{(A\,\Delta \,B)}=\chi _{A}\oplus \chi _{B}}$o utilizando la notación de corchetes de Iverson${\displaystyle [x\in A\,\Delta \,B]=[x\in A]\oplus [x\in B]}$.

La diferencia simétrica también puede expresarse como la unión de los dos conjuntos, menos su intersección :

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),}$^{[ 1 ]}

En particular,${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B\subseteq A\cup B}$; la igualdad en esta inclusión no estricta se produce si y solo si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son conjuntos disjuntos . Además, denotando${\displaystyle D=A\mathbin {\Delta} B}$y${\displaystyle I=A\cap B}$, entonces${\displaystyle D}$y${\displaystyle I}$siempre están disjuntos, por lo tanto${\displaystyle D}$y${\displaystyle I}$dividir${\displaystyle A\cup B}$En consecuencia, asumiendo la intersección y la diferencia simétrica como operaciones primitivas, la unión de dos conjuntos puede definirse bien en términos de la diferencia simétrica mediante el lado derecho de la igualdad.

${\displaystyle A\,\cup \,B=(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,(A\cap B)}$.

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa :

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\Delta \,B&=B\,\Delta \,A,\\(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,C&=A\,\Delta \,(B\,\Delta \,C).\end{aligned}}}$

El conjunto vacío es neutral , y cada conjunto es su propio inverso:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\Delta \,\varnothing &=A,\\A\,\Delta \,A&=\varnothing .\end{aligned}}}$

Así, el conjunto potencia de cualquier conjunto X se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica. (De manera más general, cualquier cuerpo de conjuntos forma un grupo con la diferencia simétrica como operación). Un grupo en el que cada elemento es su propio inverso (o, equivalentemente, en el que cada elemento tiene orden 2) se denomina a veces grupo booleano ; ^{[ 2 ] [ 3 ]} la diferencia simétrica proporciona un ejemplo prototípico de tales grupos. A veces, el grupo booleano se define realmente como la operación de diferencia simétrica en un conjunto. ^{[ 4 ]} En el caso en que X tiene solo dos elementos, el grupo así obtenido es el grupo de Klein de cuatro elementos .

De forma equivalente, un grupo booleano es un 2-grupo abeliano elemental . Por consiguiente, el grupo inducido por la diferencia simétrica es, de hecho, un espacio vectorial sobre el cuerpo con 2 elementos Z² . Si X es finito, entonces los singletons forman una base de este espacio vectorial, y su dimensión es, por lo tanto _, igual al número de elementos de X. Esta construcción se utiliza en la teoría de grafos para definir el espacio de ciclos de un grafo.

De la propiedad de los inversos en un grupo booleano, se deduce que la diferencia simétrica de dos diferencias simétricas repetidas es equivalente a la diferencia simétrica repetida de la unión de los dos multiconjuntos, donde para cada conjunto doble ambos pueden eliminarse. En particular:

${\displaystyle (A\,\Delta \,B)\,\Delta \,(B\,\Delta \,C)=A\,\Delta \,C.}$

Esto implica una desigualdad triangular : ^{[ 5 ]} la diferencia simétrica de A y C está contenida en la unión de la diferencia simétrica de A y B y la de B y C.

La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

${\displaystyle A\cap (B\,\Delta \,C)=(A\cap B)\,\Delta \,(A\cap C),}$

Esto demuestra que el conjunto potencia de X se convierte en un anillo , donde la diferencia simétrica es la suma y la intersección es la multiplicación. Este es el ejemplo prototípico de un anillo booleano .

Otras propiedades de la diferencia simétrica incluyen:

• ${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=\emptyset }$si y solo si${\displaystyle A=B}$.
• ${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=A^{c}\mathbin {\Delta } B^{c}}$, dónde${\displaystyle A^{c}}$,${\displaystyle B^{c}}$es${\displaystyle A}$complemento,${\displaystyle B}$el complemento de, respectivamente, en relación con cualquier conjunto (fijo) que contenga ambos.
• ${\displaystyle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\Delta \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\mathbin {\Delta } B_{\alpha }\right)}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un conjunto de índices no vacío arbitrario .
• Si${\displaystyle f:S\rightarrow T}$es cualquier función y${\displaystyle A,B\subseteq T}$¿Hay algún conjunto en?${\displaystyle f}$su codominio, entonces${\displaystyle f^{-1}\left(A\mathbin {\Delta } B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathbin {\Delta } f^{-1}\left(B\right).}$

La diferencia simétrica se puede definir en cualquier álgebra booleana escribiendo

${\displaystyle x\,\Delta \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.}$

Esta operación tiene las mismas propiedades que la diferencia simétrica de conjuntos.

La diferencia simétrica repetida es, en cierto sentido, equivalente a una operación sobre multitud de conjuntos (posiblemente con múltiples apariciones del mismo conjunto) que da como resultado el conjunto de elementos que están en un número impar de conjuntos.

