álgebra simétrica

En matemáticas , el álgebra simétrica S ( V ) (también denotada Sym( V )) en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un álgebra conmutativa sobre K que contiene a V y es, en cierto sentido, mínima para esta propiedad. Aquí, "mínima" significa que S ( V ) satisface la siguiente propiedad universal : para cada aplicación lineal f de V a un álgebra conmutativa A , existe un único homomorfismo de álgebras g  : S ( V ) → A tal que f = g ∘ i , donde i es la aplicación de inclusión de V en S ( V ) .

Si B es una base de V , el álgebra simétrica S ( V ) puede identificarse, mediante un isomorfismo canónico , con el anillo de polinomios K [ B ] , donde los elementos de B se consideran indeterminados. Por lo tanto, el álgebra simétrica sobre V puede verse como un anillo de polinomios "libre de coordenadas" sobre V.

El álgebra simétrica S ( V ) se puede construir como el cociente del álgebra tensorial T ( V ) por el ideal bilateral generado por los elementos de la forma x ⊗ y − y ⊗ x .

Todas estas definiciones y propiedades se extienden naturalmente al caso en que V es un módulo (no necesariamente libre) sobre un anillo conmutativo .

El álgebra simétrica es un álgebra graduada . Es decir, es una suma directa.

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _ {n=0}^{\infty }S^{n}(V),}$

dónde${\displaystyle S^{n}(V),}$llamada la n -ésima potencia simétrica de V , es el subespacio vectorial o submódulo generado por los productos de n elementos de V. (La segunda potencia simétrica${\displaystyle S^{2}(V)}$a veces se le llama el cuadrado simétrico de V ).

Esto se puede demostrar por varios medios. Uno se deduce de la construcción del álgebra tensorial: puesto que el álgebra tensorial es graduada, y el álgebra simétrica es su cociente por un ideal homogéneo : el ideal generado por todos${\displaystyle x\otimes yy\otimes x,}$donde x e y están en V , es decir, homogéneos de grado uno.

En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre, la gradación es la gradación de los polinomios por el grado total . Un módulo no libre se puede escribir como L / M , donde L es un módulo libre de base B ; su álgebra simétrica es el cociente del álgebra simétrica (graduada) de L (un anillo de polinomios) por el ideal homogéneo generado por los elementos de M , que son homogéneos de grado uno.

También se puede definir${\displaystyle S^{n}(V)}$como la solución del problema universal para funciones simétricas n -lineales de V a un espacio vectorial o un módulo, y luego verificar que la suma directa de todas${\displaystyle S^{n}(V)}$Satisface el problema universal para el álgebra simétrica.

Dado que el álgebra simétrica de un espacio vectorial es un cociente del álgebra tensorial, un elemento del álgebra simétrica no es un tensor y, en particular, no es un tensor simétrico . Sin embargo, los tensores simétricos están estrechamente relacionados con el álgebra simétrica.

Un tensor simétrico de grado n es un elemento de T ⁿ ( V ) que es invariante bajo la acción del grupo simétrico.${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$Más precisamente, dado${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}_{n},}$la transformación${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}}$define un endomorfismo lineal de T ⁿ ( V ) . Un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo todos estos endomorfismos. Los tensores simétricos de grado n forman un subespacio vectorial (o módulo) Sym ⁿ ( V ) ⊂ T ⁿ ( V ) . Los tensores simétricos son los elementos de la suma directa${\displaystyle \textstyle \bigoplus _ {n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),}$que es un espacio vectorial graduado (o un módulo graduado ). No es un álgebra, ya que el producto tensorial de dos tensores simétricos no es simétrico en general.

Dejar${\displaystyle \pi _{n}}$sea ​​la restricción a Sym ⁿ ( V ) de la sobreyección canónica${\displaystyle T^{n}(V)\a S^{n}(V).}$Si n ! es invertible en el campo base (o anillo), entonces${\displaystyle \pi _{n}}$es un isomorfismo . Esto siempre ocurre con un campo base de característica cero. El isomorfismo inverso es la aplicación lineal definida (en productos de n vectores) por la simetrización.

