operador compacto simetrizable

En matemáticas , un operador compacto simetrizable es un operador compacto en un espacio de Hilbert que puede componerse con un operador positivo con núcleo trivial para producir un operador autoadjunto . Dichos operadores surgieron naturalmente en el trabajo sobre operadores integrales de Hilbert, Korn, Lichtenstein y Marty necesarios para resolver problemas de valores de frontera elípticos en dominios acotados en el espacio euclidiano . Entre finales de la década de 1940 y principios de la de 1960, las técnicas, desarrolladas previamente como parte de la teoría del potencial clásica , fueron abstraídas dentro de la teoría de operadores por varios matemáticos, incluidos MG Krein , William T. Reid, Peter Lax y Jean Dieudonné . La teoría de Fredholm ya implica que cualquier elemento del espectro es un valor propio . Los resultados principales afirman que la teoría espectral de estos operadores es similar a la de los operadores autoadjuntos compactos: cualquier valor espectral es real; forman una secuencia que tiende a cero; cualquier vector propio generalizado es un vector propio ; y los autovectores generan un subespacio denso del espacio de Hilbert.

Sea H un espacio de Hilbert. Un operador compacto K en H es simetrizable si existe un operador autoadjunto acotado S en H tal que S es positivo con núcleo trivial, es decir ( Sx , x ) > 0 para todo x distinto de cero , y SK es autoadjunto:

${\displaystyle \displaystyle {SK=K^{*}S.}}$

En muchas aplicaciones, S también es compacto. El operador S define un nuevo producto interno en H.

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{S}=(Sx,y)}.}$

Sea H _S la completación en el espacio de Hilbert de H con respecto a este producto interno.

El operador K define un operador formalmente autoadjunto en el subespacio denso H de H _S . Como señalaron Krein (1947) y Reid (1951) , el operador tiene la misma norma de operador que K . De hecho ^{[ 1 ]} la condición de autoadjuntividad implica

${\displaystyle \displaystyle {SK^{n}=(K^{*})^{n}S.}}$

Se deduce por inducción que, si ( x , x ) _S = 1, entonces

${\displaystyle \displaystyle {\|Kx\|_{S}|^{2^{n}}\leq \|K^{2^{n}}x\|_{S}.}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {\|Kx\|_{S}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\|K\|(\|S\|\|x\|^{2})^{1/2^{n}}=\|K\|}}$

Si K es solo compacto, Krein dio un argumento, invocando la teoría de Fredholm, para mostrar que K define un operador compacto en H _S . Un argumento más corto está disponible si K pertenece a una clase de Schatten .

Cuando K es un operador de Hilbert-Schmidt , el argumento procede de la siguiente manera. Sea R la única raíz cuadrada positiva de S y para ε > 0 definimos ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \displaystyle {A_{\varepsilon }=(R+\varepsilon I)^{-1}SK(R+\varepsilon I)^{-1}.}}$

Estos son operadores de Hilbert-Schmidt autoadjuntos en H que están uniformemente acotados en la norma de Hilbert-Schmidt:

${\displaystyle \displaystyle {\|A_{\varepsilon }\|_{2}^{2}=(R^{2}(R+\varepsilon I)^{-2}K,KR^{2}(R+\varepsilon I)^{-2})_{2}\leq \|K\|_{2}^{2},}}$

Dado que los operadores de Hilbert-Schmidt forman un espacio de Hilbert, existe una subsucesión que converge débilmente a s operadores de Hilbert-Schmidt autoadjuntos A. Dado que A _ε R tiende a RK en la norma de Hilbert-Schmidt, se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {RK=AR.}}$

Por lo tanto, si U es el operador unitario inducido por R entre H _S y H , entonces el operador K _S inducido por la restricción de K corresponde a A en H :

${\displaystyle \displaystyle {UK_{S}U^{*}=A.}}$

Los operadores K − λI y K * − λI son operadores de Fredholm de índice 0 para λ ≠ 0, por lo que cualquier valor espectral de K o K * es un autovalor y los autoespacios correspondientes son de dimensión finita. Por otro lado, según el teorema especial para operadores compactos, H es la suma directa ortogonal de los autoespacios de A , todos de dimensión finita excepto posiblemente el autoespacio 0. Dado que RA = K * R , la imagen bajo R del autoespacio λ de A se encuentra en el autoespacio λ de K *. De manera similar, R transporta el autoespacio λ de K al autoespacio λ de A. De ello se deduce que los autovalores de K y K * son todos reales. Dado que R es inyectivo y tiene un rango denso, induce isomorfismos entre los autoespacios λ de A , K y K *. Lo mismo ocurre con los autovalores generalizados, ya que las potencias de K − λI y K * − λI también son de Fredholm de índice 0. Dado que cualquier autovector λ generalizado de A ya es un autovector, lo mismo sucede con K y K *. Para λ = 0, este argumento demuestra que K ^m x = 0 implica Kx = 0.        

Finalmente, los autoespacios de K * abarcan un subespacio denso de H , ya que contiene la imagen bajo R del espacio correspondiente para A . Los argumentos anteriores también implican que los autovectores para los autovalores no nulos de K _S en H _S se encuentran todos en el subespacio H .

Los operadores de Hilbert-Schmidt K con autovalores reales no nulos λ _n satisfacen las siguientes identidades demostradas por Carleman (1921) :

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {tr} \,K^{2}=\sum \lambda _{n}^{2},\,\,\,\det(I-zK^{2})=\prod _{n=1}^{\infty }(1-z\lambda _{n}^{2}).}}$

Aquí tr es la traza en operadores de clase traza y det es el determinante de Fredholm . Para operadores de Hilbert-Schmidt simetrizables, el resultado establece que la traza o el determinante para _K o K * es igual a la traza o el determinante para A. Para operadores simetrizables, las identidades para K * se pueden demostrar tomando H₀ como el núcleo de _K * y Hᵐ _los autoespacios de dimensión finita para los autovalores no nulos λᵐ _. Sea PN la proyección ortogonal sobre la suma directa de Hᵐ con 0 ≤ m ≤ N. Este subespacio queda invariante por K *. Aunque la suma no es ortogonal, la restricción _PN → _K * → _PN de K * es similar por un operador acotado con inverso acotado al operador diagonal sobre la suma directa ortogonal con los mismos autovalores. Por lo tanto,

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {tr} \,(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}=\sum _{m=1}^{N}\lambda _{m}^{2}\cdot \mathrm {dim} \,H_{m},\,\,\,\mathrm {det} \,[P_{N}-z(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}]=\prod _{m=1}^{N}(1-z\lambda _{m}^{2})^{\mathrm {dim} \,H_{m}}.}}$

Dado que P _N K * P _N tiende a K * en la norma de Hilbert-Schmidt, las identidades para K * se obtienen al pasar al límite cuando N tiende a infinito.

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