La diferencia simétrica de una colección de conjuntos contiene solo elementos que están en un número impar de los conjuntos de la colección: $${\displaystyle \Delta M=\left\{a\in \bigcup M:\left|\{A\in M:a\in A\}\right|{\text{es impar}}\right\}.}$$

Evidentemente, esto está bien definido solo cuando cada elemento de la unión${\textstyle \bigcup M}$es aportado por un número finito de elementos de${\displaystyle M}$.

Suponer${\displaystyle M=\left\{M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\right\}}$es un multiconjunto y${\displaystyle n\geq 2}$. Luego hay una fórmula para${\displaystyle |\Delta M|}$, el número de elementos en${\displaystyle \Delta M}$, dado únicamente en términos de intersecciones de elementos de${\displaystyle M}$: $${\displaystyle |\Delta M|=\sum _{l=1}^{n}(-2)^{l-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{l}\leq n}\left|M_{i_{1}}\cap M_{i_{2}}\cap \ldots \cap M_{i_{l}}\right|.}$$

Siempre que exista una noción de "cuán grande" es un conjunto, la diferencia simétrica entre dos conjuntos puede considerarse una medida de cuán "separados" están.

Consideremos primero un conjunto finito S y la medida de conteo en subconjuntos dada por su tamaño. Ahora consideremos dos subconjuntos de S y definamos su distancia como el tamaño de su diferencia simétrica. Esta distancia es, de hecho, una métrica , lo que convierte al conjunto potencia en S en un espacio métrico . Si S tiene n elementos, entonces la distancia del conjunto vacío a S es n , y esta es la distancia máxima para cualquier par de subconjuntos. ^{[ 6 ]}

Utilizando las ideas de la teoría de la medida , la separación de conjuntos medibles puede definirse como la medida de su diferencia simétrica. Si μ es una medida σ-finita definida en un σ-álgebra Σ, la función

${\displaystyle d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\,\Delta \,Y)}$

es una pseudométrica en Σ. d _μ se convierte en una métrica si Σ se considera módulo la relación de equivalencia X ~ Y si y solo si${\displaystyle \mu (X\,\Delta \,Y)=0}$A veces se la denomina ^métrica de Fréchet - Nikodym . El espacio métrico resultante es separable si y solo si L² (μ) es separable.

Si${\displaystyle \mu (X),\mu (Y)<\infty }$, tenemos:${\displaystyle |\mu (X)-\mu (Y)|\leq \mu (X\,\Delta \,Y)}$. En efecto,

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu (X)-\mu (Y)|&=\left|\left(\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(X\cap Y\right)\right)-\left(\mu \left(X\cap Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\right)\right|\\&=\left|\mu \left(X\setminus Y\right)-\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&\leq \left|\mu \left(X\setminus Y\right)\right|+\left|\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&=\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\\&=\mu \left(\left(X\setminus Y\right)\cup \left(Y\setminus X\right)\right)\\&=\mu \left(X\,\Delta \,Y\right)\end{aligned}}}$

Si${\displaystyle S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)}$es una medida de espacio y${\displaystyle F,G\in {\mathcal {A}}}$Si son conjuntos medibles, entonces su diferencia simétrica también es medible:${\displaystyle F\Delta G\in {\mathcal {A}}}$Se puede definir una relación de equivalencia en conjuntos medibles mediante la siguiente fórmula:${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$ estar relacionado si${\displaystyle \mu \left(F\Delta G\right)=0}$Esta relación se denota${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$.

Dado${\displaystyle {\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}}$, escribe uno${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$si a cada uno${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$hay algunos${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$de tal manera que${\displaystyle D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$. La relación "${\displaystyle \subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$" es un orden parcial en la familia de subconjuntos de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Escribimos${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$si${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$y${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$. La relación "${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$" es una relación de equivalencia entre los subconjuntos de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

El cierre simétrico de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$es la colección de todos${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-conjuntos medibles que son${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$para algunos${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$. El cierre simétrico de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$contiene${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Si${\displaystyle {\mathcal {D}}}$es un sub-${\displaystyle \sigma }$-álgebra de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, así también lo es el cierre simétrico de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$si y solo si${\displaystyle \left|\mathbf {1} _{F}-\mathbf {1} _{G}\right|=0}$${\displaystyle \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$casi en todas partes .

La distancia de Hausdorff y el área de la diferencia simétrica son pseudométricas aplicadas al conjunto de figuras geométricas medibles. Sin embargo, su comportamiento es bastante diferente. La figura de la derecha muestra dos secuencias de figuras: "Rojo" y "Rojo ∪ Verde". Cuando la distancia de Hausdorff entre ellas disminuye, el área de la diferencia simétrica aumenta, y viceversa. Al continuar estas secuencias en ambas direcciones, es posible obtener dos secuencias tales que la distancia de Hausdorff converge a cero y la distancia simétrica diverge, o viceversa.

• Halmos, Paul R. (1960). Teoría ingenua de conjuntos . The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403 . 
• Diferencia simétrica de conjuntos . En la Enciclopedia de Matemáticas.