${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}.}$

El mapa${\displaystyle \pi _{n}}$no es inyectiva si la característica es menor que n + 1; por ejemplo${\displaystyle \pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy}$es cero en característica dos. Sobre un anillo de característica cero,${\displaystyle \pi _{n}}$puede ser no sobreyectiva; por ejemplo, sobre los enteros, si x e y son dos elementos linealmente independientes de V = S ¹ ( V ) que no están en 2 V , entonces${\displaystyle xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),}$desde${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).}$

En resumen, sobre un cuerpo de característica cero, los tensores simétricos y el álgebra simétrica forman dos espacios vectoriales graduados isomorfos. Por lo tanto, pueden identificarse únicamente en lo que respecta a la estructura del espacio vectorial, pero no pueden identificarse cuando intervienen productos. Además, este isomorfismo no se extiende a los casos de cuerpos de característica positiva ni a anillos que no contienen los números racionales .

Dado un módulo V sobre un anillo conmutativo K , el álgebra simétrica S ( V ) se puede definir mediante la siguiente propiedad universal :

Para cada aplicación lineal K f de V a un álgebra K conmutativa A , existe un homomorfismo de álgebras K único .${\displaystyle g:S(V)\to A}$de tal manera que${\displaystyle f=g\circ i,}$donde i es la inclusión de V en S ( V ) .

Como ocurre con toda propiedad universal, en cuanto existe una solución, esta define de forma unívoca el álgebra simétrica, salvo isomorfismo canónico . De ello se deduce que todas las propiedades del álgebra simétrica pueden derivarse de la propiedad universal. Esta sección está dedicada a las principales propiedades propias de la teoría de categorías .

El álgebra simétrica es un functor de la categoría de K -módulos a la categoría de álgebra K -conmutativa, ya que la propiedad universal implica que todo homomorfismo de módulos${\displaystyle f:V\to W}$puede extenderse de forma única a un homomorfismo de álgebra${\displaystyle S(f):S(V)\to S(W).}$

La propiedad universal puede reformularse diciendo que el álgebra simétrica es un adjunto izquierdo del functor de olvido que envía un álgebra conmutativa a su módulo subyacente.

De forma análoga, se puede construir el álgebra simétrica en un espacio afín . La diferencia clave radica en que el álgebra simétrica de un espacio afín no es un álgebra graduada, sino un álgebra filtrada : se puede determinar el grado de un polinomio en un espacio afín, pero no sus partes homogéneas.

Por ejemplo, dado un polinomio lineal en un espacio vectorial, se puede determinar su parte constante evaluándola en 0. En un espacio afín, no hay ningún punto distinguido, por lo que no se puede hacer esto (elegir un punto convierte un espacio afín en un espacio vectorial).

Los S ^k son functores comparables a las potencias exteriores ; aquí, sin embargo, la dimensión crece con k ; está dada por

${\displaystyle \operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}}$

donde n es la dimensión de V. Este coeficiente binomial es el número de monomios de n variables de grado k . De hecho, el álgebra simétrica y el álgebra exterior aparecen como componentes isotípicas de la representación trivial y de signo de la acción de${\displaystyle S_{n}}$actuando sobre el producto tensorial${\displaystyle V^{\otimes n}}$(por ejemplo, sobre el campo complejo)

El álgebra simétrica puede estructurarse como un álgebra de Hopf . Para más detalles, consulte Álgebra tensorial .

El álgebra simétrica S ( V ) es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie abeliana , es decir, una en la que el corchete de Lie es idénticamente 0.

• álgebra exterior , el análogo del álgebra alternada
• Álgebra graduada-simétrica , una generalización común de un álgebra simétrica y un álgebra exterior.
• Álgebra de Weyl , una deformación cuántica del álgebra simétrica mediante una forma simpléctica.
• Álgebra de Clifford , una deformación cuántica del álgebra exterior mediante una forma cuadrática.
• Construcción de Proj §  Proj de un haz cuasi-coherente , una aplicación de las álgebras simétricas en geometría algebraica

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9